■陕西省汉中市四〇五学校 侯有岐

绝对值函数和绝对值不等式是《不等式选讲》中的重要内容,也是高考数学选考题中常考的对象。绝对值不等式中求参数范围的题目,通常与基本不等式、绝对值三角不等式、柯西不等式等知识点相结合。这类题型有助于考查同学们的推理能力、探索能力和批判性思维能力,也有利于培养同学们的创新意识和综合素质,具有一定的区分度,深受命题者的青睐。本文对绝对值不等式中求参数范围问题的常见题型进行分类解析,供读者参考。

一、利用绝对值三角不等式求参数范围

例1设函数f(x)=|2x-1|-|a-1|(a∈R)。

(1)当a=-1 时,求不等式f(x)＞|x+1|的解集;

(2)若存在x0使得不等式f(x0)＞2|x0+1|成立,求实数a的取值范围。

解析：(1)若a=-1,则不等式f(x)＞|x+1|⇒|2x-1|-2＞|x+1|。

当x＜-1 时,不等式化为-2x+1-2＞-x-1,解得x＜0,所以x＜-1;

(2)不等式f(x0)＞2|x0+1|⇒|a-1|＜|2x0-1|-2|x0+1|。因为存在x0使得不等式f(x0)＞2|x0+1|成立,则存在x0使得不等式|a-1|＜|2x0-1|-2|x0+1|成立,而|2x0-1|-2|x0+1|=|2x0-1|-|2x0+2|≤|(2x0-1)-(2x0+2)|=3,当且仅当|2x0-1|≥|2x0+2|,且(2x0-1)(2x0+2)≥0,即x0≤-1时,等号成立。

因此|a-1|＜3,解得-2＜a＜4。

所以实数a的取值范围为(-2,4)。

二、利用零点分段法及数形结合求参数范围

例2设函数f(x)=|x-2|+|x+1|。

(1)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值范围;

(2)若集合{x|f(x)+ax-1＞0}=R,求实数a的取值范围。

当x＜-1时,f(x)=-2x+1＞3;当x＞2时,f(x)=2x-1＞3。所以f(x)的最小值为3,且f(x)取得最小值时x的取值范围为[-1,2]。

(2)因为{x|f(x)+ax-1＞0}=R,所以对任意的x∈R,f(x)＞-ax+1恒成立。

令g(x)=-ax+1,其图像为过点P(0,1),斜率为-a的一条直线,如图1所示。

图1

因为f(x)＞g(x),所以-2＜-a＜1,即-1＜a＜2。

所以实数a的取值范围为(-1,2)。

三、利用绝对值三角不等式与基本不等式求参数范围

例3已知f(x)=|x-1|+|x+a|。

(1)当a=2 时,求y=f(x)与y=6 所围成的封闭图形的面积;

(2)若对于任意的x∈R,都存在y∈(1,+∞),使得(y-1)f(x)≥y2+3 成立,求a的取值范围。

分别画出y=f(x)与y=6 的图像,如图2所示。当f(x)=6时,有x=-3.5或x=2.5,由图像可得,围成的封闭图形为等腰梯形,上底长为3,下底长为6,高为3,则所求封闭图形的面积为(3+6)×3=13.5。

图2

(2)f(x)=|x-1|+|x+a|≥|1-x+x+a|=|1+a|,当且仅当(x-1)(x+a)≤0时,等号成立。

因为对于任意的x∈R,都存在y∈(1,+∞),使得(y-1)f(x)≥y2+3 成立,所以,当且仅当y=3时,等号成立,所以|1+a|≥6,解得a≤-7或a≥5,故a的取值范围为(-∞,-7]∪[5,+∞)。

点评:求解对任意的x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)≥g(x2)成立的问题,可将其转化为求解f(x)min≥g(x)min的问题。在利用基本不等式求最值时,要注意“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可,具体应用时,对二定条件不满足的形式需要变形配凑。另外,除配凑法外,我们还需要根据所给题目的已知与目标式子的变量结构特征进行分析,选择不同的策略,如分离转化法、拆项法、消元法、换元法、转换构造法、“1”的整体代换法等。无论采用哪种策略方法,其目的只有一个,那就是构造出和为定值或者积为定值的两项,然后才可以使用基本不等式,这是用基本不等式解决最值问题的根本所在。

四、利用绝对值三角不等式和多次使用均值不等式求参数范围

例4已知f(x)=|x+4|-|x-m|。

(1)若m=2,求f(x)＜m的解集;

(2)若a＞0,b＞0,c＞0,abc=1,对任意的x∈R,(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2≥f(x)恒成立,求实数m的取值范围。

解析：(1)因为m=2,所以f(x)=|x+4|-|x-2|＜2。

当x≥2时,(x+4)-(x-2)＜2,无解;

当-4＜x＜2时,(x+4)-(2-x)＜2,解得x＜0,所以-4＜x＜0;

当x≤-4时,(-x-4)-(2-x)=-6＜2恒成立,所以x≤-4。

综上可得,f(x)＜m的解集为{x|x＜0}。

(2)(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2≥4ab+4ac+4bc=4 (ab+ac+bc)≥,当且仅当a=b=c,ab=bc=ac,即a=b=c=1时,等号成立。

由对任意的x∈R,(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2≥f(x)恒成立,可得f(x)=|x+4|-|x-m|≤|4+m|≤12,当且仅当|x+4|≥|x-m|,且(x+4)(x-m)≥0时,等号成立。

故实数m的取值范围为[-16,8]。

点评:求解对任意的x1∈D1,x2∈D2,使得f(x1)≥g(x2)成立的问题,可将其转化为求解f(x)min≥g(x)max的问题。在求多变量函数的最值时,只要保证等号成立条件相同的情况下,可以多次利用基本不等式求最值,然后再解不等式求参数范围。

五、利用等价转化法求参数范围

例5已知函数

(1)当a＞0时,求f(x)的单调区间;

(2)若不存在正数a,使得不等式f(x)＜0对任意的x∈(0,1]恒成立,求实数b的取值范围。

(2)先求存在正数a,使得不等式f(x)＜0对任意的x∈(0,1]恒成立时实数b的取值范围。

当b≥0时,对任意的x∈(0,1],不等式f(x)≥0恒成立,不满足题意。

点评:本题第(2)问属于“不存在性”问题,当直接求解符合题意的参数范围比较困难时,可以考虑利用命题与命题的否定之间的逻辑关系,采用“正难则反”的方法,先求使命题的否定成立时对应参数的范围,再取其补集即可,这样可以简化解题思维与解答过程,从而达到化繁为简的目的。

总之,关于绝对值不等式中求参数范围的问题不仅仅局限于这些方面,更多的内容是涉及函数的相关知识,如单调性、最值等,但其基本解题思路都是:去掉绝对值符号,转化为一般的不等式求解。转化的策略方法一般有:零点分段、数形结合、绝对值三角不等式、均值不等式、柯西不等式等。以上内容仅供同学们学习时参考,多熟悉其中转化的思想方法,多领会其中的相关技巧。