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求解平面向量最值问题的几个途径

2023-06-22杨彦明

语数外学习·高中版上旬 2023年3期
关键词:夹角最值题意

杨彦明

平面向量最值问题通常要求根据给出的条件,求向量的模的最小值、数量积的最大值、夹角的最值等.解答此类问题,需要根据已知条件和向量知识,求得目标式,然后把问题转化为函数问题、几何最值问题,与此同时,由于平面向量具有“数”与“形”的双重身份,所以在解题时要灵活运用数形结合思想,那么求解这类问题有哪些途径呢?下面举例说明.

一、根据三角函数的有界性

对于一些与向量的数量积、夹角、模有关的最值问题,通常可根据向量的数量积公式,通过向量运算求得目标式.此时目标式为关于某个夹角的三角函数式,那么就可以将问题看作三角函数最值问题,通过三角恒等变换化简目标式,便可利用三角函数的有界性求得最值.在利用三角函数的有界性求最值时,要明确夹角的取值范围,熟悉并灵活运用正弦、余弦、正切函数的单调性和有界性.

根据三角形和圆的性质、向量的数量积公式求得目标式,将所求目标转化为有关∠AOC的三角函数式;然后确定∠AOC的取值范围,即可根据余弦函数的有界性确定目标式的最值.

二、利用平面几何图形的性质

对于与图形有关的平面向量问题,通常可先根据向量的几何意义画出几何图形,并确定向量所表示的点的轨迹;然后分析图形中点、线、图形之间的位置关系,利用平面几何图形的性质求最值,

我们先根据矩形的特征建立平面直角坐标系;然后设P点的坐标,求得各个向量的坐标以及丽+tDE、PE+(t - 1)DE的表达式,即可根据其几何意义,将求|丽+DE+|PE+(t -1)DE的最小值转化为求点H(3 - 2t,2一2t)到G(2,2)、P(x,y)的距离之和的最小值;最后根据矩形和圆的对称性,确定日的位置,即可求得最小值,

根据题意和向量的几何意义作山几何图形,便可根据平面向量的基本定理以及正弦定理,确定ICI取得最大值的情形:O,M,G,C四点共线,即可利用数形结合思想求得最值.

三、利用二次函数的性质

在求解向量的最值问题时,可根据题意选取合适的基底,将目标式用基底表示出来,建立关于参数的关系式;也可根据题意建立适当的直角坐标系,通过平面向量的坐标运算,求得各点的坐标、向量的坐标以及目标式.最后将问题转化为函数最值问题,利用二次函数的性质来求最值,由于∠BAD=60°,AB=6,所以以向量AB,AD为基底,根据平面向量的线性运算法则和数量积公式,求AN·MN的表达式,最终将问题转化为二次函数的最值问题.通过配方,根据二次函数的单调性即可求得目标式的最值.

由此可见,求解平面向量最值问题,关键是运用转化思想和数形结合思想,通过平面直角坐标系、平面向量的坐标运算法则、平面向量基本定理、向量的几何意义,根据目标式的結构特征,将原问题转化为三角函数、平面几何、二次函数最值问题.

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