张尚琦

[摘  要] 最大化地发挥例题的教学功能，是践行“双减”政策的有力措施，也是将学生从“题海战术”中解放的必要手段. 文章摘录一位教师的例题教学过程，展开剖析，提出相应的优化策略，并从以下几方面谈一些思考：追根溯源，因势利导;变式训练，提高实效;尊重差异，分层教学.

[关键词] “双减”政策;例题教学;变式训练

教育是立德树人的事业，基础教育关系到学生个人的发展. 随着社会发展的实际需求，国家针对义务教育颁布了“双减”政策，该政策的落地与有序推行，进一步明确了“如何培养人”的理念. 践行“双减”政策过程中，笔者产生了较多感悟与思考，本文以一次听课过程中的一道例题教学为例，具体谈谈如何在“双减”背景下，优化课堂例题教学设计，提高教学实效.

教学简录

问题：如图1所示，在直角坐标系xOy中，双曲线y=与直线y=mx相交于点A（-1，a），B，且BC与x轴垂直，点C为垂足，已知△COB的面积为1.

（1）m，n的值分别是多少？

（2）直线AC的解析式是什么？

1. 问题情境

本题作为一道综合题，涉及一次函数与反比例函数的相关知识，这位教师首先带领学生一起回顾了与之相关的内容，要求学生先完成以下三个问题：

（1）已知函数y=kx为正比例函数，且过点（1，-3），该函数还会经过的点为（     ）

A. （-1，3）       B. （1，3）

C. （-3，1）        D. （3，-1）

（2）已知在反比例函数y=-中，如果在该函数图象上任意取点A，并过点A分别作x，y轴的垂线，这两根垂线与平面直角坐标系围成一个矩形，该矩形的面积是多少？

（3）已知一次函数分别过点（3，5）与（-1，-1），写出该函数的解析式.

2. 思维链接

问题1：原题条件中的关键点有哪些？

问题2：△COB的面积为1，根据这个条件，你们会联想到反比例函数中的哪个结论？

问题3：观察原题，思考求比例系数、函数解析式有哪些常用方法，本题缺乏哪些解题条件？

问题4：结合正、反比例函数的性质特点，观察图象会发现点A，B之间存在怎样的关系？据此大家能联想到其他解决问题的办法吗？

3. 变式训练

变式1：如果反比例函数y=-与直线AC相交于点E，则△EOA和△EBA的面积分别是多少？该反比例函数的图象上，有没有一点P使得四边形PBCA为平行四边形？如果有，请写出点P的坐标;若无，请说明理由.

变式2：将直线AB围绕点O旋转，使得点A依然落于反比例函数y=-的图象上，经旋转后的反比例函数与直线分别相交于点A′，B′，此时所形成的四边形AA′BB′是什么形状？求直线A′B′的解析式.

变式3：若取一把锐角为30°的直角三角尺置于图象中，让直角顶点与变式2中的点A′或点B′重合，此时三角板的两条直角边分别与x轴、y轴相交，交点分别为M（x′，0），N（0，y′），此时的x′，y′具备怎样的函数关系？

4. 总结提炼

（1）知识层面：正比例函数图象具备怎样的性质？待定系数法的应用;反比例函数图象具备怎样的性质？k具备怎样的几何意义？

（2）数学思想方法层面：转化归纳思想、数形结合思想、分类讨论思想等.

（3）解题思维的注意点在于：要充分关注基础图形知识的积累，为熟练、灵活应用奠定基础.

教学剖析

1. 问题情境针对性弱

问题情境的创设是为了解决原题所服务，需具备明显的针对性. 这位教师设计了三道题目，意在带领学生复习、巩固一次函数与反比例函数的图象特征与性质特点，并提取学生认知系统内待定系数法在函数中如何应用的信息，为解决原题做好分解工作. 但是，课堂时间有限，学生在对这三道题目的探索中，不会有太多的思考空间，因此，此设计上存在“走过场”的嫌疑，复习效果一般.

其实，本节课在问题情境的创设时，可从原题出发，借助原题的题干进行改编，或直接呈现原题的题干. 这样能让学生从情感上更加熟悉、接纳问题，为拓展思维奠定基础.

2. 思维链接节点不够精准

解题思维链接的目的在于帮助学生搭建思维的台阶，让学生的思维跟随问题拾级而上，呈螺旋式上升[1]. 思维链接基本以由浅入深的问题形式呈现，学生从问题中感知解题思路. 因此，教师在问题设计时应考虑到知识的本质与学生的实际认知水平，找到知识的生长点，只有这样，才能在合适的节点上提出问题.

教师还需掌握好思维链接的问题的“度”，每一个问题都應具备启发思维与引导思考的作用，让学生在问题的探索中，获得启发. 鉴于此，教师可从理解题意、分析题意与解决策略的思维链接入手，寻找知识的生长点，进行问题的设计.

3. 变式设计偏离原题

变式训练的目的在于训练学生的解题思维，让学生获得解题技巧，形成举一反三的解题能力. 这位教师所设计的变式，单从每个问题来分析，都遵循了知识难度由浅入深的原则，但结合本堂课的教学来说，却远远地偏离了原题，无法有效训练学生的数学思维.

如变式1中的条件“反比例函数y=-”并非原题的条件，而是来自教师的引导;同样，待求的结论“△EOA，△EBA的面积以及点P的坐标”，都不是原题待求的结论，此变式的设计显然与原题无关. 虽然该变式具有渗透分类讨论思想的功效，涉及图形面积割补法的应用，还补充了一些数学思想，却存在偏离原题的弊端，从某种意义上来说，就是创造了一道新题，而非变式.

变式2、变式3亦然，虽然从单个问题来看，都是好问题，但与原题的条件、结论都没有什么关系，学生很难从中探寻出知识之间的联系，无法达到触类旁通的目的.

本节课涉及一道例题教学，教学的目的在于通过对原题的研究、拓展，起到“以一当十”的教学效果. 因此，设计变式应在原题的基础上进行，通过改变原题条件、结论，让学生的思维从“原点”出发，发散到相关知识中去，最终再回归到原题.

优化设计

基于以上分析，笔者结合学生实际情况与知识特点，将原设计进行了以下优化，以达到“减负增效”的教学成效.

1. 问题情境

例题教学相对枯燥，为了调动课堂气氛，吸引学生的注意力，笔者在课堂导入环节，以抢答的方式提出了两个问题.

（1）如图2所示，在直角坐标系xOy中，双曲线y=与直线y=mx相交于点A（-1，2），B，求点B的坐标.

（2）如图3所示，双曲线y=上存在点B，若BC与x轴为垂直的关系，点C为垂足，且△COB的面积为1，求n的值.

设计意图  学生想在最短的时间内准确地说出答案，就需要集中注意力，积极地调动所有的感官系统，从认知体系中提取可靠的信息. 这两个问题紧扣一次函数与反比例函数的图象特征与性质特点而提出，不仅起到复习、巩固的作用，还成功地将学生的注意力集中到课堂上，为接下来的教学奠定了良好的知识与情感基础.

2. 思維链接

问题1：细致审题，本题提供了哪些已知条件？

问题2：将以上两个抢答题结合在一起分析，根据本题的已知条件，我们能联想到与之相关的哪些知识？

问题3：原题需求什么结论？想要求出相应的结论，什么条件是必备的？这些必备条件在原题中是否提供？

问题4：大家准备如何解决此题？你们觉得解题的突破口在哪儿？

设计意图  此环节的本质是为学生的思维搭建“脚手架”，设计追问的形式，不仅能让学生探寻到良好的解题思路，还能形成一环扣一环的思维链. 以上三个问题恰巧落于知识的生长点处，每一个问题都具有良好的引导与提示功能，起到引领与启发的作用.

3. 变式训练

变式1（变条件）：将原题中△COB的面积为1，改成△COA的面积为1，其他条件与结论均不变.

变式2（变结论）：原题题干不发生改变，问题改为①求出△ABC的面积;②求双曲线y=与直线AC的另一个交点坐标.

变式3（条件和结论互换）：如图1所示，在直角坐标系xOy中，双曲线y=与直线y=-2x相交于点A（-1，a），B，且BC与x轴垂直，点C为垂足.

（1）△COB的面积是多少？

（2）直线AC的解析式是什么？

设计意图  由浅入深地变换问题的条件、结论，以及互换问题的条件与结论的变式设计，使得学生的认知与思维拾级而上. 学生通过对变式的自主探索，自然而然地获得了对应的数学思想方法与举一反三的解题能力.

4. 总结提炼

（1）解题过程中，你在什么地方遇到了障碍？

（2）解决原题，大家用到了哪些数学知识与思想方法？

（3）通过本节课的教学，你们觉得哪些方法对今后的解题有帮助？

设计意图  以上三个问题，不仅引导学生回顾整个解题过程，而且促进学生自我反省与自我评价. 尤其是第（3）问，学生总结本节课获得的能力的同时也对后期解题展开了思考，这是一个承上启下的总结，为建立学习信心奠定了基础.

教学思考

1. 追根溯源，因势利导

例题教学首先要明确教学重点与难点，对问题中所涉及的知识点与纵横相关的知识点有一个明确的认识;其次要追溯学生的最近发展区，了解学生的知识储备. 教师只有掌握了以上两点，才能在教学过程中准确找到知识的生长点，为设计启发性的问题提供依据.

追溯问题的本源是归纳解题策略、渗透数学思想方法的根本. 就题论题，治标不治本，学生难以从中获得启发，更谈不上各种能力的培养. 因此，例题教学更应注重学生的思维过程. 课堂导入环节的热身活动，教师不仅要做好相关知识的准备，还要设计有吸引力的问题，抓住学生的眼球，让学生在令人深思、含而不露的问题中自然而然地形成解题策略.

当然，课堂教学是一个动态的过程，无论教师的预设多么完美，都有可能出现意料之外的状况. 这就要求教师拥有过硬的专业素养与随机应变的能力，因势利导地做好引导与启发工作，让课堂在“以生为本”的基础上，不偏离“航线”，一路向前.

2. 变式训练，提高实效

“双减”政策的落地，将“减负增效”的实际成效摆上了台面. 例题教学要实现高效，变式训练是最佳的方法. 变式能将与问题相关的知识罗列到一起，让学生在类比分析中厘清知识脉络，建构完整的认知体系. 不论是一题多变、多题一解还是一题多解等，均需遵循由浅入深、循序渐进的过程，学生的创造性思维，在对问题的分析与总结中得以生长.

变式训练的本质是激活静态的数学知识，让学生从不同维度去审视同一个知识点，并找出与之相关联的一些内容，最后串珠成链，建构体系[2]. 教学中，教师可以在学生解决一般性的问题后，设计一些变式题，起到乘胜追击的作用，让学生换个角度寻找新的突破口. 这不仅是学生思维上的自我突破，更是培养学生创新意识的有效途径.

变式训练使得学生突破原有的单一的思维模式，促使他们综合评估并灵活应用相关知识，拓展解题思路，避免产生就题论题的弊端，为揭示数学本质做好铺垫. 实践证明，变式训练不仅是“双减”背景下的必然趋势，还是促进学生个人成长有效方法，它对提炼数学思想方法，提升学生的认知水平具有无可替代的作用.

3. 尊重差异，分层教学

学生之间的差异性是客观存在的现实，教师作为课堂的设计者与执行者，不仅要做好知识的传授工作，还要放下教师的“权威”，成为每个学生的引导者与支持者，要结合学生实际，从真正意义上为学生的差异化发展做好服务工作. “双减”背景下，针对学生差异性，教师可以从分层要求、分类指导、分层作业、个别点拨与多元评价等方面来实施[3].

结合学生实际情况，教师在例题教学过程中，可设计层次性的问题，让学生有选择性地进行思考，也可对部分学生实施个别辅导，确保每个层次认知水平的学生都能在教学中获得不同程度的发展. 从宏观角度来说，教师可协助学校开发一些具有研究性与拓展性的课程或社团活动，以满足不同学生的需求，从多渠道满足、支持学生的差异化发展.

总之，例题教学是照亮学生思维的灯塔，是贯彻落实“双减”政策的关键. 教师教学时，切忌贪多贪快，只有将问题理清讲透，才能让学生从真正意义上拥有触类旁通的解题能力. 当然，学生除了在课堂上吃透知识，还要做到应用时能反复揣摩例题中所涉及的数学知识与数学思想方法. 如此，可最大化地发挥例题的作用，这也是提高教学实效的主要措施.

参考文献：

[1]涂荣豹. 数学解题学习中的元认知[J]. 数学教育学报，2002，11 （04）：6-11

[2]G·波利亚. 怎样解题[M]. 涂泓，冯承天，译. 上海：上海科技教育出版社，2007.

[3]沈木勇. “双减”背景下提升初中数学课堂教学效益的策略[J]. 中学数学，2022（02）：91-93.