罗李平

(衡阳师范学院 数学与统计学院,湖南 衡阳 421002)

非线性振动问题是近代力学、物理学和工程技术等领域的重要研究课题,如单摆的振动,杠、梁的振动,建筑物和机器的振动,飞行器的结构振动等.在力学上非线性弹性杆(组)结构是工程上最普通的构件之一,广泛应用于交通工具、传动轴系、船舶推进、石油钻探、海底电缆等众多工程场合,而弹性杆(组)在数学上都是通过偏微分方程(组)来描述的,因此,可以通过对偏微分方程(组)的振动性进行准确分析,从而分析出所对应的机械或部件的振动状态,这对工程上的机械减振和降噪等实际应用具有重要的理论指导意义.近年来,关于这一方面的研究取得了一些很好的结果,例如文献[1-2]研究了两类具泛函变元的二阶非线性中立型广义弹性杆方程的振动性问题;文献[3-5]研究了几类具分布时滞的二阶中立型广义弹性杆方程的振动性问题;文献[6]研究了一类具混合非线性项的二阶广义弹性杆方程的强迫振动性问题;文献[7-9]研究了几类具分布时滞的偶数阶非线性中立型广义弹性杆方程(组)的振动性问题.本文拟考虑如下的一类具分布时滞的偶数阶非线性中立型广义弹性杆方程

a1(t)h1(u)Δu+a2(t)h2(u(x,ρ(t)))Δu(x,ρ(t)),(x,t)∈Ω×R+≡G

(1)

解的振动性,其中u=u(x,t),n≥2是偶数,Ω⊂Rm是有界域,∂Ω逐片光滑,R+=[0,∞),且Δ是Rm中的m维Laplacian算子.

同时考虑Dirichlet边值条件:

u=0,(x,t)∈∂Ω×R+.

(2)

本文总假定下列条件成立:

(H1)r(t)∈Cn(R+,R+),0<α<β,0

引理1[10]设y(t)∈Cn([t0,∞),R)为常号,在[t0,∞)上y(n)(t)≠0且满足y(n)(t)y(t)≤0,则

(i)存在t1≥t0,使得y(i)(t)(i=1,2,…,n-1)在[t1,∞)上常号;

(ii)存在l∈{0,1,2,…,n-1},n+l为奇数,使得y(i)(t)>0,t≥t1,i=0,1,2,…,l;(-1)i+ly(i)(t)>0,t≥t1,i=l+1,…,n.

在下文中,总假设边值问题(1)、(2)的解是整体存在的.

1 主要结果及其证明

定理1设如下条件成立:

(H6)r(t)>1是一个单调递减函数;

若

(3)

则边值问题(1)、(2)的所有解在G内振动.

方程(1)两边关于x在Ω上积分,有

(4)

由Green公式,边值条件(2)及(H5)有

(5)

(6)

其中N是∂Ω的单位外法向量,dS是∂Ω上的面积元素.

又由(H2)、(H3)有

(7)

(8)

(9)

由式(9)有

(10)

从而有

(11)

注意到Z(t)≥r(t)U(t)≥U(t),Z′(t)>0,t≥t2,由式(11)有

(12)

注意到Z′(t)>0,r(t)单调递减,t≥t2,从t2到t(t>t2)积分(12)可得:

进而有

但这与式(3)矛盾,故定理1得证.

由定理1,有如下推论.

推论1若微分不等式(9)无最终正解,则边值问题(1)、(2)的所有解在G内振动.

定理3设如下条件成立:

若

(13)

则边值问题(1)、(2)的所有解在G内振动.

证明如同定理1的证明,可得式(11).注意到r(t)<1,由式(11)有

(14)

注意到Z(t)≥r(t)U(t)≥γU(t),Z′(t)>0,t≥t2,由式(14)有

(15)

注意到Z′(t)>0,t≥t2,从t2到t(t>t2)积分式(15)可得:

进而有

但这与式(13)矛盾,故定理3得证.

类似地,可得如下定理.

定理4设(H8)成立.若

则边值问题(1)、(2)的所有解在G内振动.

借助如下的特征值引理,可得到许多关于边值问题(1)、(2)的类似结果.下面,假设h1(u),h2(u)都是常数(不妨假设都是1).

引理2[11]设λ0是如下Dirichlet特征值问题

(16)

的最小特征值,φ(x)是与λ0对应的特征函数,则λ0>0,φ(x)>0,x∈Ω.

定理5设定理1中的条件均满足,则边值问题(1)、(2)的所有解在G内振动.

将方程(1)两边同乘以Dirichlet问题(16)的最小特征值λ0所对应的特征函数φ(x),并在区域Ω上关于x积分,得

(17)

由Green公式及边值条件(2),并结合引理2,有

(18)

(19)

又由(H2),(H3)有

(20)

(21)

(22)

由式(22)有

余下证明同定理1的后半部分的证明.故略.定理5证毕.

由微分不等式(22),有

类似于定理5的证明,可得如下定理.

定理6设(H6)、(H7)成立.若

则边值问题(1)、(2)的所有解在G内振动,其中λ0由问题(16)确定.

由微分不等式(22),有

类似于定理5的证明,可得如下定理.

定理7设(H6)、(H7)成立.若

则边值问题(1)、(2)的所有解在G内振动,其中λ0由问题(16)确定.

由定理5,有如下推论.

推论2若微分不等式(22)无最终正解,则边值问题(1)、(2)的所有解在G内振动.

类似地,可得如下定理.

定理8设定理3中的条件均满足,则边值问题(1)、(2)的所有解在G内振动.

定理9设(H8)成立.若

则边值问题(1)、(2)的所有解在G内振动,其中λ0由问题(16)确定.

定理10设(H8)成立.若

则边值问题(1)、(2)的所有解在G内振动,其中λ0由问题(16)确定.

注1定理6、定理9中的判据仅依赖于扩散系数a2(t).

注2利用本文的思想,还可以考虑其他边值条件.譬如,考虑如下的Robin边值条件

(23)

其中μ(x)∈C(∂Ω,(0,∞)).只要将文中的假设条件(H5)改为:

不难得到边值问题(1)、(23)的若干振动判据.限于篇幅,在此省略之.

2 应用举例

下面给出一个例子来阐述本文主要结果的有效性.

例1考虑具分布时滞的四阶非线性中立型广义弹性杆方程

(24)

及边值条件

u(0,t)=u(π,t)=0,t≥0.

(25)