基于H∞回路成形的变循环发动机多变量控制

2023-05-13刘露杨郭迎清杨闻浩刘严严

航空发动机 2023年1期

刘露杨，郭迎清，杨闻浩，刘严严

（1.西北工业大学动力与能源学院，西安 710129；2.中国航发沈阳发动机研究所，沈阳 110015）

0 引言

变循环发动机属于复杂、强非线性、多变量、时变的系统，可以根据不同任务需求改变当前发动机工作模态以提升发动机性能；然而发动机性能的提升是以增加控制变量为代价来实现的，随着变量的增多，系统的耦合性更加明显，对于具有众多可调变量的发动机系统，各变量间只有相互协调配合才能使发动机发挥出整体的优势。目前的发动机多变量控制主要采用比例积分（Proportional Integral,PI）控制，还不能完全解决回路间的耦合，因此采用先进的多变量控制方法对于提升变循环发动机性能具有重要意义。

针对发动机多变量控制，国内外已经开展了大量研究。比较成功的多变量控制方法主要有线性二次型（Linear Quadratic Regulator, LQR）控制、H∞控制、μ综合以及自适应控制等[1-2]。Szuch等[3]早在20世纪70年代初就对F100发动机开展了LQR多变量控制技术研究，为了保证控制精度和发动机的最佳性能，共选择了5 个控制量用于发动机闭环控制；Shutler 等[4]针对F120 变循环发动机使用了3 个闭环控制量、5 个开环控制量用于多变量鲁棒控制技术研究，闭环控制量中还包括了可变的涵道比；王海泉等[5]针对航空发动机多变量鲁棒控制器设计问题，深入研究了混合灵敏度H∞方法、H∞回路成形法等，并进行了半物理仿真试验；何凤林等[6]采用基于改进的非支配序自组织迁移（Non-dominant Sorting Self-organizing Migration Algorithm,NS-SOMA）多目标优化算法实现了3 变量变循环发动机的解耦控制。

为了进一步提升变循环发动机的性能，需对其多变量控制技术做进一步研究。本文利用3输入3输出变循环发动机线性化数学模型[7]，采用相对增益矩阵（Relative Gain Array，RGA）方法[8]分析了发动机内部的耦合性，设计了基于目标回路的2自由度H∞回路成形的多变量控制系统，并与传统的基于PI 的单变量控制方法进行了对比。

1 变循环发动机简介

1.1 3涵道变循环发动机基本原理

本研究采用了典型的带核心机驱动风扇级（Core Driven Fan Stage, CDFS）的变循环发动机，其基本原理如图1 所示。该发动机共有9 个可调变量，分别为燃油流量Wf、尾喷管喉部面积A8、3 个可变涵道引射器面积AVABI1～AVABI3、风扇可调静子角度α1、CDFS 可调静子角度α2、高压压气机可调静子角度α3和低压涡轮可调静子角度α4。发动机的具体原理详见文献[9～10]。

图1 3涵道变循环发动机基本原理

该发动机共有2 种工作模态：在亚声速巡航等低功率状态下以双外涵模式工作，AVABI1～AVABI2均开到最大，发动机具有较大的涵道比B和较低的单位燃油消耗率f；在超声速巡航等高功率状态下以单外涵模式工作，AVABI1关闭、AVABI2关小，更多的气流进入核心机，同时α2、α3开大以适应增加的气流，α4也开大，使高压涡轮的功率相应提高，此时发动机具有较小的B和较大的推力FN。

1.2 发动机变量的选择及线性化

以双外涵模态下的变循环发动机模型为例分析多变量控制的优势，其中控制规律选择为使用Wf、A8和AVABI3来控制低压转子转速n1、发动机压比πe和混合室入口内外涵气流压比πm，即

定义状态变量分别为n1、高压转子转速n2、涡轮前总温Tt4和涡轮入口总压Pt4。采用线性拟合法，在高度H= 0、马赫数Ma= 0 的飞行条件下实施线性化，得到设计点的归一化线性模型

并将式（2）记为G(s)。归一化后的输入、状态、输出变量分别为

1.3 发动机耦合性分析

在发动机控制过程中，若采用多个单变量控制器独立工作的方式，则系统会不可避免地受到发动机内部耦合作用的影响，例如：单独调节Wf时，3个被控变量都会受到影响；此外，对任意1 个被控变量，例如n1，3个控制变量对其均有一定的控制作用。因此，在评估单变量控制是否可行时，应当首先分析发动机的耦合性。使用以频率为自变量的RGA 矩阵可以衡量多变量系统各回路的耦合作用，RGA矩阵的定义为

式中：“×”表示元素间的乘积（Schur乘积）。

RGA 矩阵中所有的行和列之和均为1，且第i行第j列元素λij表示的是第j个控制量对第i个被控量的交互作用。RGA 矩阵越接近单位阵，则系统的耦合性越弱。为了方便衡量RGA 矩阵与单位阵的接近程度，定义RGA数

RGA数越接近0，耦合性越弱。

针对G(s)，在对数坐标下绘制RGA 数的变化曲线，如图2 所示。从图中可见，RGA 数始终大于0，且随着频率提高有不断加大的趋势，表明系统内存在耦合且随着频率提高不断加强。

图2 RGA数的变化曲线

以控制量AVABI3为例分析3个被控量间的耦合性，在对数坐标下绘制RGA 矩阵第1 列元素幅值随频率变化的曲线，如图3 所示。图中λ13、λ23、λ33分别为AVABI3对n1、πe、πm交互作用的相对大小。在单变量控制过程中，AVABI3控制πm，且该通道的带宽为ωb=1.72 (rad/s)。从图中可见，在ω＜ωb的范围内，AVABI3仅对πm具有较大影响，耦合性较弱；在ω≥ωb的范围内，AVABI3对另外2 个被控量的影响越来越大，耦合性较强，因此需要采用多变量控制。

图3 AVABI3通道的RGA矩阵元素随频率变化的幅值

2 2自由度H∞多变量控制器设计

2.1 H∞回路成形的基本原理

采用H∞回路成形法可以让系统的稳定性和性能都维持在良好的水平，该方法包含了3 个过程：根据性能要求设置前置或后置补偿器，使开环回路的奇异值σ曲线具有期望的形状；利用H∞优化技术，针对互质因子不确定性，对成形后的对象进行鲁棒镇定；合成单自由度控制器[11-12]。

（1）开环回路成形。回路成形的过程可通过在被控对象两端加入补偿环节实现，如图4所示。

图4 开环回路成形

成形后的对象用Gs(s)表示，且

为使闭环系统具有良好的性能，应合理配置补偿函数，使Gs(s)的奇异值曲线σ[Gs(jω)]满足如下性能要求：（1）低频段，为减小跟踪误差，需满足-σ[Gs(jω)]≫1，一般取20 dB；（2）中频段，为保持闭环稳定性，衰减率约为-20 dB/10倍频程；（3）高频段，为提高噪声抑制能力，需满足σˉ[Gs(jω)]≪1，一般取-20 dB；（4）为缩短调节时间，提高响应速度，穿越频率ωc应该足够大。

（2）H∞鲁棒镇定。为了提高系统的鲁棒稳定性，还需要利用H∞优化技术将摄动后的系统镇定化。将成形后的系统改写为标准的左互质分解形式，得到摄动后的对象模型为

式中：ΔM(s)和ΔN(s)为稳定但未知的函数，表示Gs(s)的不确定性。

鲁棒镇定过程如图5所示。

根据小增益定理，图5中摄动反馈系统鲁棒稳定的条件为：标称反馈系统内部稳定，且

图5 鲁棒镇定过程

式中：τ为ϕ到[uT yT]T的H∞范数；ε为ΔM(s)和ΔN(s)的最大奇异值。

对应的鲁棒镇定控制器K∞(s)可利用Mcfarlane与Glover[13]提出的“中心”控制器，具体步骤参见文献[13]。

（3）合成单自由度控制器。单自由度控制器如图6所示，其结构为

图6 单自由度控制器

2.2 通过目标函数来设计补偿函数

在回路成形过程中，补偿函数的设计没有固定的方法，通常需要大量试凑，其过程复杂。为简化设计过程，采用如下方法：（1）根据第2.1 节的性能要求给定目标开环回路传递函数矩阵Gd(s)，并令W2(s)=I；（2）采用GCD 公式法[14]反向求解W1(s)，使得在给定频率范围内

该过程利用MATLAB 鲁棒控制工具箱中的loopsyn函数求解，调用格式为

2.3 2自由度方案

若仅采用指令与反馈信号之间的误差来驱动控制器，则构成了常见的单自由度控制器；但是在对输出响应有严格时域指标要求的情况下，单自由度方法需要大量的试凑。为了将时域指标纳入到控制器的设计过程，考虑在参考指令端串联1 个前置滤波器，得到2 自由度控制器，2 自由度回路成形控制系统如图7 所示。以强制闭环系统奇异值曲线拟合到指定的参考模型传递函数矩阵Tref(s)。

图7 2自由度回路成形控制系统

图中，K1D(s)（式（7））用于满足鲁棒稳定性和扰动抑制的需求，K2D(s)用于满足时域性能指标要求，其设计步骤为：

（1）闭环回路成形。采用与第2.2 节中求解补偿函数相同的方法求解滤波器W3(s)；

（2）稳态增益匹配。对参考指令r进行尺度变换，使闭环控制系统传递函数矩阵T(s)与Tref(s)的输出在稳态精确匹配，即满足目标

3 控制系统综合验证

3.1 开环回路成形设计

针对式（2）中的线性模型，采用基于目标回路的方法设计补偿函数，给定目标开环回路奇异值曲线低频段增益为40 dB、高频段增益为-40 dB、穿越频率为3 rad/s且穿越频率处斜率为-20 dB/10倍频程，优化范围为10-2～102rad/s，得到从误差到被控量的开环回路奇异值曲线如图8所示。

图8 开环回路奇异值曲线

从图中可见，成形后及鲁棒镇定后的开环回路奇异值曲线满足第2.1节中的指标要求，保证了闭环系统的鲁棒稳定性及扰动抑制能力。

3.2 闭环系统综合仿真验证

2 自由度H∞方法可直接给定闭环参考模型以设计控制器。例如：给定3 个闭环参考模型的阶数均为2、期望调节时间ts= 1.5 s、期望相位裕度PM= 80°（ωc=2.2 rad/s）、开环稳态增益为80 dB，得到参考模型

为了作对比，同时设计了基于PI 的多回路单变量控制器，同样给定ωc= 2.2 rad/s 处相位裕度PM=80°；随后在非线性模型中进行验证。

3.2.1 扰动抑制能力验证

使发动机在设计点处平稳运行，在t=5、10、15、20 s的时刻分别对发动机的4个状态量施加一定幅度的冲击扰动，得到发动机的状态恢复效果如图9 所示（以n1为例进行展示）。

图9 发动机状态恢复效果

从图中可见，在同等的扰动输入条件下，2 种方法均能使发动机状态恢复到初始值，且2 条曲线几乎重合，说明采用2 种方法设计的控制系统均具有良好的扰动抑制能力。

3.2.2 跟踪性及解耦性能验证

在验证多变量控制系统的跟踪性及解耦性能时，每次仅单独对其中1 个参考指令施加阶跃变化量，其他指令不变。例如：在验证n1的跟踪效果时，仅给定n1参考指令1000 r/min 的阶跃上升量，闭环阶跃响应仿真结果如图10 所示。n1阶跃响应、πe回路、πm回路的性能指标分别见表1～3。

图10 闭环阶跃响应

表1 n1阶跃响应性能指标

表3 πm回路性能指标

从图10（a）和表1 中可见，在同等频域指标要求下，采用多变量方法设计的系统在n1回路的阶跃响应过程中拥有更小的超调量和更短的调节时间，其中超调量从9.58%减小到0.45%，减小了95.3%，调节时间从2.99 s 缩短为1.45 s，调节速度加快了51.5%，表明多变量方法性能更优；从图10（b）和表2 中可见，在n1回路阶跃跟踪的过程中，πe回路也会因系统耦合作用产生波动，且采用多变量方法时这种波动更小，πe的最大偏移量从0.0708% 减小到0.0073%，减小了89.69%，调节时间从1.64 s 缩短为1.19 s，调节速度加快了27.4%，表明多变量方法的解耦效果更好。同理，对于πm回路，采用多变量方法时波动更小，解耦效果也更好。