李 祥 张小青 司丽娜 田 斌

(1.北京工商大学人工智能学院 北京 100048；2.北方工业大学机械与材料工程学院 北京 100144)

微气体润滑轴承具有精密度高、摩擦损耗小、无污染、寿命长等优点，在MEMS器件特别是微旋转机械中有广泛的应用前景。微气体轴承的气膜厚度通常在1～20 μm之间，与气体平均分子自由程(λ)的量级接近，处于滑移流范围[1]。黄海等人[1-2]分别采用一阶滑移流、二阶滑移流模型研究了具有光滑表面的微气体轴承性能，发现滑移流效应降低了轴承的承载力，并减弱了其抗扰动能力。除滑移流模型外，适用于任意努森数的Fukui-Kaneko(F-K)模型[3-4]及WU新滑移模型[5]也逐渐应用于对微气体轴承的研究中，它们的结果与线性玻尔兹曼方程解更接近。

无论何种加工方法，都难以保证加工表面绝对光滑，轴承的表面往往存在微凸峰和凹谷，即存在形状误差。那些周期性重复出现的、波距在1～10 mm之间的形状误差，称为波纹度，简称波度；那些没有明显的周期性、波距小于1 mm的形状误差，称为表面粗糙度[6]。对于间隙在微米级的微气体轴承而言，表面形貌的影响非常重要。DIMOFTE[7-8]研究了波纹度对径向轴承性能的影响，发现波的幅值和位置会明显影响轴承的性能。WANG等[9]发现表面波纹度的幅值增大(由1 μm增至3 μm)时，轴承承载力、流速均随之增小，而摩擦因数则会增大；同时，波纹度对轴承动特性也有一定的影响。TURAGA等[10]、LIN等[11]用CHRISTENSEN和TONDER[12]的随机粗糙理论模型研究了表面粗糙度对动压轴承的影响，发现同光滑轴承相比，横向粗糙度的存在可显著提高轴承的承载力和稳定性，而纵向粗糙度则相反。张文明等[13-14]则采用分形函数表征粗糙表面，探究了表面粗糙度对径向气体轴承性能的影响，发现表面存在粗糙度时，压力分布和承载能力会发生不规则的波动，和光滑表面轴承有很大差别。王玉娟等[15]、史宝军等[16]研究了表面粗糙度对磁盘系统静态特性的影响，发现表面粗糙度对承载能力的影响很大，但是对压力中心的影响较小。

事实上，表面波纹度和表面粗糙度往往不是独立存在的，然而目前针对复合粗糙表面对微气体轴承性能影响的研究报道还很少，因此，研究在两者共同作用下的微气体轴承性能是非常有意义的。本文作者基于考虑稀薄气体效应的F-K模型，采用WEIERSTRASS-MANDELBROT(W-M)分形函数表征表面粗糙度，用正弦波近似表示表面波纹度，探讨了不同周期、幅值、相位角条件下的波纹度与不同表面粗糙度对径向微气体轴承压力分布、承载能力、压力中心等性能的影响。

1 控制方程及数值求解方法

楔形滑块常作为推力轴承的组成元件，许多气体润滑模型也可以简化或者近似成楔形滑块模型，且对楔形滑块的分析有助于了解润滑的基本特性[6，17]，故文中以无限长楔形滑块为分析对象，研究表面波纹度及表面粗糙度对微气体轴承润滑特性的影响。

1.1 超薄气膜润滑 Reynolds方程

在气体润滑轴承中，由于气体存在可压缩性，故气体的密度不是常量，应采用可变密度的雷诺方程。微气体轴承的气膜间隙只有几微米甚至更小，参考F-K模型，引入流量修正因子Q来修正雷诺方程。假设气体为等温理想气体，且气体具有黏度，则适合于超薄气膜润滑的Reynolds修正方程[18]为

(1)

流量修正因子Q的表达式为

(2)

式中：Dk为逆努森系数；pa为环境压力；R是气体常数；T是环境温度；μ为气体动力黏度。

对于无限长楔形滑块的稳态分析，没有y向速度，并且不考虑时间项，则在稀薄效应下的雷诺方程为

(3)

定义量纲一化参数如下：

(4)

将式(4)代入方程(3)可得直角坐标系下的量纲一化Reynolds方程：

(5)

1.2 膜厚方程

式(3)中的h为气膜厚度，与轴承的结构及尺寸有关。图1给出了楔形滑块轴承的结构模型，当组成楔形滑块的两个表面都光滑时，如图1(a)所示，其膜厚是随坐标x线性变化的，其表达式为

图1 具有不同表面形貌的楔形滑块

hs(x)=(L-x)tanθ+h0

(6)

当表面存在加工误差时，不妨设滑块上表面为光滑，下表面为粗糙表面，如图1所示。当表面仅存在粗糙度时，如图1(b)所示，由于分形函数中分形维数和尺度系数联系在一起具备表征粗糙度的唯一性和直观性[19]，为此，文中采用W-M分形函数表征表面轮廓高度曲线hr，即：

(7)

式中：G为分形特征尺度系数；D(1

此时，膜厚方程变为

h=hs-hr

(8)

引入相对粗糙度δ来表征粗糙度的尺度，

(9)

其中Rq为均方根粗糙度，

(10)

相对粗糙度δ的大小可以通过调整特征尺度系数G和分形维数D来控制。

当轴承表面仅存在波纹度误差时，如图1(c)所示，假设轴承的表面波纹度为正弦曲线，则表面轮廓曲线可以表示为

(11)

式中：A为波纹幅值；T为波纹的周期；φ为相位角。

仅存在波纹度加工误差时的膜厚方程为

h=hs-hw

(12)

当轴承表面同时存在粗糙度及波纹度误差时，如图1(d)所示，表面轮廓相当于二者的叠加，此时膜厚方程为

h=hs-(hr+hw)

(13)

1.3 数值方法

有限差分法是一种求解微分方程的常用算法，在雷诺方程的求解中得到了广泛的运用。文中采取精度最高的中差分形式对修正的Reynolds方程进行离散，得到一个关于压力P的非线性方程组，接着用Newton-Raphson方法对其进行求解，即可求得对应于各节点的压力值，即压力分布。则气体润滑膜的承载力可以根据式(14)利用复合Simpson方法求得：

(14)

压力中心就是载荷的作用点，可以通过对原点取矩求得。设原点与压力中心的距离为x0，则有：

(15)

式(15)也是利用复合Simpson方法积分。

式(13)中的hs、hr、hw，通过式(4)量纲一化为Hs、Hr、Hw。

2 结果与讨论

文中研究的楔形滑块的基本参数如表1所示。

表1 楔形滑块轴承基本参数

2.1 压力分布分析

首先计算了仅存在表面粗糙度、仅存在波纹度及二者都存在3种情况下沿X向的压力分布，如图2所示。图2(a)给出了不同相对粗糙度值δ下的压力分布曲线，在计算中，δ值不能超过20%，否则会造成局部膜厚h<0，即发生碰磨。从图2(a)可见，仅存在表面粗糙度时，轴承的气膜压力高于表面光滑时的压力，表面相对粗糙度δ值越大，气膜压力越高；受表面粗糙度的影响，压力曲线出现微小波动，在粗糙度值大时及压力峰值附近，这种波动比较明显。图2(b)给出了周期T=1/3、相位角φ=0时不同幅值的波纹度下的压力分布情况。可以看出，当A较小时(如A=0.05)，存在波纹度情况下的气膜压力小于光滑表面气膜压力；随着幅值A的逐渐增大，压力曲线沿X向呈现明显波动，压力值时而高于光滑表面，时而低于光滑表面，且压力峰值较光滑表面左移，在Xc=0.7附近，这是由于受波纹度的影响，该处膜厚较小；在A>0.1时，存在波纹度情况下的压力峰值高于光滑表面，但在出口附近压力迅速降低，低于光滑表面，这是由于在出口附近，波纹度的存在增大了气膜厚度。图2(c)给出了相对粗糙度δ=10%并存在不同幅值(A=0.1，0.2，0.3)波纹度情况下的压力分布情况。与表面光滑、仅存在粗糙度及仅存在波纹度下的压力分布进行对比发现，粗糙度及波纹度均存在时，压力曲线的整体趋势与仅存在波纹度的情况大体一致，但由于表面粗糙度的存在，其压力值更高。

图2 不同表面轮廓及对应的压力分布(Λ=10，H1=1.8)

总体而言，表面粗糙度对压力分布的影响主要体现在压力值大小上，粗糙度的存在提高了压力值，对压力分布曲线形态影响不大；波纹度则对压力分布曲线的形状有较大影响，压力曲线也具有波纹状的波动特点，在幅值A较大时更为明显。从图2(b)可以看出，当仅波纹度幅值不同而相位及周期相同时，其对应的压力分布曲线形状接近，只是幅值不同。文中对其他周期(T=1，1/5，1/9)情况进行了研究，如图3所示，得到的结论是一致的。

图3 不同波纹周期和幅值条件下的压力分布

通过图3中不同波纹周期与幅值下轴承压力分布曲线的对比发现，当波纹周期T=1时，波纹度会降低轴承的气膜压力值，且幅值A越大，气膜压力下降越明显；当波纹周期T=1/5时，随着幅值A的增大，气膜压力峰值逐渐增大，但在靠近气体出口处，压力骤降较为明显；当波纹周期T=1/9时，虽然存在波纹度情况下压力分布仍有波动，但在0

轴承的波纹表面几何形态不仅与幅值和周期有关，还受到波纹相位角(即波纹的起始位置)变化的影响。取波纹幅值A=0.1、周期T=1/3，计算了φ=0、φ=π/2、φ=π、φ=3π/2时的压力分布，结果如图4所示。可以看出，压力分布与波形有一定的相似性，不同的相位角对压力分布影响较大。对于文中算例，φ=0时的气膜压力低于轴承表面光滑时的值；φ=π时，轴承的气膜压力最大，其峰值位置较其他3种情况明显后移。因此，除幅值和周期外，波纹度的相位角对轴承的压力分布也有明显的影响。

图4 相位角对压力分布的影响

2.2 承载力及压力中心分析

图5给出了不同轴承数时承载力和压力中心随表面粗糙度的变化曲线。由图5(a)可见，当轴承数相同时，表面粗糙度的存在可以提高轴承的承载力，且相对粗糙度值越大，轴承的承载力越高；粗糙度值相同时，轴承数越大，承载力越高。从图5(b)可以看出，在轴承数较小时，随着粗糙度值增大，轴承的压力中心的坐标Xc逐渐减小，即向入口区移动；当轴承数在30～100范围内时，表面粗糙度值对轴承的压力中心影响不大；当轴承数较大时(如Λ=150)，随着粗糙度值增大，压力中心略微向出口区移动；在同一粗糙度值下，轴承数越大，系统的压力中心越靠近出口。

图5 不同轴承数时表面粗糙度对轴承性能的影响

从2.1节的分析可知，轴承表面波纹度的幅值、周期、相位角对轴承压力分布都有较大影响。为了进一步探究上述参数对轴承润滑特性的影响，计算了不同参数下的轴承承载力和压力中心，如图6及图7所示。从图6中可以看出，波纹度周期相同时，随着相位角的增大，轴承承载力先升高再减小，呈现出周期性的变化，在相位角φ=3π/4附近时，承载力最高；且波纹度的幅值越大，承载力越大；轴承压力中心随相位角的变化趋势与承载力相似，随着相位角的增大，压力中心坐标值Xc逐渐增大，在相位角φ=3π/4附近时，达到最大，之后逐渐减小；在π/4<φ<5π/4范围内，波纹度幅值越大，压力中心越靠近压力出口，其他范围则相反。

图6 相位角对轴承承载力及压力中心的影响(T=1/3)

从图7中可以看出，波纹度的相位角相同时，随着周期的逐渐增大，轴承承载力的变化不是单调的，周期T从1/9增至1的过程中，时而增大，时而减小，在0.4及0.8附近分别出现峰值；当波纹度的相位角相同时，与承载力类似，轴承的压力中心随周期增大也呈现出不规则的变化趋势。

图7 周期对轴承承载力及压力中心的影响(φ=0)

从2.1节的研究可知，复合粗糙表面对轴承的压力分布有较大影响，为了进一步探究其对轴承润滑性能的影响，分别计算了光滑表面、仅存在波纹度、仅存在粗糙度及二者并存情况下承载力及压力中心随轴承数的变化曲线，结果如图8所示。从图8(a)可以看出，仅存在波纹度的表面对应的承载力最小，小于光滑表面；复合粗糙表面可以弥补表面波纹度带来的承载力的降低，且轴承数越大，效果越明显；仅存在粗糙度的表面，承载力最高，且粗糙度越大，承载力越大。从图8(b)可以看出，当轴承数Λ<40时，由于表面粗糙度对压力中心影响较小，图中压力中心曲线大致分成两组：复合粗糙表面和波纹表面压力中心的值很接近，而仅粗糙表面情况下的压力中心则与光滑表面很接近；在Λ>40以后，逐渐分化，复合粗糙表面使轴承压力中心向出口处移动。

图8 不同表面形貌下轴承的承载力及压力中心随轴承数的变化曲线

3 结论

(1)在一定范围内，表面相对粗糙度的增大有助于提高承载力和气膜压力；表面波纹度的存在会使轴承的压力分布呈现明显波动，波纹幅值越大，波动越明显；复合粗糙表面可以弥补表面波纹度所引起的承载力和压力的降低，随着轴承数的增大，效果逐渐明显。

(2)波纹周期在0.4及0.8附近时承载力和压力中心分别达到峰值；波纹相位角在φ=3π/4附近时，轴承的承载力达到最大，并且压力中心也处于距离压力出口最近处。

(3)表面粗糙度对轴承压力中心的影响较小，而表面波纹度对轴承压力中心的影响较大，在Λ>40以后，复合粗糙表面对压力中心的影响逐渐变大，使得轴承压力中心向出口处移动。