□董文彬

在《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“2022年版课标”）中，“数与代数”是义务教育阶段学生数学学习的重要领域，在小学阶段包括“数与运算”与“数量关系”两个主题。“数与运算”分成“数的认识”和“数的运算”，在小学阶段，“数的认识”包括整数、小数、分数的认识，“数的运算”包括整数、小数、分数的四则运算。

数是对数量的抽象，“数的运算”学习重点在于理解算理、掌握算法，“数与运算”之间存在着密不可分的天然内在的联系。2022年版课标指出：“学生经历由数量到数的形成过程，理解和掌握数概念；经历算理和算法的探索过程，理解算理，掌握算法。初步体会数是对数量的抽象，感悟数概念本质上的一致性，形成数感和符号意识；感悟数的运算及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。”“数的认识”与“数的运算”的教学，既要注重各自的内容特点，也要注重二者之间的密切联系，“数的认识”是“数的运算”的基础，数的运算有助于学生更深入地理解数概念的形成与发展，深化对数的意义、本质的再认识。

一、解构与建构：数与运算的整体性与一致性内涵分析

（一）“数的认识”的整体性与一致性

“数的认识”包括整数、小数和分数的认识（如图1），这三类数在本质上都具有抽象的特征，即从具体的数量及数量关系中抽象出数。整数的认识是从数量抽象为数，小数和分数是对具体的数量及关系的抽象、刻画与表征。在数的认识中，教师要帮助学生理解十进制计数法，感悟整数与小数的计数单位的十进关系，感悟分数单位，进一步形成数感。“数的认识”是小学数学中重要的核心概念之一，是学生学习数学的起始，也是学生后续学习的知识基础。

图1 数概念表达的整体性与一致性框架

从数概念的形成和数的组成角度看，整数、小数、分数都是基于“计数单位”建构的，本质上是一个整体，具有一致性。数的认识教学重点是理解数的建构方式。事实上，所有的数都诞生于计数单位，数的产生就是计数单位产生的过程。整数的计数单位是个、十、百、千……小数的计数单位是十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）……分数的计数单位是分数单位。不同的是，整数和小数相邻计数单位间的进率都是“10”，这种计数方式称为“十进制计数法”，而分数的进制取决于分数单位，通常看分数的分母，即把一个整体单位“1”平均分的份数，比如分母是4的分数，需数够4次分数单位方可“进一”，分母是7的分数，需数够7次分数单位方可“进一”，以此类推，所以分数的进制由分数单位确定“满几进一”。因此，在整数与小数的认识（包括运算）中更多地以小棒、小方块、计数器、数线、方格纸这些直观模型作为支撑，而到了分数的认识（包括运算），直观模型几乎完全为方格纸所取代，这是由方格纸的天然结构性和数学性所决定的——即方格纸作为二维的面积模型，把它看作一个整体单位“1”，可以根据需要在两个维度上进行平均自由分割。［1］由此可见，计数单位是建构整数、小数、分数的核心与关键。

（二）“数的运算”的整体性与一致性

数的运算包括整数、小数、分数的四则运算。笔者从运算对象、运算意义、算理算法、运算应用四个维度进行梳理（如图2）。运算对象——整数、小数、分数。运算意义——加法、减法、乘法、除法运算的含义。从算理、算法的视角看，无论是整数、小数、分数的哪一种运算，都最终指向计数单位的累加、递减、创生和细分。这里的创生是指原有运算对象中的计数单位不能满足运算的需要而必须创造产生新的计数单位再运作于运算的过程。数的每一种运算绝不是割裂的、独立存在的，如小数、分数的加、减、乘、除运算都可以和整数的加、减、乘、除运算建立联系，使学生初步感悟运算的整体性与一致性。从整体视角来理解，数的运算都是对计数单位的累加、递减、创生和细分。同时，帮助学生认识运算方法的共性和差异，发展运算能力和推理意识。

图2 数的运算的整体维度结构

从运算意义的视角来看，所有运算都可以溯源到加法。加法是所有运算的基础与核心［2］，加减乘除融会贯通是一个整体。要在理解运算意义的基础上体会减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，体会乘法是若干相同加数相加的简便运算，除法是连续减去若干相同数的简便运算。从算理、算法的视角来看，计数单位、运算定律与等式的基本性质是所有运算算理、算法的基础。

只有这样打通数学核心内容之间的本质联系，才能从整体上理解数学课程理念、掌握数学课程目标、认识数学课程内容、设计学习内容主线，从而最终从整体上把握小学数学课程教学。［3］

二、理解与重塑：数与运算的整体性与一致性主题教学实施

（一）用案例说话——分数的再认识：理解数意义的整体性与一致性

“数的认识”教学中涉及的核心概念有计数单位、数位、位值制和十进制。“数的认识”教学要帮助学生从不同数域体会数的本质意义，感悟数概念形成与发展的一致性——即数是对数量的抽象，数是对计数单位个数多少的表达。下面以北师大版教材五年级上册“分数的再认识（二）”为例，说明数意义的整体性与一致性的教学实施过程。

为什么学习了整数之后还要学习分数？其一是在分物、测量时往往不能恰好得到整数的结果。其二是在计算除法时商无法得到整数结果，无法用整数来记录，此时需要用分数来表达。基于现实生活与数域扩充的双重需求，就产生了分数。另外，从数概念的形成来看，分数与整数之间有着密切的联系。整数、分数都是以“1”为标准，通过不断累加计数得到的数就是整数，不断平均分成若干份后，就会产生不同的分数单位，进而产生不同的分数。因此，在数的认识教学中，要紧紧抓住计数单位这一核心概念，帮助学生沟通整数、小数和分数之间的内在关联，感悟数的整体性与一致性。

1.感悟分数产生的度量意义

在教学中，让学生用一张固定长度的纸条去分别测量一个长方体盒子的长、宽、高。教师启发学生思考：“如果能正好量完，是几张纸条长？如果不能正好量完，该怎样表示长度？”师生共同讨论：当盒子的某条边的长度不够用这张纸条量，那么，剩余的部分怎么量长度、怎么记结果？引导学生把纸条变短——对折（用纸条量）、再对折（用纸条量），思考变短后的纸条与原纸条之间的关系，进而帮助学生体会实测物体时往往存在不能正好量完的情形，将给定的长度等分，用其中的一部分作为新的长度单位接着去量物体的长度，如正好量完即用整数表示物体长度并记录测量结果，如不能正好量完即用分数表示物体长度并记录测量结果，帮助学生从度量的角度感悟分数产生的新的意义。

2.借助分数墙认识分数单位

教师出示一张纸条作为单位“1”，不断地将其平均分成2 份、3 份、4 份……形成“分数墙”（如图3）。教师启发学生思考：“把单位‘1’平均分成若干份后每份分别可以用哪个分数表示？”借助分数墙来认识分数的计数单位——分数单位。引导学生发现分数墙中蕴含的规律：把单位“1”（一个纸条）平均分成几份，1 份就是整体的几分之一，即分数单位。直观体会平均分的份数越多，它的每一份（几分之一）即分数单位就越小。如把单位“1”平均分成8份，1份是这张纸条整体的，以为计数单位数2 次，就得到2 个即，以为计数单位数3次，就得到3 个即，这样不断数下去就能得到这样分母是8的分数。再继续数下去就会得到……其他分母是8 的分数。同时，将纸条左边起点标注为“0”，1 份1 份地向右数下去，依次标注将分数墙（数尺）压缩即为数线（数轴）（如图4）。

图3 “分数墙”直观模型

图4 “分数墙—数尺—数线”直观模型

3.沟通分数与整数、小数的关联

教师启发学生思考：分数单位有什么用？引导学生思考分数单位可以数出分数大小，即任何分数都是以某个分数单位为计数单位进行计数的结果。分数单位的这种计数功能与整数、小数的计数单位的计数功能一脉相承。整数和小数的计数单位和计数方法，以“1”为标准，不断地累加或均分，就会产生整数计数单位和小数计数单位，分别以这些计数单位来计数就会形成整数和小数。而分数的形成也是如此，是将单位“1”平均分，建立不同的分数单位，再以这些分数单位分别计数就会形成不同的分数。在此基础上，教师引导学生借助直观模型感悟：单位“1”平均分成几份，就含有几个这样的1份，即含有几个几分之一（分数单位）。如平均分成8 份，1 里面有8 个，数够8 个是1，即“满八进一”；平均分成9份，1里面有9个，数够9个是1，即“满九进一”；平均分成n份，1里面有n个，数够n个是1，即“满n进一”。当然，分数也有十进制的时候，即平均分成10 份时，1 里面有10 个，数够10个即是1，即“满十进一”。而当把“1”均分成10 份、100 份、1000 份……时，建立的分数单位……即是小数（十进分数）的计数单位。至此，学生对计数单位统领下的整数、小数、分数之间的内在关联有了一定的感悟，对数概念的整体性与一致性有了一定的认知理解。

（二）用案例说话——小数除法：理解数运算的整体性与一致性

算理是四则运算的理论依据，由数概念、运算定律、运算性质所构成。运算法则是四则运算的程序和方法，在算法多样化的背后是对位值原理、运算定律、计数单位等算理的理解与应用。

首先，关注整数、小数和分数加减法的整体性与一致性。从运算法则来看，整数加减法是相同数位对齐，小数加减法是小数点对齐，分数加减法是先通分，这三种数的加减法本质上是一致的——相同计数单位累加或递减。其次，关注整数、小数和分数乘除法的整体性与一致性。整数乘法340×2，运用位值原理和运算定律，即3个百×2+4个十×2，即得到了6 个百加8 个十，也就是计数单位的累加运算。小数乘法0.2×0.3，可借助方格纸和小数意义帮助学生理解算理，0.1×0.1＝0.01，2×3＝6，6 个0.01就是0.06，这里的6是计数单位的个数，只不过这里的计数单位是创生的。分数乘法，就是，6个就是，这里的6是分数单位的个数，这里的分数单位也是创生的。可见，整数、小数和分数的乘法算理都是计数单位的运作，体现了数的乘法的一致性。同样，整数、小数、分数除法也具有一致性。下面以“小数除法”为例，说明数的运算的整体性与一致性。

为什么在整数除法之后还要学习小数除法？小数除法与整数除法之间有什么关系？其实，小数除法是整数除法的延续，小数除法对接了整数除法中不能均分、有剩余的情况，呈现了除法运算之间的内在关联，建立了除法运算的整体结构。在教学中，要抓住计数单位这一核心概念帮助学生体会小数除法与整数除法都是高位上的数在平均分时有剩余，需要细分计数单位，将高一级的计数单位转化为低一级的计数单位再继续分除下去，其核心本质都是十进计数单位的细分，感悟数的除法运算的一致性。

1.由除法意义抽象出除法算式

教师创设问题情境：妈妈去超市买4瓶乳酸菌饮料花了57元，平均每瓶多少元？启发学生思考：求每瓶多少元，就是要将57 元平均分成4 份，求每份是多少元。进而帮助学生体会这是个“等分除”问题，用除法解决，列算式是57÷4。

2.建立不同算法及算法（重点是竖式）与算理之间的联系

学生可能出现的算法如下：①56÷4＝14 元，1 元=10 角，10÷4＝2 角……2 角，2 角＝20 分，20÷4＝5 分，14 元+2 角+5 分＝14 元2 角5 分＝14.25 元。②56÷4＝14元，1元=100分，100÷4＝25分，25分＝0.25 元，14 元+0.25 元＝14.25 元。③竖式计算，学生遇到的困惑与问题是：个位余下的1怎么办？还能继续除下去吗？学生可能产生两种想法，一种是不能除下去了，用余数表示；一种是可以继续除下去。这种认知冲突体现了学生从理解整数除法到理解小数除法的思维节点。余下的“1 元”还能继续分吗？这一核心问题的探讨能深化学生对小数除法算理的理解。此时可以借助人民币实物模型进行分、摆，把1元换成10角，每份分2角，还剩下2角，再把2 角换成20 分，每份分5 分，最终每份是2角5 分，也就是0.25 元。这样每瓶的价钱就是14元+0.25元=14.25元。

3.反思整个运算过程并体会数的除法运算的一致性

教师引导学生体会：将整数除法中的余数继续分下去的过程，其实就是在高一级计数单位不够分时将其转化为低一级计数单位继续分，不断转化，不断细分，不断除下去，直到细分除完为止。除法运算的本质就是计数单位逐级均化细分的过程，突显了小数除法与整数除法的整体性与一致性（如图5）。

图5 “小数除法”映射下除法运算的整体性与一致性

总之，抓住“计数单位”这一核心概念，可以帮助学生建立数与运算主题学习的整体结构，打通数的认识、数的运算二者之间的“隔断墙”，构建“数与运算”主题学习的“承重墙”，体会整数、小数和分数的意义、运算都是一脉相承的，感悟数概念形成与发展及数运算的一致性。当然，在“数与运算”主题学习中，除了要把握计数单位之外，还有数位、位值、十进制计数法等，这些核心概念一起统领运作于“数与运算”的主题教学中，帮助学生形成数感，理解数概念的核心本质，发展运算能力、运算思维和运算素养。只有达成上述共识，我们才能以核心概念为统领，整体把握“数与运算”教学的整体性与一致性，进而从整体上理解、设计与实施小学数学课程教学。