树工具意识重实际应用<br/>——2022年中考“方程与不等式”专题命题分析

树工具意识重实际应用
——2022年中考“方程与不等式”专题命题分析

2023-03-24陈中峰蔡世英

中国数学教育（初中版） 2023年3期

陈中峰，蔡世英

（福建省普通教育教学研究室；福建省晋江市养正中学）

方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，是一类应用广泛的数学工具.2022年全国各地区中考试卷中“方程与不等式”试题的考查以《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）为导向，遵循基础教育课程改革的基本理念和精神，更加注重强化方程与不等式的工具特征，凸显应用意识，渗透转化思想，注重创设情境，发展思维能力，关注构建模型，演绎算法算理，在知识的结构体系中起着承前启后的重要作用.在关注方程与不等式作为解题工具的同时，也重视渗透古代数学文化教育，既体现数学的智育教育功能，又体现数学的德育功能，真正做到“五育”并举，落实立德树人的根本任务，对于帮助一线教师命制相关试题具有重要的参考价值.本文围绕方程与不等式内容，摘选了2022年全国各地区中考试卷中“方程与不等式”部分试题进行分析，着重从用方程与不等式表达数量关系、确立工具意识、渗透数学方法、挖掘古代文化、体现教育价值等方面，针对典型试题进行命题特点剖析，以飨读者.

一、考查内容分析

《标准》中将“数与代数”领域的课程内容分为三个部分：数与式、方程与不等式、函数.方程与不等式揭示了数学中最基本的相等和不等的数量关系.方程与不等式内容的学习目标主要有两个方面：一是会解方程（组）和不等式（组）；二是会用方程和不等式解决实际问题.

通过对2022年全国各地区中考试卷中“方程与不等式”试题的分析，发现各地的“方程与不等式”试题大多数都能从不同的视角、不同的方向对方程（组）和不等式（组）进行比较全面及系统的考查.大部分试题都是通过问题中的数量关系，用含字母的代数式先表达相关量，再通过等量或不等量建立关系，从而建立方程或不等式模型，实现对学生应用意识和创新意识的考查；通过方程（组）和不等式（组）的解法，实现对学生运算能力和应用意识的考查；通过创设实际应用的问题情境，实现对学生运用方程与不等式进行数学建模的模型观念的考查；通过综合性问题，展示方程与不等式在研究函数及几何图形方面也是不可或缺的媒介，实现对学生转化与化归、数形结合等数学思想的考查.2022年全国部分地区中考“方程与不等式”专题的考查情况见表1.

表1 2022年全国部分地区中考“方程与不等式”专题考查情况统计表

从题型、题量上看，方程与不等式作为初中数学的核心内容，相关试题的考查题型比较全面，多数试卷中设计2～5道题目.其中，山西卷与往年一样，对方程与不等式内容的考查比较重视，涉及方程与不等式相关内容的试题最多，达5道题之多，最少的是只有2道题的陕西A卷及湖北黄冈卷.大部分试卷对于方程与不等式内容的考查均至少分布在两种题型上，即选择题、填空题与解答题，或填空题与解答题，或选择题与解答题.经统计，2022年全国各地区中考试卷中考查方程与不等式的试题分值平均占全卷的13%，所占的分值比例适中.本部分内容占全卷分值比例较大的是山西卷，占21.7%；其次是广东卷，占16.7%；再次是海南卷、黑龙江哈尔滨卷，均占15.8%.其中，单独考查方程与不等式内容的试题，容易统计考查分值，但多数试题都是与其他知识交会考查，在交会中相互融合，起到工具性作用，故以上统计分值占全卷比例的数据仅供参考.

从考点分布上看，对方程与不等式单独考查的内容主要有一元一次方程的解法、一元一次方程的应用、（含参数）二元一次方程组的解法、二元一次方程（组）的应用、不等式的表示、一元一次不等式（组）的解法、一元一次不等式的应用、分式方程的解法、分式方程的应用、一元二次方程的解法、一元二次方程根的判别式、一元二次方程的应用等.

从考查形式上看，方程与不等式的考查分布在选择题、填空题或解答题中.在解答题中，单纯考查方程（组）或不等式（组）解法的试题一般只有1～2道，也有的不单纯考查方程（组）或不等式（组）的解法，如重庆A卷、湖北黄冈卷、吉林卷；在综合考查方面，一般是将一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程（组）、分式方程、一元一次不等式（组）等知识点与其他知识点融合考查.在考查方程与不等式内容与其他知识交会的试题中，涉及交错融合的知识点几乎覆盖了初中数学的各个章节.在解答题中，主要是与函数、数式运算、图形的性质及运动变化等内容相结合，基本上是压轴题，且具有一定的难度.

从以上统计分析中，不难看出2022年全国各地区中考方程与不等式内容考查的题型、题量、考点分布、考查形式、难易程度基本上保持相对稳定，与历年一样涉及多种题型.从试题难易程度上看，容易题、中档题及难题均有涉及，大部分以容易题为主.在知识交会处命题体现了方程与不等式的基础性、工具性和应用性，又适度体现了创新性，不同难度的试题也很好地考查了不同层次学生的基础知识、关键能力和数学素养.

二、命题特点分析

1.立足课程标准，体现基础性

（1）考查数学的基础定义.

《标准》指出：通过经历独立的数学思维过程，学生能够理解数学基本概念和法则的发生与发展，数学基本概念之间、数学与现实世界之间的联系.利用根的意义逆向求方程的系数是常见的考查形式.

例1（广东卷）若x=1是方程x2-2x+a=0的根，则a的值为_____.

答案：1.

考查目标：此题主要考查一元二次方程根的意义及一元一次方程的解法.

命题意图：以含参数的一元二次方程为载体，要求利用方程的根的意义进行解题是常见的命题立意，只需紧紧抓住根的意义进行解题即可.此题渗透了转化与化归思想，考查了学生的抽象能力和运算能力.

命题评价：此题属于容易题，对于学生而言，是一道必须得分的试题.其实质是知道方程的根，逆向求方程的相关系数，是一道考查逆向思维的试题，符合《标准》中提出的“理解方程解的意义”的要求.

（2）考查基本应用能力.

利用一元二次方程根的判别式，可以判断方程根的情况，此判断过程可逆，是必备的能力基础.根的判别式不仅可以判断一元二次方程根的情况，还可以判断二次函数图象与x轴的交点情况，以及二次多项式能否在实数范围内分解因式，在中考总复习中具有承上启下的重要作用.

例2（北京卷）若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）.

（A）-4 （B）（C）（D） 4

答案：C.

考查目标：此题主要考查一元二次方程根的判别式及一元一次方程的解法等核心知识点.

命题意图：此题从含参数的一元二次方程获得系数，通过根的判别式得到关于m的一元一次方程，进而求解，体现了逆向思维的考查理念，渗透了转化与化归思想，考查了学生的抽象能力和运算能力.

命题评价：由根的判别式判断含参系数的一元二次方程根的情况是常见的考查重点，符合《标准》中“会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等，会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系”的基本要求.类似的试题还有湖北随州卷第18题、江西卷第9题和河南卷第6题等.

2.适度交会，体现综合性

单独考查方程与不等式内容的试题大部分以简单的选择题、填空题或解答题为主，难度不大，但将该部分内容与其他知识深度融合综合性较强、能体现学习能力的试题，要么安排在选择题或填空题的压轴题或次压轴题的位置上，要么与一次函数、二次函数或几何知识等相结合，安排在解答题压轴题或次压轴题的位置，难度一般比较大.

例3（重庆A卷）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤-2，且关于y的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）.

（A）-26 （B）-24 （C）-15 （D）-13

答案：D.

考查目标：此题主要考查不等式组的解集，分式方程的特殊解、增根等数学核心知识.

命题意图：此题以重组知识点的形式进行知识交会，对不等式组及分式方程的内容进行综合考查，要求学生熟练掌握不等式组的解法、分式方程的解法，能确定特殊解并注意增根的情况.此题命题立意明确，考查了思维的严谨性和综合性，渗透了转化与化归思想，考查了学生的抽象能力、运算能力和模型观念.

命题评价：将知识点进行重组，设计出新颖的试题是常见的命题走向.综合性试题的命制常以某个参数为沟通纽带，通过设计与该参数相关的范围，取其公共部分，即为所求参数的值或范围.在中考总复习中要加强综合性试题的训练，注重思维的拓展性、综合性和严谨性.2021年中考重庆A卷中也出现了类似的综合性考法.

例4（山西卷）阅读与思考.

下面是小宇同学的数学小论文，仔细阅读并完成相应的任务.

任务：（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是_____（从下面选项中选出两个即可）.

（A）数形结合（B）统计思想

（C）分类讨论（D）转化思想

（2）试参照小论文中当a＞0时①②的分析过程，写出③中当a＞0，Δ＜0时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图.

（3）实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识.例如，可用函数观点来认识一元一次方程的解.试再举出一例为__________.

答案：（1）AC（答案不唯一）；

（2）当a＞0时，抛物线开口向上.

当Δ=b2-4ac＜0时，有4ac-b2＞0.

因为a＞0，所以顶点纵坐标.

所以顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点（图略）.

所以一元二次方程ax2+bx+c=0( )a≠0无实数根.

（3）可用函数观点认识二元一次方程组的解.（答案不唯一.）

考查目标：此题主要考查二次函数图象与x轴交点和一元二次方程的根之间的关系.

命题意图：此题以学生论文为载体，以阅读材料为背景，融合选择题、填空题、解答题于一体，且选择题是多选题.此题设问多样，呈现方式独特，通过对知识点进行重组命制出新颖试题，较好地实现了考查目标，渗透了数形结合、分类讨论思想，考查了学生的抽象能力、几何直观和应用意识.

命题评价：此题综合考查了一元二次方程与二次函数等相关知识.在初中阶段，四个“二次”非常重要，即一元二次方程、二次函数、二次多项式及一元二次不等式.在这四个“二次”中，二次函数是沟通其他三个知识点的重要桥梁，也是高中阶段数学学习的必备知识，在中考总复习中要特别关注这一点.类似地，湖北武汉卷第15题也是类似的考法.

3.注重应用，体现工具性

（1）体现数学语言的工具性.

《标准》指出：通过经历用数学语言表达现实世界中的简单数量关系与空间形式的过程，学生初步感悟数学与现实世界的交流方式；能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题.这体现了数学语言的工具性.

例5（浙江·杭州卷）某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元.已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（）.

（C） |10x-19y|=320 （D） |19x-10y|=320

答案：C.

考查目标：此题主要考查二元一次方程的应用.

命题意图：此题中先设置未知数，然后要求列出方程，解题时需要注意理解试题中的关键术语“相差”，在不分类讨论的前提下，应加上绝对值符号列方程，即 |10x-19y|=320，渗透了分类与整合、转化与化归思想，考查学生的抽象能力.

命题评价：由于试题中关键词存在歧义，隐含着分类与整合的数学思想，通过加上绝对值符号，巧妙地进行整合.此题考查了含绝对值的二元一次方程，考查内容独特，启示教师在课堂教学中要注意对基本概念及关键词的教学，渗透数学思想，夯实学科基础知识.

（2）体现数学运算的工具性.

方程与不等式作为解决数学问题的基本工具，常常体现在直接考查解方程（组）或不等式（组），基本是每年中考的必考题.单纯考查解法的方程与不等式试题，一般放在选择题、填空题、解答题的前面部分，与其他知识点综合考查时相对较难，多作为压轴题出现.

例6（湖南·株洲卷）对于二元一次方程组将①式代入②式，消去y可以得到（）.

（A）x+2x-1=7 （B）x+2x-2=7

（C）x+x-1=7 （D）x+2x+2=7

答案：B.

考查目标：此题主要考查二元一次方程组的解法.

命题意图：此题以选择题的形式呈现代入消元法的解题过程，体现了“消元”思想，渗透了转化与化归思想，考查了学生的抽象能力和运算能力.

命题评价：解多元方程组的思想是“消元”，解高次方程的思想是“降次”.《标准》对本部分内容的要求是：能根据二元一次方程组的特征，选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组.类似地，上海卷第9题中解二元二次方程组可用整体代入降次，然后重新组合成二元一次方程组进行求解，也可以直接用代入消元法求解，体现了“降次”及“消元”的解题思想.

（3）体现数学应用的工具性.

《标准》指出：设立跨学科主题学习活动，加强学科间相互关联，带动课程综合化实施，强化实践性要求.数学作为解决问题的工具在自然科学和社会科学领域都有广泛的应用.2022年全国各地区中考数学试题的命制注重对学生创新意识的考查，加大了创新力度，出现了一些跨学科考查的试题，较好地体现了数学在解决自然科学和社会科学问题中的工具性作用.

例7（河南卷）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车.酒精气体传感器是一种气敏电阻（图3中的R1），R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图4），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图5.下列说法不正确的是（）.

图3

图4

图5

（A）呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小

（B）当K=0时，R1的阻值为100

（C）当K=10时，该驾驶员为非酒驾状态

（D）当R1=20时，该驾驶员为醉驾状态

答案：C.

考查目标：此题主要考查函数的图象及对不等式的认识.

命题意图：此题以跨学科知识为背景，以检测是否酒驾的酒精气体传感器的工作原理为载体，命制跨学科试题.解题时需要认真理解题意，厘清图表之间的关系，突破难点.此题考查了跨学科知识的综合应用，涉及转化与化归、数形结合等数学思想，考查学生的抽象能力、运算能力、几何直观和应用意识.

命题评价：《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》（以下简称《意见》）中指出，要在发挥各学科独特育人功能的基础上，充分发挥学科间综合育人功能，开展跨学科主题教育教学活动，将相关学科的教育内容有机整合，提高学生综合分析问题、解决问题的能力.命制跨学科试题，要求命题者要清楚学科知识之间的关联性，并且注意结合实际生活应用，体现数学的应用价值.

4.合理设计，体现思想性

（1）巧设结构特征，渗透整体思想.

整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理.命制有关方程与不等式试题时，经常会借助问题的结构特征，渗透整体思想.

例8（江苏·苏州卷）已知3x2-2x-3=0，求的值.

答案：3.

考查目标：此题考查解一元二次方程及求代数式的值.

命题意图：此题以一元二次方程为已知条件，编制需要先解方程再求值的假象，其实是需要先对方程进行变形，然后运用整体思想代入所求的代数式，达到化繁为简的效果，彰显了整体思想的优越性，渗透了转化与化归思想，考查了学生的运算能力、抽象能力和模型观念.

命题评价：命题离不开数学思想，思想是命题的灵魂.运用整体代入法求代数式的值是常见的考查重点.此题中，以方程为条件再求代数式的值能够凸显方程与所求代数式的值之间的相关性与融合性，体现了灵活运用整体思想解题的命题意图.在初中阶段，运用整体思想编拟试题是常见的考查形式.这类试题往往无需直接求解，只需运用数学思想进行解题.类似地，考查整体思想的试题还有北京卷第19题、湖北随州卷第13题等.

（2）关注数形结合，体现直观观念.

数形结合是将抽象的数学语言与直观图形、抽象思维与形象思维结合起来，通过数与形之间的对应和转换来解决数学问题.二元一次方程对应的函数图象是直线，二元一次方程组的解是两条直线的交点，这充分体现了数与形的对应关系.

例9（陕西A卷）在同一平面直角坐标系中，直线y=-x+4与y=2x+m相交于点P(3，n)，则关于x，y的方程组的解为（）.

答案：C.

考查目标：此题主要考查一次函数图象的交点坐标和二元一次方程组的解之间的关系.

命题意图：此题设计较有新意，以求含参数二元一次方程组的解为背景，通过数形结合（如图6）可知交点坐标即为方程组的解，体现了数与形之间的对应关系，渗透了数形结合、转化与化归思想，考查了学生的运算能力与空间观念.

图6

命题评价：求含参数二元一次方程组的解看似是难题，实际上，只要抓住直线交点坐标与方程组的解的关系，无需画出图形，直接观察各选项的横坐标即可确定答案.数形结合是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维相结合，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的.

（3）借助数学建模，体现模型观念.

《标准》指出：知道数学建模是数学与现实联系的基本途径；初步感知数学建模的基本过程，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义.数学建模与我们的生活息息相关，方程与不等式最能体现由实际模型转化为数学模型的工具性.

例10（湖北·黄冈卷）某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲、乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元.

（1）买1份甲种快餐和1份乙种快餐各需多少元？

（2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1 280元，问至少买乙种快餐多少份？

答案：（1）购买1份甲种快餐需要30元，购买1份乙种快餐需要20元；

（2）至少买乙种快餐37份.

考查目标：此题考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用.

命题意图：此题以在旅行研学基地选择快餐为背景命制试题，以学生身边熟悉的事例命题，体现了试题的公平性，以便学生尽快弄清题意，减轻理解压力.这也是列方程（组）或不等式（组）解应用题的常见考查形式，渗透了转化与化归、函数与方程等数学思想，考查了学生的抽象能力、运算能力、模型观念和应用意识.

命题评价：列二元一次方程组或一元一次不等式解应用题，体现了方程（组）或不等式（组）的工具性作用，凸显其在实际生活中的应用价值.在2022年全国各地区中考试卷中，此类考法出现的频率很高.中考总复习中，不仅要关注解方程（组）或不等式（组）的算法和算理，还要注重与生活实际相结合，体会列方程（组）或不等式（组）在解决问题方面的工具性和重要性.增强模型观念及渗透转化意识，有助于开展跨学科主题学习，感悟数学应用的普遍性.类似的试题还有安徽卷第17题等.

5.重视思维，体现创新性

《深化新时代教育评价改革总体方案》明确提出，构建引导学生德智体美劳全面发展的考试内容体系，改变相对固化的试题形式，增强试题的开放性，加强对关键能力和学科素养的考查，减少死记硬背和“机械刷题”现象.2022年全国各地区中考数学试卷中，“方程与不等式”专题的命制加大了创新力度，重视思维，灵活性强，所涉及的设计科学且有创新的试题有十几道题之多，特别是对新知识及新方法的交会融合考查，对于考查学生应用所学数学知识、思想方法、独立思考、探索和研究、分析问题和解决问题能力很有效果.

创新性试题可以是试题形式、结构的创新，也可以是知识点重组的创新等，但都要体现创新思维的科学性和合理性.

例11（湖南·湘潭卷）（多选）若a＞b，则下列四个选项中一定成立的是（）.

（A）a+2＞b+2 （B）-3a＞-3b

（D）a-1＜b-1

答案：AC.

考查目标：此题主要考查不等式的性质.

命题意图：此题以多选题作为试题的呈现形式，属于试题形式（选择题）和结构（多选题）的创新，以不等式的性质作为命题的考查要点，考查算法、算理及思维的发散性.根据不等式的性质不难得出此题的答案，渗透转化与化归思想，考查了学生的抽象能力、推理能力和创新意识.

命题评价：在选择题中设置多选题，让人眼前一亮，考查了思维的开放性和严谨性.在2022年全国各地区中考数学试卷中，多项选择题实不多见，在今后的中考总复习教学中，应特别加以关注，并有意识地进行针对性训练.

定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算.定义新运算是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，在没有转化前，是不适合于各种运算的，其实质是给出了一种变换规则，以此考查学生的思维应变能力和运算能力.

例12（浙江·宁波卷）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，.若，则x的值为______.

考查目标：此题主要考查新定义下分式方程的解法.

命题意图：此题以定义新运算为载体，属于引入新定义重组知识点的创新，考查对新定义运算规则的理解，要求领会其中的算法和算理，突破思维障碍列出分式方程进行求解，体现了分式方程的工具性，渗透了转化与化归思想，考查了学生的抽象能力、运算能力和模型观念.

命题评价：此题将分式方程融入新定义中，要求能根据新定义转化为分式方程，这是考查新定义题型的常见形式.解答新定义运算类试题，关键是正确地理解新定义运算的定义或规则，然后严格按照新定义运算的规则，将其转化为常规的运算关系进行计算.在一份试卷中设置新定义题型，能提升试卷的新鲜感.2022年全国各地区中考数学试卷中的“方程与不等式”试题深入考查关键能力，通过扩大选材范围和材料类型，精心设计试题，提高考查学生高阶思维能力试题的比例，进一步强化了对学生阅读理解能力的考查.在中考总复习教学中，教师要特别加强对学生这方面的训练，引导学生感悟新定义试题的考查意图，提升解题的应变能力.类似地，2020年中考北京卷第28题的新定义是“平移距离”，涉及了“平移”这一几何变换；2021年中考北京卷第28题的新定义是“关联线段”，涉及了“旋转”这一几何变换；2022年中考北京卷第28题的新定义是“对应点”，同时涉及了“平移”和“中心对称”.

6.聚焦时政热点，体现价值引领

《意见》中指出，全面落实以学生为本的教育理念，各地要组织开展育人思想和方法研讨活动，将教育教学的行为统一到育人目标上来.数学教育不仅要聚焦时政热点教育，体现价值引领导向，还要承载落实立德树人根本任务，实施素质教育的功能.义务教育数学课程具有基础性、普及性和发展性.方程与不等式作为解题及实际应用的工具，能很好地体现义务教育数学课程的特点.

例13（云南卷）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木.该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同.设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是（）.

答案：B.

考查目标：此题主要考查分式方程的应用.

命题意图：此题以建设绿色家园活动为背景，考查列分式方程解应用题.通过设未知数，要求能先表达出工作效率，再根据等量关系“实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同”列出方程，渗透了转化与化归思想，考查了学生的抽象能力和模型观念.

命题评价：通过设置具有生活情境的问题，借助合适的方程（组）或不等式（组）解决问题是常见的考查形式.此题设计思路清晰，实现从实际问题到数学问题的转化，反映了分式方程是解决问题的重要工具.以建设绿色家园活动为背景，聚焦时政热点，渗透环保、爱国、爱家的德育教育理念，是进行立德树人的重要举措.类似的试题还有江西卷第10题等.

例14（湖南·娄底卷）“绿水青山就是金山银山”.科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4 mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62 mg.

（1）试分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；

（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50 000片树叶.问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？

答案：（1）一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40 mg，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22 mg；

（2）这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克.

考查目标：此题主要考查二元一次方程组的实际应用等知识点.

命题意图：此题以科学研究数据为载体，第（1）小题要求能从题意中发现两个相等关系，进而列出方程组，最后求得答案解决问题；第（2）小题属于纯算术问题，这里不再赘述.第（1）小题设置两个问题，从问题情境中找出两个相等关系尤为重要，容易联想到列二元一次方程组解决问题，体现了二元一次方程组的工具性.以“绿水青山就是金山银山”为开篇词，暗示要增强环保意识，渗透了德育教育理念，体现了价值引领，立意清晰，渗透了转化与化归思想，考查了学生的模型观念、创新意识和应用意识.

命题评价：列方程（组）解决简单的实际问题是常见的命题形式.此题以科研数据为背景，结合生活实际命制试题，解题的方法除了列二元一次方程组外，还可以列一元一次方程，体现了灵活设元解决问题的多向思维考查方式.类似的试题还有海南卷第18题、安徽卷第17题.

7.发掘传统文化，提升自信力

2022年全国各地区中考试卷中“方程与不等式”试题的命制充分发挥了学科特点，选材注重体现中华优秀传统文化精髓，试题设问既引导学生在深刻理解其内涵基础上借鉴古人智慧、汲取精神力量、树立文化自信，又引导学生立足当下现实、融通古今资源、面向未来创新，符合《标准》提出的“传播数学中的中华优秀传统文化”的指导精神.

例15（湖北·武汉卷）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如，图7就是一个幻方.图8是一个未完成的幻方，则x与y的和是（）.

图7

图8

（A）9 （B）10 （C）11 （D）12

答案：D.

考查目标：此题主要考查二元一次方程组的应用.

命题意图：此题以幻方为载体，通过在幻方中设置“求两个位置上的缺失数之和”作为问题指向.幻方中存在横向、竖向、斜向三种等量关系，通过隐藏其中的某些数据作为命题创意入口，是列方程解应用题的另一种考查形式.利用幻方作为考查背景，凸显了列方程组的工具作用，具有数学应用于生活的现实意义，体现了传统文化良好的融合性和创新性.此题中，根据“每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等”，先求出最左下角的数为6+20-22=4，再分别表示出最中间的数为x+2或x-y+4，最右下角的数为24-x或x-y+6，列出二元一次方程组即可求解.此题渗透了转化与化归思想，考查了学生的运算能力、创新意识和应用意识.

命题评价：以趣味幻方为背景传承中华优秀传统文化，实质是考查二元一次方程组的应用，其中渗透了爱国主义教育，具有传承中华优秀传统文化的德育功能，体现了“五育”并举及立德树人的基本理念，是一道设计上较有创意的试题.从近几年的中考试题来看，设计中华优秀传统文化试题是每份中考试卷的“常客”，试题设计推陈出新，百花齐放，颇有特色，意在文化熏陶，旨在爱国爱家，构建社会主义核心价值观.类似的试题还有吉林卷第10题等.

例16（河北卷）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图9，按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出.然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置.如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置.已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（）.

图9

（A）依题意3×120=x-120

（B）依题意20x+3×120=(2 0+1)x+120

（C）该象的重量是5 040斤

（D）每块条形石的重量是260斤

答案：B.

考查目标：此题主要考查一元一次方程在实际生活中的应用.

命题意图：通过古代民间励志故事创设问题情境，在预设未知数的前提下，通过设置四个选择支，让学生自行判断结论是否正确，创设问题情境使命题更具有新意.根据等量代换得到等量关系“20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重=21块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重”，建立数学模型，这是解题的通法.实际上，“曹冲称象”在人教版《义务教育教科书·语文》二年级中就有出现，故重视教材习题、理解编写意图、改编拓展延伸可使命题素材取之不尽，从而实现试题的校本性和原创性.此题的设置体现了思维的发散性，渗透了转化与化归、函数与方程思想，考查了学生的模型观念、应用意识和创新意识.

命题评价：此题以历史故事为背景设计，体现了中华民族的智慧和劳动人民的创造性思维.设置中华优秀传统文化试题，旨在潜移默化地教育学生应该更加热爱我们的国家，增强民族自信心，具有较好的德育教育价值.

三、复习教学建议

1.立足课程标准，重视回归教材

教师要认真研读《标准》，比较其与《义务教育数学课程标准（2011年版）》的异同，深刻领会纲领性文件的导向功能.在复习教学中，要增强方程与不等式的工具意识，关注教材习题的应用价值，充分挖掘教材习题的问题本质，对习题进行变式、拓展和延伸，引领学生感悟教材的编写意图，切忌采用题海战术，而是要让学生的学习达到“做一题、会一类、通一片”的效果，真正做到举一反三.

2.夯实基础教学，注重复习效率

基础是能力提升的根基.在数学教学中，重基础是根本，抓能力是核心，要加强对基础知识的教学、基本技能的训练和各种能力的培养.方程与不等式作为代数部分的重要基础知识，是学习函数、三角形以及其他几何知识的前提.教师要注意夯实基础知识的教学，加强概念教学，对数学概念的内涵与外延应讲清、讲透，将相邻概念进行类比，注意引导学生在学好概念的基础上，掌握数学规律（包括法则、性质、公式、定理、公理、数学思想方法等），重视对逻辑推理能力的训练与培养，从而提升学生的数学核心素养.

3.关注素养导向，增强应用意识

在复习教学中，教师要立足素养导向，关注命题趋势.中考总复习绝不是简单地重复学科知识，而是既要复习基础知识，又要有所拓宽和加深；既要照顾中等生和学困生，又要关注“吃不饱”的优等生.教师要注重方程与不等式与其他知识的综合应用，挖掘知识的生长点，加强知识的横向关联；要深化知识的纵向联系，构建知识的网络框架，夯实学科知识体系；要关注数学模型的建立，体会数学的应用价值，感受数学来源于生活，又应用于生活，体会用数学的思维思考现实世界.

4.注重通性通法，加强学法指导

在解题教学中，要注重对解题思路的分析，研究解题依据，厘清解题思路，使学生对解题有方向感，对思路有灵感.例如，对于“方程与不等式”专题，可通过掌握相关基础知识之间的联系，如方程、不等式与函数之间的密切关系，尝试提升问题设计的深度，引导学生掌握解题的通性通法.在教学中，教师要注重给予学生学法指导.在最后的复习阶段，可以适量做一些综合题，目的在于掌握其问题本质，沟通代数与几何的联系，提高学生的综合解题能力.再如，学习函数要突出掌握数形结合的思想方法，函数的解析式可定量地描述图形间的联系与变化，用方程可描述图形中线段、角之间的等量关系.这样，数形结合就在代数与几何之间架起了一座桥梁.

5.重视知识形成，深化衔接教学

教师不能让学生“囫囵吞枣”地接受新知识，而是要引导学生“知其然，知其所以然”.在教学中，教师要注重引导学生对数学学科本质的理解，重视知识的形成过程，认识演绎方程与不等式的异同，诠释他们与函数图象的相关性.初中阶段的数学教学，既担负着义务教育的基本功能，也担负着为高中输送优秀生源的教学重任.教师进行教学设计时，不能只停留在完成基本的教学计划，而应具备初、高中六年一体化的教学格局，要注意渗透数学思想方法，合理拓展方程与不等式的相关内容，为学生高中阶段的学习奠定坚实的基础，使学生领会数学问题的本质，体会数学思想是数学的灵魂、数学方法是解题的钥匙.

综观2022年全国各地中考试题，紧扣《标准》而命制，方程与不等式仍作为重要的解题工具，渗透数学思想方法，立足教材习题，挖掘问题本质，探究知识生长点，在保持命题风格稳定的前提下，不乏出现创新特色的好试题.有关方程与不等式方面的综合考查，题量合理，难易适中，形式多变，凸显工具意识，注重实际应用，同时挖掘了中华优秀传统文化的教育价值，真正贯彻了“双减”政策，落实了立德树人的根本任务.