金雯雯，张宗余

（浙江省杭州市采荷中学；浙江省宁波市海曙外国语学校）

2022年4月《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）正式颁布，明确了核心素养的内涵，构建了以核心素养为主要维度的学业质量评价体系来评价教与学的效果.中考是依据学业质量标准，对学生学完本学科课程后的课程目标达成度进行的总结性评价.2022年全国各地区中考“数与式”试题传承了往年对基础知识和基本技能的重视，立足基本思想和基本活动经验，更关注“数与式”的整体性，坚持素养立意，凸显育人导向，渗透了对学生运算能力、推理能力、抽象能力、几何直观等核心素养的考查.

一、命题总体情况

数与式是代数的基本语言，是初中阶段“数与代数”领域的重要知识，包括有理数、实数和代数式三部分内容.“数与代数”是数学知识体系的基础之一，是学生认知数量关系、探索数学规律、建立数学模型的基石，可以帮助学生从数量的角度清晰地认识、理解和表达现实世界.综观2022年全国各地区中考“数与式”试题，从不同侧面、不同角度全面覆盖了数与式的基础知识，凸显了以数学核心素养的达成为命题的落脚点.例如，在有理数、实数、代数式等相关概念和表示方法中考查学生的抽象能力和模型观念；在数与代数的运算中考查学生的运算能力；在基于符号的运算和推理中考查学生的推理能力；在以数轴、几何图形为载体研究代数式的过程中考查学生的几何直观素养.

“数与式”试题的题型以选择题和填空题为主，分值大多在2～5分.也有部分地区的中考试卷将这部分内容放在简答题中考查，分值大多在6～8分左右.也有部分试题有机结合其他相关内容，涉及章内知识和各章知识的融合，进一步结合方程、不等式、函数（包括锐角三角函数）等相关内容，综合考查学生的运算能力.在2022年全国各地区约120份中考试卷中，“数与式”内容在大多试卷中占试卷总分值（全卷总分有100分、120分、150分三类）的15%左右，考查较多的有北京卷、浙江宁波卷、浙江金华卷等，以综合题形式考查的有浙江嘉兴卷、湖北随州卷、浙江金华卷、河北卷等.

二、命题特点分析

2022年中考“数与式”试题基本覆盖了《标准》要求的所有知识点，考查内容与《标准》要求基本吻合.和往年相比，在立足基础知识和基本技能的基础上，强调了“数与式”知识之间的内在联系，注重运用类比体现运算法则和运算律的一致性，深化了对运算算理的理解，对于“数与式”的教学有很好的导向作用.值得一提的是，部分试题背景有效植入了数学文化，融入立德树人的课程理念，彰显了数学学科的育人价值.

1.关注数的发展，感悟数形结合

数的发展是代数发展的基础，数的形成和发展基于生产、生活实践的需要和数学内在发展的需要（主要是运算的封闭性）.通过对负数、有理数、实数的认识，感悟数是对数量的抽象，知道相反数的意义，知道绝对值是对数量大小和线段长度的表达，利用数轴将实数与点一一对应，体会数形结合的意义，培养学生借助数轴表示数的几何直观素养.

例1（云南卷）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家.若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ）.

（A）10℃ （B）0℃

（C）-10℃ （D）-20℃

答案：C.

例2（广西·桂林卷）在东西向的马路上，把出发点记为0，向东与向西意义相反.若把向东走2 km记作“+2 km”，那么向西走1 km应记作（ ）.

（A） -2 km （B） -1 km

（C） 1 km （D） +2 km

答案：B.

命题分析：例1和例2考查了对负数意义的理解.从自然数到有理数的关键是引入了分数和负数，小学阶段完成分数的扩充，初中阶段完成负数和无理数的引入，将数系扩充到实数域.例1中规定“零上记为正，零下记为负”，把“零上10℃”记作“+10℃”；例2中规定“向东记为正，向西记为负”，把“向东走2km”记作“+2 km”，这里的“+”“-”代表数的性质.命制与负数概念相关的试题时，要依托学生对现实生活的经验，注重创设真实情境，考查学生对负数概念的理解，选项设置上通常用相反数作为干扰选项.

例3（贵州·黔东南州卷）下列说法中，正确的是（ ）.

（A）2与-2互为倒数

（C）0的相反数是0

（D）2的绝对值是-2

答案：C.

命题分析：此题考查倒数、相反数、绝对值的概念.互为相反数是指只有符号不同的两个数，相反数必然是成对出现的（0的相反数是0）.绝对值的概念是借助距离加以定义的，是对数量大小和线段长度的表达.绝对值刻画的是一对相反数的共同特征：数轴上，表示互为相反数的两个点到原点的距离相等，距离没有负数.此类试题的命制从学生容易混淆的概念入手，通过对具体事例的辨析考查多种概念，基于学生的常见错误设置干扰选项.

例4（山东·临沂卷）如图1，A，B位于数轴上原点两侧，且OB=2OA.若点B表示的数是6，则点A表示的数是（ ）.

图1

（A）-2 （B）-3

（C）-4 （D）-5

答案：B.

例5（湖北·荆州卷）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图2所示，其中有一对互为相反数，它们是（ ）.

图2

（A）a与d（B）b与d

（C）c与d（D）a与c

答案：C.

命题分析：例4考查了借助数轴表示数，同时融合线段的度量考查了线段的长度；例5考查了相反数的几何意义，即一对相反数位于数轴上原点的两侧，并且到原点的距离相等，创新点在于利用数轴考查相反数的几何意义.两道试题都是有关数轴的常见命题方式.数轴是表示数的工具，数轴具有单位长度、原点、正方向三要素.实数与数轴上的点一一对应，体现了数轴是初中阶段数形结合的工具.命题时注重对数学基本思想的考查，渗透了几何直观素养.

例6（四川·内江卷）如图3，数轴上的两点A，B对应的实数分别是a，b，则下列式子中成立的是（ ）.

图3

（A） 1-2a＞1-2b（B）-a＜-b

（C）a+b＜0 （D） |a|-|b|＞0

答案：A.

命题分析：此题考查借助数轴比较实数的大小.位于数轴右边的数总比数轴左边的数大，这是比较两个数大小的常用方法之一.同时，此题突出考查了不等式的基本性质.命制此类试题时通常借助不等式的基本性质的错用制造迷惑选项，如选项B；也有以代数式的运算法则的错用设置错误选项的，如选项C.选项D考查学生对绝对值几何意义的理解程度.此题突出对基本技能的考查，借助数轴渗透数形结合思想，借助不等式的运算考查学生的运算能力.

例7（山东·临沂卷）满足的整数m的值可能是（ ）.

（A）3 （B）2 （C）1 （D）0

答案：A.

命题分析：此题考查用有理数估计一个无理数的大致范围，《标准》中对此内容的要求是“掌握”.无理数是无限不循环小数，它来源于人们对数的抽象程度越来越高的要求.学生通过对数的平方根和立方根的学习，认识了不同于有理数的数，将数系扩充为实数.此题突出考查了学生对无理数大小的估计能力.估算是运算能力的特征之一，估算得科学、合理且符合逻辑是解决此题的重点.

2.考查运算法则，明确运算算理

“数与式”试题关注运算算理和算法之间的关系，考查学生对运算算理的理解，以及对运算法则的掌握情况.算理是运算过程中的道理，是运算过程中的思维方式；算法是运算的发展，是将复杂的思维过程简化后，人为规定的程序化的操作步骤.理解算理确保运算的准确性，掌握算法能提高运算的速度；算理是算法的依据，算法是算理的概括.

例8（内蒙古·呼和浩特卷）计算-3-2的结果是（ ）.

（A）-1 （B）1 （C）-5 （D）5

答案：C.

例9（湖南·张家界卷）下列计算正确的是（ ）.

（A）a2·a3=a6（B） 2a2+3a3=5a5

（C） (2a)2=4a2（D） (a-1)2=a2-1

答案：C.

例10（河北卷）下列正确的是（ ）.

答案：B.

命题分析：运算是“数与代数”的核心.数系扩充后引入一类新数，需要研究其运算，即如何将引进的新数的运算归结到原有的数之间的运算而定义运算法则，进而使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立.“数与式”的运算考查的内容有有理数的加减混合运算、实数的加减混合运算，以及整式、分式、二次根式等代数式之间的运算等.例8～例10分别考查了有理数的减法运算、整式的运算、二次根式的运算.此类试题的提问方式为让学生直接运算和判断运算是否正确，以考查学生对运算法则的掌握程度.命题干扰项常常通过收集学生日常错误的原因和形式而生成，不仅考查学生的基础知识和基本技能，还突出考查了学生的运算能力.

例11（重庆A卷）在多项式x-y-z-m-n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”.例如，(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n，x-y-(z-m)-n=x-y-z+m-n，….

下列说法：

①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；

②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；

③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果.

其中正确的个数是（ ）.

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

答案：D.

命题分析：此题属于新定义型题.先引入一种新的运算符号，确定这个符号的运算法则，并举例说明.此类试题通过定义全新的运算方式，将传统的代数运算迁移到新的情境中，再借助数与式的运算进行必要的推理，体现了数与式之间彼此交融、息息相关的本质特征，考查学生的运算能力和推理能力.原式中，可以通过加括号改变z，m，n的符号，但无法改变x，y的符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0.在多项式x-y-z-m-n中，可以通过加括号改变z，m，n的符号，加括号后只有加或减两种运算，2×2×2=8，故所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果.此题设计的亮点在于情境新颖，试题本质为整式的加减运算.

例12（四川·遂宁卷）已知m为方程x2+3x-2 022=0的根，那么m3+2m2-2 025m+2 022的值为（ ）.

（A）-2 022 （B）0

（C）2 022 （D）4 044

答案：B.

例13（广西·北部湾经济区卷）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法.例如，“已知3a-b=2，求代数式6a-2b-1的值.”可以这样解：6a-2b-1=2(3a-b)-1=2×2-1=3.根据阅读材料，解决问题：若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b-1的值是________.

答案：14.

命题分析：例12和例13重点考查整体思想，整体思想的代数式求值试题备受命题者青睐.此类试题常常与代数式求值结合，命制试题的落脚点在于对学生运算能力的考查.例12旨在引导学生利用转化降次思想求解，原式=m3+3m2-m2-3m-2 022m+2 022=m(m2+3m)-(m2+3m)-2 022m+2 022=2 022m-2 022-2 022m+2 022=0.例13有两种解题思路.第一种为利用a与b的关系消元，即4a2+4ab+b2+4a+2b-1=4a2+4a(3-2a)+(3-2a)2+4a+2(3-2a)-1=4a2+12a-8a2+9-12a+4a2+4a+6-4a-1=14；第二种为利用整体思想将代数式变形，即4a2+4ab+b2+4a+2b-1=(2a+b)2+2(2a+b)-1=9+6-1=14.

3.类比数的运算，渗透数式通性

式的概念是通过字母表示数，在数和数的运算的基础上建立起来的；式的运算既要依赖数的运算，又要拓展数的运算，还要提升数的运算.数与式的运算间的联系非常紧密.例如，整式运算和整数运算，分式运算和分数运算，因式分解和质因数分解等都体现了数式通性.

类比数的运算，在代数式和代数式运算中，主要考查整式、分式、二次根式的相关运算，要求学生进一步理解字母表示数的意义，基于符号的运算和推理建立符号意识，基于数的运算律的普遍适用，感悟数式通性.

例14（湖南·长沙卷）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）.

（A） 8x元 （B） 10(1 00-x)元

（C） 8(1 00-x)元 （D） (1 00-8x)元

答案：C.

命题分析：此题借助社会情境考查了用字母表示数的思想.命制此类试题需要认真思考情境的科学性，根据考查意图，结合学生的认知水平和生活经验设计合理的生活情境、数学情境、科学情境，并要关注情境的真实性.

例15（河北卷）如图4，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒.

图4

（1）甲盒中都是黑子，共10个.乙盒中都是白子，共8个.嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a的值为______.

（2）设甲盒中都是黑子，共m(m＞2)个，乙盒中都是白子，共2m个.嘉嘉从甲盒拿出a(1＜a＜m)个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多______；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有x(0＜x＜a)个白子，此时乙盒中有y个黑子，则的值为_______.

答案：（1）4.（2）（m+2a）个；1.

命题分析：例15考查整式的加减运算.代数式的运算包括：代数式的化简、求值，整式的加法、减法、乘法运算，乘法公式和因式分解，分式的加减乘除运算.数与式的运算密切关联，从算式到代数式，运算法则和运算律对字母均成立，将数的运算抽象化、形式化、系统化，实现算术思维到代数思维的飞跃.命题时要根据考查目标和难度要求选择素材，渗透数式通性，发展学生的抽象能力和运算能力.

例16（广西·玉林卷）若x是非负整数，则表示的值的对应点落在如图5所示数轴上的范围是（ ）.

图5

（A）① （B）②

（C）③ （D）①或②

答案：B.

例17（浙江·台州卷）如图6所示的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x的值是_______.

图6

答案：5.

命题分析：例16和例17考查了异分母分式的加减运算，运算时要注意运算法则和符号的变化.当分式的分子或分母是多项式时，要先因式分解，从而降低错误率.此类试题能够考查学生对分式运算法则的掌握情况.除了常见的计算类试题外，近年来，部分试题也会以学生常常出现的“直接去分母进行计算”的错误为切入点进行命制，旨在考查学生对分式运算算理和分式基本性质的掌握情况.例17大胆创新，不仅关注分式的运算，而且融合了方程的相关知识点，着重考查了学生的运算能力和推理能力.

4.根植数学文化，彰显立德树人

数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及数学的概念和思想方法在形成和发展中所体现的文化特征和文化价值.基于数学文化的“数与式”试题的命制，倡导用数学文化关心人与自然及社会的和谐发展，真正提高学生的数学核心素养，彰显立德树人的教育理念.

例18（河南卷）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆.”说明了大数之间的关系：1亿=1万×1万，1兆=1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）.

（A） 108（B） 1012

（C） 1016（D） 1024

答案：C.

例19（湖北·宜昌卷）中国是世界上首先使用负数的国家.两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例.《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法，试计算以下涉及“负数”的式子的值：-1-(-3)2的值为______.

答案：-10.

例20（湖南·娄底卷）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”.当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图7），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（ ）.

图7

（A）1 335天 （B）516天

（C）435天 （D）54天

答案：B.

例21（湖北·随州卷）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑.在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.

（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察图8，找出可以推出的代数公式.（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号.）

图8

公式①：(a+b+c)d=ad+bd+cd

公式②：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

公式③：(a-b)2=a2-2ab+b2

公式④：(a+b)2=a2+2ab+b2

图8（a）对应公式______，8（b）对应公式______，8（c）对应公式_____，8（d）对应公式_____；

（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的方法，如图9，试写出证明过程.（已知图中各四边形均为矩形.）

图9

（3）略.

答案：（1）①，②，④，③；（2）略.

命题分析：在中考试题中渗透数学文化，不仅可以体现数学的人文特征，而且可以丰富考查内容，让更多教师关注数学文化，进而引导数学教学，强化立德树人的理念.数学文化的渗透不仅是数学史的再现，更是数学应用、数学建模等数学观念的体现.数学文化的取材十分广泛，主要包括数学史、数学家及其成果、数学名著及命题、数学思想等.上述例子中提及的《孙子算经》和《九章算术》是我国的文化瑰宝，《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的数学著作，集整个古希腊数学的成果与精神于一身.在命制数学文化试题时，要根据考查意图，有意识地关注蕴含丰富数学文化的素材，同时注意情境的适切性.

5.融入真实情境，培养综合能力

近几年中考在命题标准、命题内容、命题形式等方面进行了改革创新，加强了对数学核心素养的考查，聚焦对思维过程和思维质量的考查.情境化试题是基于数学核心素养导向的命题形式，以其不可替代性逐渐成为了中考考查的重要载体之一.这类试题主要考查学生获取信息能力，并对获取的信息进行加工和迁移的能力，要求学生将所学知识与情境衔接进行独立思考，运用所学知识分析并解决实际问题.此类试题贴近生活、生产实际，体现社会热点，强调理论联系实际，突出数学知识的应用性.

例22（浙江·舟山卷）某动物园利用杠杆原理称象：如图10，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）.若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n＞1)倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为______（用含n，k的代数式表示）.

图10

例23（湖北·鄂州卷）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示，即21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，……试推算 22022的个位数字是（ ）.

（A）8 （B）6 （C）4 （D）2答案：C.

命题分析：例22结合物理中的杠杆原理考查代数式的表示，考查用字母表示数的思想，侧重考查学生的抽象能力、推理能力、模型观念、应用意识等.根据杠杆的平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂，计算得答案为.例23借助生物学细胞繁殖模型，考查有理数的乘方的相关知识点，侧重考查学生的运算能力和应用意识.利用已知得出数的个位数字的变化规律即可确定答案.情境类试题命制的目的在于培养学生综合运用数学知识解释跨学科或者生活中实际问题的能力.命制有品质的情境类试题要提高情境的真实性、注重任务的过程性、增强成果的显性化，命制试题答案时，最好能设置等级化的评分量表，凸显过程性评价.

三、命题建议

评价既是教育质量保障体系的重要方面，又是促进学生有效学习的重要方式.好的试卷会提供给教师正确的教学导向.“数与式”试题的命制既要关注知识，又要注重方法，要着重考查基础知识和基本技能，强化算法、算理的内在联系和本质区别；既要深化联系，关注数学内部整体构建，又要考查生成，关注数学思维习惯的养成；既要规范命题设问，尽量与教材编写保持一致，又要关注人文情怀，促使评价导向立德树人.

1.把握命题原则，凸显素养导向

命制数学试题时要明确考查意图，不仅要把握命题原则，更要渗透对核心素养表现的考查.通过创设合理的情境、设置合理的问题、制定科学的评分标准，实现对核心素养导向下义务教育数学课程学业质量的全面考查.在“数与式”相关试题的命制过程中，借助真实有效的情境设置命题背景是值得推崇的.该类试题在情境中嵌入对知识点的考查，引导学生用数学的眼光观察现实世界，并将其抽象为数学问题，调用相关知识，用数学的思维思考解决问题的方案，进而使用数学的语言规范表达.例如，台湾卷中以缓降机的设备操作图作为试题背景，取材真实，考查有理数的运算，凸显了对学生运算能力和应用意识的考查.

2.关注《标准》要求，考查运算能力

《标准》中新增的“学业质量”内容，为中考命题提供了重要依据.具体而言，要将《标准》中的内容要求细化为可操作的目标解析，进而命制试题.例如，对于“数与式”的代数式内容要求中的第5条——理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，应细化为：①了解单项式、多项式、整式的概念；②能指出单项式的次数和系数、多项式的次数和项，能把多项式按照降幂或升幂顺序排列；③知道同类项的含义，知道合并同类项的依据是分配律，能熟练地合并同类项.中考试题注重考查基础知识，命题时要以《标准》中的内容为依据考查知识点.

因此，准确理解和把握学业质量的关键要素和核心要义，命制考查运算能力、抽象能力、模型观念的试题，对于数学核心素养的落地具有重要意义.

3.加强逻辑论证，导向推理能力

《标准》强调了代数推理，让学生能体会代数运算中运算法则和运算律的一致性，感悟从一般到特殊的说理过程，类比数的运算感悟运算和运算律在代数式中普遍适用，在归纳中探索、发现、下定义、论证，渗透对学生推理能力的考查.命制含有逻辑论证的试题，有助于培养学生缜密的思维方式.推理活动包括从已有事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断出某种结论，也包括从已有事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则进行证明和计算（演绎推理）.在问题解决的过程中，两种推理的功能不同，前者一般用于探索思路、发现结论，这在运算法则、公式等探索的过程中经常使用，而后者常用于证明结论.2022年中考河北卷、浙江嘉兴卷中的“数与式”相关试题很好地体现了代数推理思想.

4.探索跨学科试题，发展问题解决能力

学科融合是当前教育界关注的热点话题.跨学科融合可以将不同领域的学科知识和技能的教、学、评进行整合，不仅优化了传统的教学模式，将各学科零散的知识变成一个相互联系的统一整体，而且更契合将学生培养成为“全面发展的人”的育人目标.

如何通过学科融合对学生所学内容进行测评是值得思考和研究的，也是未来中考试题命制的方向之一.其中，要特别关注跨学科情境的科学性.2022年中考中就有很多“数与式”相关试题渗透了跨学科背景，如浙江舟山卷第15题融合科学中的杠杆原理考查代数式的表示，江西卷第4题融合科学中的有机物考查代数的规律，湖北鄂州卷第6题将细胞种群数量变化模型融合了数学和生物学两个学科的内容，台湾卷第24题以日光灯管的发光效率融合科学学科考查学生的阅读理解能力和有理数比较大小的知识点.命制试题时，也可以参考融合数学与医学、天文学等领域知识，考查学生的综合素养.

四、复习教学建议

1.重视提升运算能力和代数推理的训练

对于“数与式”部分而言，基础知识是指学生学习过程中获得的数学概念、原理和事实，是分析问题和解决问题的基本工具；基本技能是指学生学习过程中掌握的学习能力，包括代数中的列式计算、运算法则、运算律等，这些基本技能是进行数学思考和解决问题必不可少的基础.如果基础知识和基本技能不达标，将会影响学生的学习效果.例如，没掌握运算法则导致数学运算结果错误；在代数推理证明过程中缺乏严谨性，导致证明问题时通常采取举例子的方法.因此，在复习教学过程中，教师要引导学生在厘清算理的基础上，适当加强运算技能的训练；在理解问题情境的基础上，加强根据题意列式的训练；在归纳得出规律的基础上，尝试使用代数进行推理论证，形成数学的逻辑思考.

2.渗透代数学习的一般观念

一般观念是具体内容所在的知识领域的核心观念，包括如何引用研究对象，怎样通过抽象界定研究对象得到数学概念，用什么方法和思路研究问题等.在一般观念的渗透中，要理解数学思想方法.思想方法让学生学会分析问题，一般观念让学生学会学习，两者融合，才能形成有层次性的学科思维.

在“数与式”部分，研究一个代数对象的一般观念是：背景（现实或数学）—定义、表示—分类—性质（图象）—运算—联系与应用.学习每类代数对象时，都应该遵循这种研究套路和研究思想，以便学生逐步掌握研究代数对象的“大概念”.该部分内容涉及的数学思想主要是在引入新的对象时的数系扩充思想，以及在字母表示数和代数式运算中的抽象能力和代数式计算中的转化思想.用数学思想和一般观念统领复习教学，可以促使学生获得更高层次的认知能力的发展.

3.关注运算的一致性

从运算意义的角度来看，所有运算都可以还原成加法，加法是所有运算的基础；从运算算理的角度来看，分配律、交换律、结合律和等式的基本性质是所有算理的基础；从运算算法的角度来看，所有运算都可以还原成计数单位与计数单位的运算、计数单位上的数字与计数单位上的数字的运算.

抓住“数”与“运算”的一致性，就能够拨开笼罩在数及其运算表面的层层面纱，进而引导学生建立起知识之间的联系，体会知识的本源性、一致性和整体性.因此，在复习教学过程中，教师要整体把握教学内容，关注课程内容的结构化，引导学生体会知识之间的关联，使学生从整体上掌握相关内容，形成用整体的、联系的、发展的眼光看问题的意识，实现知识与方法的迁移，更高效地达成复习目标，发展数学核心素养.

五、典型模拟题

1.下列运算结果为负数的是（ ）.

（A） (-3)×(-4 )（B） (-5)×3×(-1)

（C） (-2 021)×0 （D） (-4)×(-2)×(-5)

答案：D.

【评析】此题主要考查有理数的乘法法则.

2.据报道：中国为防控疫情做出的巨大努力有目共睹，受到了世卫组织和国际权威公共卫生专家的称赞，其他一些国家也在寻求借鉴中国的经验和防控措施，截至9月17日报道前，境外累计确诊病例约78 200 000人次.将78 200 000用科学记数法表示应为（ ）.

（A） 7.82×106（B） 0.782×107

（C） 7.82×107（D） 782×106

答案：C.

【评析】此题考查科学记数法的表示.

3.如图11，将一刻度尺放在数轴上（数轴1个单位长度是1 cm），刻度尺上0 cm对应数轴上的数3，那么刻度尺上6.5 cm对应数轴上的数为（ ）.

图11

（A）-2.5 （B）-3.5

（C）-6 （D）-6.5

答案：B.

【评析】此题考查的是数轴上的点.利用两点间的距离，求得刻度尺上6.5 cm的点到原点的距离是6.5-3=3.5(c m)，对应的数是-3.5.

（A）±4 （B）±2

（C）4 （D）2

答案：C.

【评析】此题考查二次根式的意义.二次根式中的被开方数是非负数，利用二次根式有意义的条件，得.进而得y=32.所以

答案：3.

6.若4x2+3xy减去某个多项式的差是-4x2-3xy-5y2，那么这个多项式是____________.

答案：8x2+6xy+5y2.

【评析】此题主要考查整式的加减.

7.我们知道，同底数幂乘法法则为am·an=am+n（其中a≠0，m，n为正整数）.类似地，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：g(m+n)=g(m)·g(n)，若g(1)=-3，则g(2 020)·g(2 021)的值为_______.

答案：-34041.

【评析】此题考查同底数幂的乘法、有理数混合运算.由g(m+n)=g(m)·g(n)，推得g(2 020)·g(2 021)=g(4 041)=[g(1) ]4041=-34041.

8.下面是小颖同学进行分式化简的过程，试认真阅读并解答问题：

（1）以上化简步骤中，小颖在第一步进行了哪些运算或变形？试将正确答案的序号写在横线上_____；

A.分式通分

B.除法转化为乘法

C.因式分解

D.分式约分

（2）第______步开始出现错误，试写出正确的解答步骤和答案；

答案：（1） ABC；

（2）二，解答步骤和答案如下.

【评析】此题考查因式分解、分式的运算等内容.

9.如图12，“英寸”是电视机常用尺寸，1英寸约为大拇指第一节的长，则7英寸长相当于（ ）.

图12

（A）一支粉笔的长度

（B）课桌的长度

（C）乒乓球桌的宽度

（D）数学课本的宽度

答案：D.

【评析】此题考查了数学常识，以及基本的计算能力和估算的能力.1英寸约为大拇指第一节的长，7英寸长是它的7倍，相当于数学课本的宽度.

10.《商品房销售面积计算及公用建筑面积分摊规则》中规定：商品房按“套”或“单元”出售时，商品房的销售面积为购房者所购买的套内或单元内建筑面积与应该分摊的公用建筑面积（以下简称“公摊面积”）之和，即“销售面积=套内建筑面积+公摊面积”.房屋公摊面积及分摊系数直接关系到购房者的利益.其中，.

某地区出售A，B两种商品房：A商品房的销售面积为120平方米，分摊系数为； B商品房的销售面积比A住房大，公摊面积也有所增加.

（1） A商品房的公摊面积为_______；

（2）某销售人员称“B商品房较A商品房增加的公摊面积仅是增加的套内建筑面积的一半，因此B商品房的分摊系数更小”，试判断该销售人员的言论是否可信，并说明理由.

答案：（1）20平方米；

（2）设B商品房较A商品房所增加的公摊面积为a，则增加的套内建筑面积为2a.因为B商品房的分摊系数为，所以B商品房的分摊系数大于A商品房的分摊系数.所以该销售人员的言论不可信.

【评析】此题主要考查列代数式及不等式的性质.