于战华，姜 薇

（哈尔滨工业大学〔威海〕 理学院，山东 威海 264209）

近年来，为了培养学生的世界观、人生观和价值观，把知识传授与思想品德教育相融合的教育理念逐步受到世界各国教育界的重视。在我国，高等院校积极开展课程思政建设，其主要形式是将思想教育融入各门课程中去，与思想政治理论课同向，潜移默化地影响学生的思想意识和行为举止，从而实现知识传授、价值塑造和能力培养的有机统一。美国和日本等国家更注重在通识教育类课程和人文社会科学类课程中融入思想政治教育，使思想政治教育与人文素质教育、传授科学知识与培养道德素养有机融合到一起，学生在学习过程中获得了大量道德知识，提高了道德判断能力，培养了国民精神。在德国，思想道德教育更是渗透在伦理学、神学、教育学、法学等课程中，融于专业学习的各个环节，贯穿于教育的全过程。

2020年5月，中国教育部正式发布了《高等学校课程思政建设指导纲要》，强调要重点建设一批提高大学生思想道德修养、人文素质、科学精神、宪法法治意识、国家安全意识和认知能力的公共基础课程［1］。“微积分”课程是高等院校理工类专业大一本科生的重要的数学公共基础课，对于培养学生利用数学知识和数学方法分析问题、解决问题，形成创新思维具有重要作用，同时“微积分”课程具有学时长、覆盖范围广的特点，具备进行课程思政的优势，而且大一学生刚入大学，思想还不成熟，这也正是进行课程思政的黄金期［2］。

目前，很多中国学者对于“微积分”课程思政的研究做了大量的研究工作。在理论层面，彭双阶等针对包含“微积分”的大学数学类课程，给出了课程思政的课堂教学实现的建议和方法［3］。张若军等从哲学的角度分析了“微积分”课程思政的可行性［4］。在具体实施层面，潘璐璐等以函数曲线的凹凸性为例给出了“微积分”课程思政的逻辑与方法［5］。朱婧等给出了新冠病毒感染背景下“微积分”课程思政的教学探索与实践［6］。

一、学生学习“微积分”关注的主要问题及对策

由于“微积分”中的概念、定理等理论比较抽象，现行的“微积分”教材又是经过高度的抽象与概括，侧重于理论体系的严谨性和逻辑性，这就导致学生学习“微积分”时会自然而然地关注微积分中的概念、定理和公式等理论是怎么来的，怎么理解，怎么应用，但“微积分”课堂教学受到班级人数多、教学内容多、考核方式统一单调等客观因素的限制，导致教师在实际教学中无法以学生关注的问题为导向开展课堂教学。教师为了保证教学进度，完成教学任务，在课堂教学中，侧重于知识的传授，缺少对于微积分理论的实际产生背景的介绍和实质内涵的讲解，同时很少与学生交流讨论，多数情况下采用“满堂灌”的授课方式，学生在课堂教学中被动地接受知识，很少有自己的想法和见解，不能深入理解微积分理论的实质内涵。而且“微积分”课程对于学生的考核方式基本上是全校统一，以考试为主，试题多是计算题和证明题，应用型问题和探究型问题基本没有，学生只要记住公式，熟练掌握做题的方法和套路，就能取得较好的成绩，因此教师在课堂教学时讲解的例题以计算题、证明题为主，学生在解决问题时思维僵硬，不能创新性地运用所学的数学知识和数学方法解决实际问题。教师的课堂教学受到这些客观因素的限制，多数情况下不能很好地解决学生所关注的问题，从而导致学生认为“微积分”课程在教学内容上存在着三点不足：（1）教学内容单调枯燥，缺少来源背景的介绍；（2）教学内容抽象，难以理解，不能引起学习兴趣；（3）缺少实际应用案例，讲解的例题侧重于计算题和证明题。针对学生学习“微积分”时关注的主要问题，在客观限制性因素不变的情况下，根据多年的“微积分”教学经验，对于课堂教学提出如下几点对策。

（一）介绍微积分理论的来源背景

“微积分”的很多概念、定理和公式来源于客观实际，在课堂教学中介绍这些概念、定理和公式的形成过程，可以丰富教学内容，增强学生的学习兴趣，帮助学生理解概念、定理和公式的实质内涵。例如在讲授定积分的定义时，向学生介绍定积分从萌芽于古代不规则土地面积的计算到牛顿、莱布尼兹创立微积分基本定理的历史发展过程，既可吸引学生的课堂注意力，又有助于学生理解定积分计算的实质“分割为无穷小元素求和”。同时概念、定理和公式的形成过程既是发现问题、分析问题和解决问题的过程，也是特殊到一般、具体到抽象的过程，向学生介绍概念、定理和公式的形成过程可以培养学生的创新思维和数学思维。例如在讲授微积分基本定理之前，介绍牛顿在流数术中所提出的中心问题：已知连续运动的路程求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。

（二）分析微积分理论的实质内涵

与客观实际联系紧密的微积分理论通过介绍其形成过程，可以加深学生的理解。但部分微积分理论是经过已有数学理论的提炼和逻辑推理得到的，尽管课本给出了其数学证明或说明，但其实质内涵学生还是难以理解和掌握。对于这部分理论，教师有诸多方法帮助学生理解。（1）教师可以适当地运用通俗化的语言进行讲解，把抽象的理论用学生易于理解和掌握的描述方式进行解释。例如数列极限定义xn=A的数学语言的描述比较抽象，学生很难理解，教师在讲解时可以将学生已有的极限的直观感觉“xn=A就是n→∞时通项xn与A无限接近”进行通俗化的解读：“n→∞时通项xn与A无限接近”意味着A找不到一个自身的ε-邻域将其与xn隔离开，所以对于A的任何一个ε-邻域，通项xn总会从某项开始进入其内部。这样通俗化的解读使学生更容易理解数列极限定义的数学语言的描述。（2）教师可以通过几何图形把抽象的理论可视化，方便学生理解。例如讲解微分中值定理时，画出罗尔中值定理的几何图，学生可以很直观地看到在曲线上确实存在某些点的切线与连接曲线的两个端点的割线平行，即都和坐标轴平行，引导学生在坐标系不变的情况下旋转罗尔中值定理的几何图，可以观察到这些切线和割线的平行关系保持不变，将其用数学语言描述就得到拉格朗日中值定理，再现了知识创作发现的过程，增强了学生对于拉格朗日中值定理的理解。（3）教师可以合理设置问题，引导学生主动思考微积分理论的实质内涵。例如在讲解柯西中值定理时，教师可以提出问题：如何对参数函数运用拉格朗日中值定理？引导学生主动思考，通过问题的解决使学生体会到柯西中值定理的实质就是对参数函数运用拉格朗日中值定理，而不是对两个函数分别运用拉格朗日中值定理再相比得到的。（4）对于学生不能理解的、课本没有说明的、相对比较简单的微积分理论，教师可以直接讲解它的实质内涵，“一语点醒梦中人”。

（三）引入实际应用案例

受考核方式等客观因素的影响，在“微积分”课程中，微积分理论的应用主要是侧重于计算和证明，导致学生运用数学知识和数学方法解决实际问题的能力较弱，这就需要教师在课堂教学中适当地引入微积分理论的实际应用，例如在工程、经济学、人口学等领域的应用，可以增长学生的知识见识，使学生体会到数学的重要性和基础性。例如，在讲解常微分方程的可分离变量方程时，可以介绍马尔萨斯人口模型，通过求解，使学生认识到微积分理论在人口预测方面的理论指导作用，增强学生学好数学的信心。

二、“微积分”课程思政元素的有效融合路径

多数专家和学者认为课程思政的最佳开展方式是将思政元素“润物无声”“如盐化水”般地融入课程知识体系中［7］。通过近几年的教学实践和工作实际，从学生在学习过程中所关注的主要问题出发，将思政元素融入问题的解决过程中不失为一种好的方法，它既能使思政元素帮助学生加深对于所关注问题的理解，促进问题的解决，又能使学生在微积分课堂教学中很自然地接受思政元素的熏陶，从而做到知识学习与思想政治教育的相互促进、相辅相成。具体地针对学生所关注的问题，思政元素可以从以下三个方面与微积分知识体系进行融合。

（一）思政元素与微积分理论的来源背景相融合

微积分理论的来源背景蕴含着大量的思政元素，如数学发展史和科学家的数学研究史等数学文化。在介绍微积分理论的来源背景中融入数学文化，既可以提高课堂吸引力，增强学生的学习兴趣，又可以熏陶学生的思想品质，帮助学生树立正确的世界观、人生观和价值观。例如，在讲解极限概念时，可以向学生介绍中国古代数学家刘徽的割圆术，通过展示圆内接多边形的面积逼近圆的面积，既是对极限概念的直观演示，同时让学生了解在中国古代极限思想已经形成，并用其解决实际问题，从而说明极限思想并不是从国外传入，增强学生的民族自豪感。在讲解定积分的来源背景时，可以向学生介绍开普勒运用无穷分割法计算图形面积的工作，使学生知道牛顿和莱布尼茨创立的微积分学是许多科学家工作的结晶，让学生明白尽管多数人的工作是默默无闻的，但只要努力工作，贡献正能量，就会推动社会的进步和发展。

（二）思政元素与微积分理论的实质内涵相融合

微积分理论蕴含着丰富的哲学思想，在讲解微积分理论的实质内涵时，融入具有相同哲学内涵和思想内涵的思政元素，可以加深学生对于微积分理论的理解。同时微积分理论又是所融入的思政元素的一个具体表现，使所融入的思政元素形象化、具体化，避免了思政元素的空洞无力，这样引入的思政元素对于学生而言更具有说服力，更能对学生的思想产生冲击，引起共鸣。例如，在讲解定积分的微元法时，可以融入量变与质变的辩证关系，将微元法的第一步求子区间[x,x+dx]对应的局部量ΔQ的近似值dQ看作是量变过程，则微元法的第二步计算区间[a,b]上的总量Q=dQ可以看作是量变积累到一定程度引起质变的过程，这样的融合讲解既加深了学生对于微元法的理解，明白微元法的实质是“先求无穷小元素对应局部量的近似值，再求和”的过程，又使学生对于量变与质变的辩证关系有了一个形象具体的认识。同时，通过说明局部量ΔQ与其近似值dQ之差应为dx的高阶小量，引导学生推导dx的高阶小量在上[a,b]的积分为0，使学生认识到“不是所有的量变都能引起质变”，进一步加深了学生对于量变与质变的辩证关系的理解。

（三）思政元素与实际应用案例相融合

挖掘和讲授与国民生活与科技发展相关的微积分实际应用案例，既可以增长学生的知识见识，激发学习兴趣，还可以潜移默化地影响学生的世界观、人生观和价值观，培养学生运用科技推动社会发展的思想意识，使学生尊重科学、崇尚科学，主动学习科学家的爱国奉献精神，勇担中华民族伟大复兴的历史使命。例如，讲授第一型曲面积分的计算时，可以引入“求解通信卫星的电波覆盖的面积与地球表面积之比”的实际应用案例，通过案例求解，强化了学生对第一型曲面积分的计算公式的掌握，使学生见识到第一型曲面积分在航天领域的重要应用，同时在课堂上简单地和学生分享我国航天领域发展现状，让学生知道中国近年来在航天领域取得的一系列非凡成就，如北斗导航工程、嫦娥探月工程、火星探测工程等，这些都是我国科技创新的结晶，而科技创新的关键是创新人才的培养，鼓励学生努力使自己成为科技创新人才，为祖国的发展贡献自己的力量。在讲解常微分方程组的求解时，可以引入传染病模型的计算，引导学生找到传染病感染的拐点，鼓励学生运用数学建模的方法解决实际问题，推动社会发展。

结语

课程思政不同于思想政治理论课，应以课程知识传授为主，思想教育为辅，使学生在学习课程知识的同时，潜移默化地接受思想教育的熏陶。课程思政引入的思政元素应自然融合于课程知识体系之中，以帮助学生学习课程知识为目标，以切实融入学生的思想为目的。具体到理论性较强的“微积分”课程，可以从学生关注的问题出发，将思政元素融入微积分理论的来源背景、实质内涵和实际应用之中，从而形成了以问题为导向、以学生为中心的“微积分”课程思政的理论体系。