梁清海，张德燕，段博韬

（1.淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000；2.淮北理工学院 教育学院，安徽 淮北 235000）

0 引言

在凸分析中凸函数是一类极其重要的函数，其理论基础最早是由丹麦数学家Jensen 在20世纪初首先提出，到20世纪中期，凸函数演变成一门独特的数学分支——凸分析［1］。在数学的各个领域中几乎都能看到凸分析的相关应用，特别在优化领域、控制学理论、矩阵分析学、几何学领域以及数理统计学等方向起到不可或缺的作用［2-3］。

此外，凸函数的研究也一直不断，文献［4］介绍一元凸函数的3个定义，并且证明它们的等价性。文献［5］给出判定多元凸函数的2个方法，并证明多元凸函数的Jensen不等式和Hermite-Hadamard 不等式的性质。一般来说，判断一元函数凸性的方法有很多种，其中最基本的方法有如下2种。第1种，运用定义的方法可以判断函数的凸性，即设f(x)是定义在区间I上的函数，对∀x1,x2∈I，∀λ∈[0,1]，若f满足f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称f(x)为区间I上的凸函数。第2 种，准确判断函数凸性的方法，还可以利用函数的二阶导数来判定，即定义在区间I上的二阶可导函数f(x)，若函数f(x)满足f″(x)≥0，则断定函数f(x)为凸函数。在许多数学不等式的证明中，凸函数起到至关重要的作用，如Young不等式［6］、Jensen不等式［6］、Hardy不等式［7］等。设F(x)为区间I上的凸函数，对∀a,b,c，且b≥a≥0，c-a,c+a,c-b,c+b∈I，Green和Osher在文献［8］的引理2.9中证明不等式：

文献［8］只给出该不等式必要性的证明。在此基础上，本文介绍凸函数的定义，利用定义证明不等式（1）成立的充要性，得出当F(x)∈C0(R)时，不等式（1）可作为判断凸函数的一个充要条件。再给出不等式（1）在星体上的一个运用，可以看出该不等式可运用在凸几何上。

1 预备知识

下面给出凸函数的定义以及相关的不等式，更多与凸函数相关的知识可以参见文献［2，9-10］。

定义1［10］设函数f(x)定义在区间I上，f(x)在区间I上称为凸函数，当且仅当对∀x1,x2∈I且∀λ∈(0,1)，有

对∀x1,x2,…,xn∈I，可以利用定义1的式（2）进行推广，得到如下的Jensen不等式。

命题1［6］（Jensen不等式）设f(x)是定义在区间I上的凸函数，则对∀x1,x2,…,xn∈I有

其中等号成立当且仅当x1=x2=…=xn。

命题2［10］设f为开区间I上的凸函数，则f在区间I上任意一点x0都存在左、右导数。

上述命题可以得到若f(x)为开区间I上的凸函数，则f(x)在区间I上的任意一点处必须连续。容易看出凸函数是可积函数，于是命题1给出的Jensen不等式就有积分形式，即积分形式的Jensen不等式［6］。

2 主要结果

在这一节将给出凸函数的一个充要条件的证明，并将得出的结论运用在凸几何上。

定理1设F(x)是R 上的连续函数。则F(x)为凸函数当且仅当对于任意的实数a,b,c且b≥a≥0，有

证明必要性 设F(x)为凸函数，对∀x,y∈R，λ∈[0,1]，由定义1得

（i）对∀a,b∈R，当b=a时，由式（3）等号显然成立。

（ii）对∀a,b∈R，当a=0 时，由式（4）得

综上可证，若F(x)为凸函数，则对∀b≥a≥0，a,b,c ∈R，F(x)满足F(c+a)+F(c-a)≤F(c+b)+F(c-b)。

充分性 设F(x)是R 上的连续函数，对∀b≥a≥0，其中a,b,c ∈R，F(x)满足

欲证明F(x)为凸函数，只需证明对∀x,y∈R，∀λ∈[0,1]，F(x)满足F(λx+(1-λ)y)≤λF(x)+(1-λ)F(y)。下面用反证法证明F(x)为凸函数。假设∃λ0∈(0,1)，∃x0,y0∈R，使得下式满足

断言x0≠y0。事实上，若x0=y0，则F(λ0x0+(1-λ0)y0)=F(x0)，这与式（6）矛盾，即一定有x0≠y0。不妨设x0＞y0，取ε=F(λ0x0+(1-λ0)y0)-(λ0F(x0)+(1-λ0)F(y0))，则ε ＞0。

一方面，由F在λ0x0+(1-λ0)y0处连续，因此对上面所取的ε，存在δ ＞0，使得满足|x-(λ0x0+(1-λ0)y0)|＜δ的所有x都有 |F(x)-F(λ0x0+(1-λ0)y0)|＜ε。

根据F的连续性，对上面的ε有

对任意的k=1,2,…,p-1，由式（14）和式（15），得

对任意的k=1,2,…,p-1，结合式（15）和式（16）可得

令k=q，结合式（11）可以得到

再令k=q+1，结合式（12）又可以得到

注2由命题2可以看出，定理1的必要性不必要求F(x)连续。

注3定理1证明凸函数的必要性不同于文献［8］中引理2.9的证明方法。

星体作为凸几何的一类重要研究对象，关于星体不等式的研究也备受关注［11-13］。下面将利用定理1性质给出平面星体的一个积分不等式。

定义2［14］设K为Rn中的一个紧子集，若K关于原点是星形的，对∀u∈Sn-1，则称ρ(K,u)=max{λ ＞0:λu∈K}为K的径向函数，其中Sn-1为Rn中的n-1 维单位球面。进一步，如果ρ(K,u)是关于u的正连续函数，那么称K为星体。

上面利用定理1证明2个星体在某一方向上关于径向的不等式（19），从而得到凸函数F与星体的径向的复合函数在Sn-1上的积分不等式（20）。

3 结论

文章首先利用定义1证明新不等式为凸函数的充分条件，然后通过构造的方法证明新不等式为凸函数的必要条件，最后得出新不等式作为判断函数为凸函数的充要条件，并给出该不等式在凸几何中星体的一个运用。