李泽耀，卓泽朋

（淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000）

0 引言

(n,m)函数在分组密码中扮演一个非常重要的角色［1］。当不指定数字n和m的值时，(n,m)函数也称作向量布尔函数、多输出布尔函数或S盒。在对对称密码进行设计和分析时，(n,m)函数和布尔函数相比有着更广泛的应用［2］。为抵抗线性密码攻击［3］，密码算法中使用的(n,m)函数需要有尽可能大的非线性度。因此高非线性度是构造(n,m)函数时最基本和最重要的目标之一。具有最大非线性度的(n,m)函数称为向量Bent 函数，也称作(n,m)Bent 函数或多输出Bent 函数［4］，(n,m)Bent 函数是一类完美非线性函数。关于(n,m)Bent 函数的构造方法目前不多，已知的构造有基于M-M 和PS Bent 函数上构造的(n,m)Bent函数［5］，学者们后来改进这种构造方法，使得到的(n,m)Bent 函数达到最大的代数次数，而在二次构造上研究者们提出M-M类构造、直和构造和非直和构造［6］。Carlet等［7-9］提出和总结(n,m)Bent函数的一些基本构造，并提出一些新的(n,m)Bent函数的二次构造方法。最近几年国内外学者在(n,m)Bent函数的研究上取得许多进展，Zhou等［10］给出一种利用迹函数构造(n,m)Bent函数的方法，Zheng等［11］得出通过二阶导数来构造(n,m)Bent的方法，Lapierre等［12］得到DILLON类(n,m)Bent函数的不存在结果。

本文在Carlet给出的Bent函数的一种经典非直和二次构造［9］的基础上给出(n,m)Bent函数的一种非直和二次构造，然后通过级联构造法构造2类(n+2,m)Bent函数。这3类全新的向量Bent函数作为一种完全非线性函数，在密码加密中可以很好抵抗线性攻击，因此具有良好的应用前景。其中后2类构造二次构造首次将级联构造法应用于向量布尔函数的构造中，有进一步推广的潜力。

1 预备知识

2 （n，m）Bent函数的构造

3 结论

本文在已有的Bent 函数的研究基础上，将单输出的Bent 函数的二次构造推广到(n,m)Bent 函数上。通过分析(n,m)Bent函数的Walsh谱的性质，给出1类非直和间接构造的(n,m)Bent函数。接着通过级联构造法用多个已有的(n,m)Bent 函数构造出两类特殊的(n,m)Bent 函数。由此可以看出，级联构造法在(n,m)Bent 函数的构造上也有很好的应用。参考级联构造法在构造Bent 函数时的许多应用，其在构造(n,m)Bent函数上应用显然不止于此，值得进一步挖掘。