毛文杰,毛 弋

(湖南大学电气与信息工程学院,中国 长沙 410082)

灰色系统理论[1]自诞生以来,引起了各领域学者的关注与重视。因其原始数据少,预测精度较高的特点被广泛应用于经济管理及工程技术等各个领域的数据预测工作中。灰色预测模型是该理论在实际问题中的具体化应用成果,其研究对象是“小样本,贫信息”的不确定性系统,通过按一定的方式对原始数据序列进行处理,生成规律性更强的算子,从而把握系统运行的内部规律和发展趋势。多年来,学者对灰色系统理论进行不断研究和完善,在数据预处理[2]、算子构建[3]、背景值优化[4]、时间响应函数优化[5-8]及迭代基值优化[9,10]等方面均提出了改进与创新,丰富了其内涵,在传统GM(1,1)模型的基础上拓展出GM(1,N),GOM(1,1),Verhulst和DGM(1,1)等诸多新型模型,进一步增强灰色系统理论的适用性。

其中,谢乃明等提出DGM(1,1)模型[11],将离散方程和连续方程的转换过程省略,避免了拟合过程带来的误差。随后其又提出初值点优化求解过程[12],将误差平方和最小作为目标函数,新增一个修正值,改进模型计算过程过度依赖原始初值点的弊端。为了更好地探究递减序列之间的内部联系,基于新息优先理论,宋中民等提出了反向累加理论[13],建立GOM(1,1)模型,并在后来学者的研究中拓展出其离散模型,为数据的逆向联系研究开辟了新的方向。组合预测是结合同一问题从不同角度及层次出发延伸各预测方法优点,通过线性或非线性的组合将其结果或中间过程进行结合的预测方法,克服了单一预测方法预测信息不全面的缺点,进一步提高了预测精度。目前,将单一预测模型结果进行加权结合的组合预测模型应用最为广泛,按权重求取方式又可分为定权组合预测和变权组合预测[14,15],张鹏[16]通过对两种类型方法进行比较分析,得出结论:变权组合预测更适用于随时间变化的数据序列。

本文以文献[7]中含线性时变参数的反向累加离散灰色模型为基础,对模型进行调整修改,作为组合模型的反向累加计算部分。由于文献[12]中的NDGM(1,1)模型在结构上与其类似,因此作为组合模型的正向累加计算部分。在此基础上加入迭代基值优化过程,构建新息LT-DGOM(1,1)模型和新息NDGM(1,1)模型。最后将两部分结果进行变权组合并在未来数据预测中加入等维新息的误差平方均值替代过程。通过对实际数据进行模拟预测分析,证明该方法具有较好的预测效果。

1 组合模型的正向累加计算部分

1.1 NDGM(1,1)模型

设等时距原始非负序列:

X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}。

通过原始数据累加得到一次累加生成序列:

X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)},

称

x(1)(k+1)=β1x(1)(k)+β2k+β3

(1)

为非齐次离散灰色模型(NDGM(1,1)模型)。令

(2)

(3)

式(3)的通式为

(4)

预测结果还原式为

(5)

1.2 NDGM(1,1)模型初值优化

(6)

为了求取使模型与数据达到最大拟合程度的β4值,需要设定一个判定拟合程度最优的目标以期获得最优值。在这里可以以误差平方和最小为目标函数建立方程

(7)

将式(4)和(6)代入式(7)中,并对Q(β4)进行求导得

(8)

(9)

(10)

将式(6)和(10)代入式(3)中可得到初值优化的NDGM(1,1)模型(简称新息NDGM(1,1)模型)的时间响应递推函数。

2 组合模型的反向累加计算部分

2.1 LT-DGOM(1,1)模型

x(1)(k)=β1x(1)(k+1)+β2(k+1)+β3

(11)

为改进含线性时变参数的反向累加离散灰色模型(LT-DGOM(1,1)模型)。令

(12)

式(12)通式为

(13)

预测结果还原式为

(14)

2.2 LT-DGOM(1,1)模型初值优化

(15)

将修正初始值及式(13)代入式(15)中,并求导得

(16)

(17)

(18)

由此构建的模型称为新息LT-DGOM(1,1)模型。

3 基于正反向累加的变权组合预测模型

电力负荷数据是一组具有较强关联性的序列,相邻的数据之间具有重要的参考意义,而含线性时变参数的正向累加离散灰色模型和反向累加离散灰色模型是从不同方向探究一组原始序列的相邻数据关联性的方法,通过将这些不完全明确信息转化成具有一定规律的算子,从不同的角度建立模型对数据进行拟合和预测。

正向累加模型和反向累加模型都具有其合理性,但是在不同数据下适应性有所区别。为了进一步提高模型的泛化能力,采用变权组合预测法将两种模型结合。

3.1 组合预测模型构建

(19)

3.2 权重系数的确定

对于单项预测模型结果的权系数计算可分为两个部分——可观测期部分和预测期部分。

可观测期(k=1,2,…,n),即与历史数据同时期的拟合部分。在此期间,实际值与模型预测值之间的误差可以通过计算直接得到,因此,可以利用误差来计算权重以修正预测值。常用的方法为方差倒数法,即根据各个单项预测模型的误差平方和的倒数在所有模型误差平方和的倒数之和中所占比重赋予相应的权重,以保证精度高的模型获得更大的权重。该方法的缺陷在于,误差平方和最小不代表在每个时间点的误差都最小,因而不能保证每个时间点的权值都能得到合理分配。于是延伸出了随时间点变化的方差倒数法,即以各时刻单项预测模型预测数据与观测数据之间的误差平方倒数在该时刻各单项预测模型误差平方倒数之和中所占比重作为权系数。这种方法一方面保证了权系数的非负性,另一方面考虑到每个时刻的特异性,保证该时刻精度高的预测结果所占权重大,有效提高精准度,即

(20)

预测期(k>n),即在历史数据时期之后的预测部位。由于不存在观测数据,因而无法直接测算误差。这里可以参考趋势外推法中的平均化思想:第一个预测值的误差平方采用可观测期中的各时间点的误差平方平均值来进行替代。之后的预测值的误差平方根据等维新息的思想采用前n维平均误差平方替代,即以该时刻前n个时刻误差平方的均值作为该时刻误差平方替代值。再根据上述随时间点变化的方差倒数法进行权重计算,即

(21)

4 实例分析

为了验证本文提出的组合模型的实际预测效果,下面选取2014—2021年某地区年供电量水平作为研究对象进行预测分析,原始数据如表1所示。

表1 2014—2021年某地区年供电量

为了体现本文所提出模型的优势,选取DGM(1,1),LT-DGOM(1,1)以及本文中提到的新息NDGM(1,1)和新息LT-DGOM(1,1)模型作为比较对象,以2014—2021年某地区年供电量水平作为作为原始序列,以平均相对误差作为衡量预测效果的标准。得到各模型模拟结果如表2所示。

表2 5种模型对某地区年供电量水平模拟结果

由表2可以看出:DGM(1,1)模型作为最原始的离散灰色模型在所有模型中预测效果表现最差,平均相对误差为11.01%,这是因为其超参数少、过度依赖初始值。文献[7]中的LT-DGOM(1,1)模型在加入反向累加思想以及线性时变参数之后预测效果有所提升,达到7.64%。本文中提到的新息NDGM(1,1)模型和新息LT-DGOM(1,1)模型分别在两个方向构建算子的基础上加入线性时变参数以及迭代基值优化过程,预测精度进一步提高,分别达到7.03%和7.09%。组合模型结合了两者优点,通过合理赋予权重组合预测结果,进一步减小误差,达到4.73%,在所有模型中精度最高。

为了更直观地观测预测效果,将实际值与各模型预测值通过MATLAB R2019b进行曲线仿真,其仿真结果如图1所示:

图1 拟合结果趋势图

从各模型拟合曲线的对比中可以看出,本文提出的组合模型更契合原始数据的变化趋势,离散程度小,表现出更好的拟合效果及模拟精度。即表明通过将含线性时变参数的正向累加和反向累加离散灰色模型进行组合,可以结合两种模型优点,增强模型的泛化能力,使其模拟预测效果更加显著。表3给出在组合模型下2022—2026年间该地区年供电量预测值。

表3 2022—2026年该地区年供电量预测值

5 结论

单项灰色预测模型由于在建立算子时只考虑一个方向上序列的变化关系,无法涵盖数据的多方面信息而影响预测精度。因此,从多角度建立模型进行组合预测能结合各单项方法的优势,弥补单项模型考虑问题中存在的不足,进一步提高了预测精度。

本文基于正向累加序列和反向累加序列从不同角度对原始序列进行分析的特点,在NDGM(1,1)模型LT-DGOM(1,1)模型的基础上进行迭代基值优化,并用两种信息对某地区供电量水平进行了变权组合预测。在组合预测过程中,考虑到未来预测期权系数的不确定性,采用等维新息的平均误差平方替代计算。通过数值模拟和拟合曲线表明,组合预测模型相比其单项预测模型以及其他几种模型具有更高的预测精度。该模型在电力负荷预测中取得了良好的应用效果,其思路也可以用于其他领域的预测工作中。

实例模拟中的该地区以旅游业为主要产业,受疫情影响,对近两年供电量水平产生较大的冲击,因此原始数据在2020年产生巨大降幅。如果考虑到疫情问题,只对2020年以前的数据变化曲线进行研究,将2020年及以后数据建立新的序列进行未来预测,将进一步提高精准度。