闫夙，张馨月，周毅，刘书妍，王丽

惠斯登电桥测电阻是电磁学实验中一个重要且典型的基础性实验［1−2］，作为一种测量中值电阻的普适方法，提高其测量精确度是非常重要的，所以电桥的灵敏度S是一个重要指标.S的大小与电源的电动势、四个臂的搭配和桥路电阻的大小都有关系.例如王金辉等［3］讨论了恒流源作为电源的惠斯登电桥的灵敏度，发现S与恒流源输出电流成正比，并且桥臂电阻比例越小，S越大；同时，林丽梅等［4］通过对电压法和电流法惠斯登电桥测电阻实验的研究发现，S的大小与桥臂电阻密切相关，并且提出了最佳桥臂电阻的计算公式，从而为电桥的精准测量提供了方便，于华等［5］还发现，当固定比例臂的倍率时，两个比例臂上的电阻值与待测电阻具有相同数量级时，电桥的灵敏度具有最大值.

此外，S的大小还与电路中检流计的灵敏度Sg和内阻Rg有关.例如张学华等［6］推导了S的理论公式，并通过相应的实验验证了S与Sg的正比关系，同时发现，当Rg的大小等于电桥路端等效电阻时，S具有最大值.可见，在惠斯登电桥测电阻的实验中，Sg和Rg是两个很重要的物理量.根据Sg和Rg的大小，可以更加合理地设计电路中各个比例臂上电阻的大小，从而提高电桥的灵敏度.但是，在实验过程中，学生经常会发现运用检流计说明书中的Sg和Rg计算出来的电桥灵敏度理论值与实验值有较大误差，这应该是由于检流计使用时间过长使其Sg和Rg不准确造成的，给实验的设计造成了极大的误差.

在物理实验教材中，S定义为电桥平衡时，当一臂的电阻为R，其改变一微小量ΔR后，引起检流计偏转Δn格，则S的大小为：

武松安等［7］提出采用交换测量法来减小S的测量误差，但很少有人讨论检流计指针偏转方向和偏转格数对S的影响.本文利用Origin 软件对1/S−Rx实验数据进行拟合，从而求出了检流计Sg和Rg的实际值，再通过具体实验讨论检流计指针偏转方向和偏转格数对S的影响.

1 理论

惠斯登电桥测电阻电路如图1 所示.S的理论公式［8］为：

图1 惠斯登电桥电路图

其中：E为电源电动势.令R0与R1比值为γ，即Rx=γ·R2，上式可写成

对其取倒数，得

其中，系数A、B和C分别为：

令y=1和x=Rx，则式（4）写为：

其中：f1(x)=Ax+C，f2(x)=.所以y=f(x)是由一个一次函数和一个反比例函数构成的初等函数，即1/S是Rx的一个初等函数.

从式（8）可以看出，当x取值较小时，f2(x)会有明显的影响；随着Rx的增大，f2(x) 的影响将逐渐减小，当Rx达到一定值时，1/S和Rx的关系接近为一次函数.假设Rx的这个值为Rx的临界值，用Rxc来表示，即当Rx≥Rxc时，1/S近似为Rx的一次函数，而Rxc的大小应该由实验条件来决定.

2 实验内容

实验过程中，使用WYK−302 型直流稳压电源、AC5−1 型指针式直流检流计和5 个电阻箱.主要有以下三个实验内容.

2.1 利用Origin 软件求检流计Sg 和Rg

按图1 连接电路，固定R0的大小，并取γ=1/10，当待测电阻Rx取不同值时，测出电桥的S值.实验过程中，在电桥平衡的条件下，改变R2，使检流计指针分别向左和向右偏转5 小格，根据灵敏度定义，有

2.2 检流计指针偏转方向对S 的影响

取E=3 V，R0=200 Ω，R1=2 000 Ω，Rx=50 Ω，在电桥平衡的条件下，改变R2，使检流计指针分别向左和向右偏转5 个小格，求出S左、S右和S，并与S理论进行比较.

2.3 检流计指针偏转格数对S 的影响

实验条件同2.2.当电桥电路平衡的条件下，改变R2，使检流计指针分别向左和向右偏转3、5 和7 个小格，求出S的实验值，即S=≈（S左+S右）/2，并与S理论进行比较.

3 结果与讨论

图2（a）给出了当R0=50 Ω、100 Ω 和200 Ω时，1/S−Rx的实验数据.从图中可以看到，当R0=50 Ω时，1/S−Rx接近线性关系，表明Rx在25～200 Ω 之间时取值均较大，即此时的Rxc≤25 Ω，从而使得1/S−Rx的关系接近为一次函数（见式（8））.当R0=100 Ω时，随着Rx的增大，1/S先减小后增大，当Rx在25～50 Ω 之间时，1/S具有最小值.即当Rx小于50 Ω时，1/S−Rx接近反比例关系，而当Rx≥75 Ω时，1/S−Rx为一次函数，由此可以判断此实验条件下Rxc≈50 Ω.而当R0=200 Ω时，可以清晰地看出1/S和Rx的函数关系.当Rx≥100 Ω时，1/S−Rx才近似为一次函数，所以此实验条件下Rxc≈100 Ω.由此可见，在E=3 V 和γ=1/10 的实验条件下，R0=50 Ω、100 Ω 和200 Ω时，Rxc的大小分别为25 Ω、50 Ω 和100 Ω，即Rxc随着R0的增大而增大.此外，从图2（a）还可以看到，当Rx一定时，1/S随着R0的增大而增大，即S随着R0的增大而减小，这也验证了公式（3）的结论.

图2 电桥灵敏度测试结果

对三组数据按照式（8）进行拟合，得到的系数和R0、Sg和Rg的计算值见表1，从表中可以看到，当R0=50 Ω 和100 Ω时，R0拟合的大小分别为67.97 Ω 和82.10 Ω，与实验的真实值（50 Ω 和100 Ω）明显不相符合，所以相对应的Sg和Rg值不 可取.而当R0=200 Ω时，得到的R0拟合=196.44 Ω，与实验的真实值（200 Ω）十分接近，所以此时得到的Sg和Rg具有可信性，即实验中所用检流计的灵敏度和内阻分别为2.27×105div/A 和196.44 Ω.此外，拟合获得的Rg=196.44 Ω 与万用表测量出检流计的内阻（196.9 Ω）也基本一致，进一步说明了R0=200 Ω 这组拟合数据的正确性.由此可见，在对1/S−Rx的实验数据拟合求Sg和Rg的实验中，Rx和R0的取值不能是任意的，要根据R0的大小来设计Rx的取值范围.由图2（a）可见，当Rx在25～200 Ω 之间时，只有R0=200 Ω的实验曲线反映出1/S−Rx的复合函数关系，所以其拟合得到的参数才是准确的.而当R0=100 Ω时，Rx应该在较小值的范围内取值才会通过数据拟合得到准确的数值.

表1 拟合曲线的主要参数和R0、Sg 和Rg 的计算值

图2（b）给出了E=3 V、R0=200 Ω、R1=2 000 Ω 时S的理论值与实验值随着Rx的变化曲线.其中，理论值为将Sg=2.27×105div/A、Rg=196.44 Ω 代入式（3）求得.可以看到，随着Rx的增大，S先增大后减小，当Rx=50 Ω时，S具有最大值，约为171.63.所以采用该实验条件下的惠斯登电桥去测量50 Ω 左右的待测电阻时，电桥才具有最高的灵敏度，实验误差最小，测量值越接近真实值；而当待测电阻较大（例如200 Ω）时，电桥的灵敏度会减小，从而增大实验误差.所以在运用惠斯登电桥测电阻值时，要根据待测电阻的大小合理地设计实验条件.此外，电桥灵敏度的实验值与理论值符合得很好，说明由R0=200 Ω 的实验数据拟合得到的Sg和Rg较准确.

表2 给出了E=3 V、R0=200 Ω、R1=2 000 Ω、Rx=50 Ω、n=5 div，检流计左右偏转时的电桥灵敏度的实验值，以及相对误差Δ=（|S理−S|/S理）×100%.将此时的实验条件（E=3 V，R0=200 Ω，R1=2 000 Ω，Rx=50 Ω）和Sg=2.27×105div/A，Rg=196.44 Ω 带入公式（3），得此实验条件下S理论=171.16.从表2 中可以看到，当仅考虑左偏时，ΔR2左的平均值为14.3 Ω，由公式（9）得S左=174.57，相对误差为1.92%；而当仅考虑右偏时，ΔR2右的平均值为14.8 Ω，S右=168.56，相对误差为1.52%.S左与S右并不相等，这应该是由于检流计的零点不准造成系统误差.在本实验中，S左总是大于S右，说明此检流计的实际零点应该在标定零点的左边.所以在测量惠斯登电桥灵敏度的实验中，可以通过考虑检流计偏转方向来消除检流计的零点不准造成的系统误差.表2 第7 列便给出了考虑左右偏转后，有S≈（S左+S右）/2=171.63，与理论值十分接近，相对误差仅为0.27%.

表2 E=3 V，R0=200 Ω，R1=2 000 Ω，Rx=50 Ω，n=5 div时，检流计左、右偏的S 和Δ

表3 给出了E=3 V，R0=200 Ω，R1=2 000 Ω，Rx=50 Ω，n=3 div、5 div 和7 div时，S的实验值和相应Δ 大小.从表中可以看到，当n=3 div、5 div 和7 div时，S先减小后增大，与理论值的相对误差也是先减小后增大.当n=5 div时，电桥灵敏度的实验值为171.54，与理论值相对误差最小，约为0.22%.偏转格数过小，实验误差较大，这应该是由于偏转格数太少，实验操作不易控制造成的；而偏转格数较大时，虽然实验现象明显，但会增加调节平衡的时间以及数据读取的偶然性误差，从而降低了稳定性和重复性.

表3 E=3 V，R0=200 Ω，R1=2 000 Ω，Rx=50 Ω，n=3 div、5 div 和7 div 时的S 和Δ

4 结论

综上所述，本文在利用Origin 软件求出检流计的Sg和Rg之后，研究了检流计指针偏转方向和偏转格数对惠斯登电桥灵敏度测量的影响.结果发现，考虑检流计指针偏转方向后，可以有效地消除检流计引起的系统误差，从而使实验值与理论值更加符合.而检流计指针的偏转格数对电桥灵敏度的测量也具有一定的影响，当偏转格数增加时，实验误差先减小后增大，当n=5 div时，相对误差最小.此外，在对1/S−Rx的实验数据拟合时，要根据R0的大小来设计Rx的取值范围.希望通过以上研究可以帮助学生更好地理解惠斯登电桥的电路特征，以及测量电桥灵敏度的实验方法.