徐智

图像分割作为计算机视觉的重要方向之一，在工业自动化、图像编码、视频检验、遥感和生物医学图像分析等领域有着极其重要的作用［1−5］.图像分割是将图像分割为具有不同特征的几个子区域.

阈值法［6−7］是最早提出的分割方法，主要通过将图像中的像素点划分为两个或多个类别，从而得到目标区域边缘.活动轮廓模型［8］使用能量最小化方法可以准确地分割图像并得到一个闭光滑轮廓.早期的活动轮廓模型在曲线演化过程中很容易受到初始轮廓、参数及图像中的噪声等因素的影响，造成能量泛函最终迭代至局部极小值点，不能准确分割出图像边缘.水平集方法［9］的提出解决了早期活动轮廓模型难以自适应变化的问题.之后水平集方法被大量地应用于图像分割中［10−11］.结合水平集方法，C−V 模型［12］提出用分片常数图像逼近原图像，使用图像区域像素信息，通过能量泛函极小化进行曲线演化，使得处理噪声图像取得了良好的效果.但是C−V 模型假设图像灰度均匀的条件大大地限制了其使用范围.

一般情况下，现实中的大多数图像均为灰度不均匀图像.近年来，灰度局部信息被融入水平集方法中，用以分割灰度不均图像［13−14］.在C−V 模型的基础上，LI 等［14］结合高斯核函数首次将图像局部区域灰度特征应用于活动轮廓模型中，提出RSF 模型，使灰度不均匀的核磁共振医学图像取得了显著的分割效果.但是该方法对于初始轮廓有很大程度的依赖性，且对于噪声图像效果不佳.

本文基于图像局部特征，结合分片常数水平集函数来表示图像不同区域，通过能量泛函最小化方法，对灰度不均匀图像，尤其是对被噪声强破坏性图像进行分割.

1 预备知识

给定被分割图像u0:Ω→Rl，其中Ω⊂R2为图像定义域.当l=1时，为灰度图像，当l=3时，为彩色图像.

定义非负高斯核函数［14］为：

其中：σ为正参数.高斯核函数满足以下性质：

定义分片常数水平集函数［15−16］为：

函数ϕ的间断处即为图像的边缘处.图1为一个三像集图像与其对应的分片常数水平集函数的对应关系.

图1 三像集图像与其对应的分片常数水平集函数的关系

2 基于局部区域与水平集正则化的图像分割方法

为了克服RSF 模型对一些类型图像轮廓初始化位置较为敏感的问题，本文在RSF 模型的基础上，引入了分片常数水平集函数（2）.

假设Ω由几个互不相交的子区域构成.在分割过程中最小化总能量泛函以求得最优水平集函数（2）.特征函数ψi定义为：

如果不同区域Ωi的像素平均值很接近ci且分割轮廓C 位于目标区域的真实边缘时，那么式（4）可取得最小值.对于图像中的所有点，得总能量泛函为：

式（5）第二项为使得水平集函数ϕ保持区域内部平滑的正则项，当图像是二像集时，此项为轮廓长度.

为了保证u的唯一性，即使得函数ϕ中一个常数对应图像的某一独立区域，可加入约束条件

为了分割得到最优轮廓，可将分割问题表述为有约束的最小化问题

使用增广拉格朗日方法，将式（7）转化为无约束的最优化问题，则对应的拉格朗日函数为：

其中：λ和γ分别为拉格朗日乘子和正惩罚参数.

针对式（8），可使用交替迭代法求解ϕ和ci.首先，选取适当的参数μ和γ，以及时间步长△t，假设和λk−1不变，能量泛函L(ci,ϕ,λ)关于ϕk的最小化问题满足梯度流

固定ϕk，最小化式（8）求解ci，使ci满足Euler−Lagrange 方程

整理式（12），得：

选取迭代终止条件

或者迭代次数达到预先给定的上限为止.

综上所述，总结算法如下：

给定初始ci和水平集函数ϕ0，i=1,2,…,

③更 新λk=λk−1+γG(ϕk)，判断迭代终止条件式（14）是否满足.假设不满足，执行k=k+1，重复以上步骤，直到满足迭代终止条件.

一般情况下，如果存在比较理想的ci，在算法中可先计算ϕk，然后依次计算和λk.

3 实验结果

为了证明本方法的有效性，本文主要针对二像集的人工合成图像和真实图像进行分割，并与经典的RSF 模型对比实验结果.本文所有实验均在Windows 10 系统，因特尔酷睿i5，3.40 GHz，8 GB RAM，matlab（R2012a）中运行完成.所有实验中均使用固定步长Δt=1e−5及γ=100.使用matlab 命令phi=rand（m，n），选取与原图像同等规模的随机矩阵为初始水平集函数ϕ.

图2 为两种方法对于人工合成的纹理图像的分割结果.从实验结果明显看出，即使RSF模型的初始轮廓已经很接近真实轮廓，但是其分割得到的边缘仍然出现了不光滑的现象，导致分割轮廓不准确，如图2（e）、图2（f）所示.本文方法选取参数σ=1，μ=5，分割的最终轮廓光滑性明显要好很多，尤其是对于轮廓边缘的处理效果，最终轮廓很准确地分布于两个不同区域之间.

图2 本文方法与VRF 模型针对纹理图像的对比结果

图3 为四幅强破坏性噪声图像的分割对比结果，选取参数μ=4，针对不同的图像σ选取为1～2 之间的某一个数.图3 第一列和第二列为原始图像和本文分割法得到的轮廓边缘，第三列和第四列分别为RSF 模型的初始轮廓和分割结果.显然，RSF 模型并不能分割出图像的边缘，本文方法较准确地分割出轮廓的边缘.此外，本文分割法不依赖初始轮廓的定义，对于噪声图像具有很强的鲁棒性.

图3 本文方法与VRF 模型针对噪声图像的对比结果

4 结语

本文提出了一种基于局部灰度能量，以及分片常数水平集函数正则化的图像分割方法.独立水平集的使用避免了分割过程中不断初始化轮廓的操作.对于灰度不均匀和噪声图像，该方法均有良好的分割效果.期望该算法在图像分割及计算机视觉处理领域会有更广泛的应用.