胡凯琦，王慧琴，赖盛英，樊伟征

(上海工程技术大学 a.数理与统计学院；b.电子信息工程学院，上海 201620)

液体质量分数是描述溶液的重要物理量. 测量液体质量分数的方法较多，常见的物理测量法有折射率法[1-4]、旋光率法[5]、光谱分析法[6]等，其中折射率法应用最为广泛，该方法通过研究液体质量分数与折射率的关系定标出待测液体的质量分数. 一般地，透明液体质量分数与折射率在一定范围内呈线性关系[7]，因此测出待测液体的折射率，即可求出其质量分数值. 本实验是在居家条件下，通过简单的实验材料，利用2个面(成一定夹角)的折射，较为精确地测得不同质量分数的NaCl溶液折射率，通过拟合得到液体质量分数与折射率的关系式，通过比较该关系式与经验公式吻合. 与传统实验相比，本文方案具有实验材料容易获得、不需要精密仪器设备、操作简单、物理图像清晰、实验结果精度较高等优点，因此该实验既可作为演示实验，也可作为探索性实验，实验装置还可改装成液体质量分数测定仪.

1 实验原理

1.1 两面折射法测液体折射率的原理

当水平光线斜入射至盛有透明液体的多边形玻璃容器时，会发生偏折现象. 设待测溶液的折射率为nx，容器玻璃的折射率为nG，空气折射率为nA=1，光线的入射角为φ1，光入射到容器某面上的折射情况如图1所示.由折射定律可知：nAsinφ1=nGsinθ1=nxsinθ2，可见，光线经平板玻璃上下界面折射后会发生平移，但不会改变在液体中的折射角，即对折射方向而言等同于空气与液体界面上的折射.本实验所用玻璃厚度为1 mm，测量所需数据只与入射角和折射角有关，因此玻璃对测量结果无影响，故后面将玻璃内部的折射简化.

图1 入射面的折射

若光经容器的2个面后出射，且入射面与出射面的夹角为α，出射角为φ2.由于φ1，α和nx的取值不同，可能出现θ2+θ3=α和θ2-θ3=α的2种情况，如图2所示.对应的液体折射率表达式分别为

(a)θ2+θ3=α

(sinφ1≤nxsinα)

(1)

(sinφ1>nxsinα)

(2)

由式(1)～(2)可知，要测出液体折射率nx，只需测出φ1，φ2和α即可，计算时要根据φ1，α和nx的实际值选择合适的表达式.

对于常见透明液体，其折射率范围为1.33～1.45，当α=90°时，1.33

1.2 全反射限制及入射角的选择

全发射是由光密到光疏介质时光全部被反射回光密介质的现象.在本实验中，光在入射面玻璃到液体和出射面玻璃到空气都有可能发生全发射，因此需要选择合适的入射角才能避免全反射的发生，保证所有质量分数液体都可测量.

1.3 出射角的测量方法

居家条件下没有专业的测角仪，实验中利用2块平面镜通过几何关系将角度测量转换为线度测量，一块平面镜与出射面共面，另一块平面镜与之平行.以三角形容器为例的实验装置示意图见图3，光线经器皿的2个面折射后出射到右侧标尺上，留下光点1；在光点1处插入反射镜1，该光点经反射后到左侧反射镜2上，再反射回到标尺上，并留下光点2，记录下两光点位置，求出两光点的间距,测出两镜面间的距离d，则

图3 液体折射率测量装置示意图

(3)

将式(3)代入式(1)，可得

(4)

可见，该方案除了利用几何关系把角度的测量转变成距离的测量，还利用了光杠杆原理，将由液体质量分数变化引起的出射角的微小变化量转变成容易观察的距离变化，提高了测量精度.

2 实验操作

实验前准备：

1)将普通载玻片粘合制作成方形和三角形的空心容器.

2)用食盐与水混合，使用精度为0.01 g的电子秤，分别配制13种质量分数的NaCl溶液.

3)用半导体激光笔、玻璃容器、平面镜、标尺、量角器等器材组建液体质量分数测量装置，如图4所示.

(a)方形容器测量装置 (b)三角形容器测量装置

实验步骤：

1)调整激光笔使出射的激光水平，容器、镜面均竖直，以70°入射至容器的入射面，观察出射光的位置，将光屏平行于出射面放置，使出射光斑照在光屏上，固定光屏；

2)在光屏前光斑处竖直放置平面镜1(本实验采用自粘镜片直接贴在屏上)，观察经平面镜反射后光线的方位；

3)在反射光线的方位上竖直放置平面镜2，保持镜面2与出射面共面，经镜2反射，在光屏面内能接收到第2次反射回来的光点(若距离大，则需要2个光屏，且要使两光屏共面. 本实验采用一条形板贴上白纸作为光屏，板上贴有米尺和镜片1)；

4)打开激光笔，分别记下第1个光斑位置x1和第2个光斑位置x2，二者相减得到Δx(多次测量取平均值).

5)测出两镜面间距d，求出被测溶液的折射率.

6)保持入射角不变，更换不同质量分数的溶液(装置底部接有软管和节流阀，直接打开节流阀即可排空液体)进行测量，得到若干组数据，通过拟合即可得到该溶液质量分数与折射率的关系.

7)改变入射角，分别在入射角为75°和80°的情况下，重复上述步骤.

3 液体质量分数与折射率的关系

在入射角φ1为70°，75°，80°情况下，分别采用不同容器对质量分数w为2%～26%的NaCl溶液进行了测量，测量时方形容器装置的两镜面间距为3.1 cm，三角形容器装置镜面间距为45.6 cm，每种液体均测量5次取平均值，代入式(4)即可得到待测液体的折射率.

3.1 方形容器的测量结果

方形容器测得的NaCl溶液的实验数据如表1所示(α=90°，d=3.1 cm)，对表1数据通过最小二乘法拟合得到液体质量分数与折射率呈线性关系，且3条拟合直线基本重合，如图5所示. 其中，入射角φ1=70°，75°,80°的情况下折射率与溶液质量分数的拟合关系式分别为：n=1.334+0.001 82w，n=1.333+0.001 83w,n=1.333+0.001 83w. 不同入射角情况下的拟合关系式与经验公式nNaCl=1.333+0.001 85w吻合[7].

表1 方形容器测得NaCl溶液的实验数据

图5 方形容器内NaCl溶液质量分数与折射率关系图

3.2 三角形容器的测量结果

三角形容器内NaCl溶液实验数据及拟合结果如表2和图6所示(α=64°，d=45.6 cm)，结果同样表明折射率与质量分数呈线性关系，3个不同入射角下拟合的关系式分别为：n=1.332+0.001 92w，n=1.327+0.002 08w和n=1.332+0.001 91w. 测量结果与经验公式[7]吻合较好.

图6 三角形容器内NaCl溶液质量分数与折射率关系图

表2 三角形容器测得NaCl溶液的实验数据

比较方形与三角形容器的测量结果可知，方形容器测量条件下的光线偏移量Δx随质量分数变化更快. 这是由于在相同条件下，方形容器的出射角大于三角形容器的出射角，当d相同时，较大的出射角可获得更大的光点间距Δx，因此方形容器比三角形容器更易观察，相对灵敏，实验结果更好，测量结果与经验公式吻合更好. 但对于方形容器而言，当入射角为70°时，质量分数较高的液体更易接近临界反射或全反射，从而不便观测.

4 结束语

本实验从基本的折射定律入手，利用容器2个面的折射，再利用光杠杆原理放大质量分数变化引起的折射角度变化，且将角度的测量转变成距离的测量，较精确地测出了NaCl溶液在不同质量分数下的折射率，实验结果验证了溶液质量分数与折射率的线性关系，且拟合公式与经验公式吻合，说明该方法具有可行性. 实验不需要精密的仪器和设备，只需一些简单的实验材料，操作简单、物理图像清晰. 该实验既可作为演示实验，也可作为探索性实验，其实验装置还可改装成液体质量分数测定仪. 本文以方形和三角形容器为例展开研究，但本实验方案所推导的公式是普适的，对任意多边形任意角度的容器均适用.