杜逸眉，胡 博,2,3，李明杰，时胜国,2,3，时 洁,2,3

(1. 哈尔滨工程大学 水声工程学院，哈尔滨 150001；2. 哈尔滨工程大学 水声技术重点实验室，哈尔滨 150001；3. 哈尔滨工程大学 工业和信息化部 海洋信息获取与安全工信部重点实验室，哈尔滨 150001)

周期结构是由两种或两种以上的弹性介质按照一定的周期性排列组合而成的，其基本特征就是它的带隙特性[1-4]。功能梯度变化材料是物理特性或功能沿厚度方向呈梯度变化的一种新型复合材料，它具有物理特性连续变化、适应环境性好和可设计性的特点,表现出独特的物理特性，被广泛应用于航空、能源、电子、医学等领域[5-8]。准周期结构是在周期结构中人为地引入一定的缺陷使其原本的周期性被破坏后形成的结构，其不仅具备周期结构原本的带隙特性，且材料可选择范围广、带隙变化能力强、还能够实现频率的选择性等，因此在减振降噪、滤波、光学、电学等方面具有很大的潜力[9-12]。

国内外学者已经进行了许多关于周期或准周期结构、功能梯度材料的研究工作。Liu等[13-14]提出了一种由多孔材料、微穿孔板及空气层构成的周期复合材料，复合结构显著增强了微穿孔板的中低频吸声性能，并采用等效模型描述振子系统，利用薄板理论和Biot理论建立了相应的声振耦合理论模型，为宽频减振降噪和中低频隔声应用提供参考。乔厚等[15]结合多孔介质和周期结构，讨论研究了一种新型含多孔介质的周期复合结构，维中低频隔声和宽频减振降噪提供了参考。赵宏刚等[16]研究了含有周期球形空腔的橡胶覆盖层的消声性能，设计了双层消声覆盖层，有效拓展了消声带宽。祁鹏山等[17]设计了一种层状五组元双周期结构声子晶体，并采用传递矩阵法推导了结构的能带，在带隙范围内弹性声波的传播能够得到有效抑制，在降低带隙频率的同时有效减轻了结构质量。Sun等[18-20]研究了声波斜入射阻抗梯度变化介质的水中声学特性，通过在结构表面覆盖阻抗梯度介质可以有效降低低频声反射，并分析了阻抗失配条件对结构声学特性的影响。Wang等[21]提出了含有半径和间距梯度变化的圆柱空腔的软弹性介质的吸声特性，通过传递矩阵法和数值仿真进行研究，实现了低频宽带的声吸收，对声学覆盖层设计和减振降噪有重要意义。一部分学者则通过在周期结构中引入梯度化思想形成准周期结构。准周期结构的理论研究主要分为机理研究与计算方法两个方面[22-25]，对于计算方法，其中最基础的方法为传递矩阵法，该方法计算方便，物理含义明确且公式推导容易。在材料组成方面，准周期结构材料的可选择范围较广，可以利用梯度折射率材料、InSb材料、均匀材料和流体材料等[26-27]，通过多种不同均匀材料交替排列周期复合成材料常数在宏观上连续变化的功能梯度材料，拓宽了功能梯度材料的使用范围。 Badreddine等[28]研究了由周期性的阶梯柱和孔组成的混合声子晶体，产生了低频宽带的声禁带。D’Alessandro等[29]研究了通过在聚酰胺中加入添加剂制造了单一材料构成的三维声子晶体，通过有限晶体结构实现了超宽完整带隙。Lee等[30]研究了由阻抗非均匀镜像分布的单元构成的一维宽带声子晶体滤波器；研究表明，与利用常规材料构成的周期结构相比，利用阻抗梯度材料构成的准周期结构在相同频段内将会出现更多的带隙结构，能够有效地改变准周期结构带隙的起始频率。

针对周期结构带隙宽度和低频性能有限，功能梯度介质制备复杂等问题，本文将周期结构和功能梯度材料相结合，结构的阻抗与厚度均设置为梯度变化，提出了厚度和阻抗随周期数梯度变化的准周期结构。首先建立基于梯度变化的准周期结构模型，利用传递矩阵方法，通过数值仿真分析了材料厚度及阻抗的对准周期结构带隙特性的影响，同时实现了结构带隙的低起始频率和高截止频率，并制备试验样品进行了相关水下验证试验。

1 梯度变化的准周期结构模型

1.1 模型结构设计

根据已知文献的相关内容知道，在准周期结构中使用阻抗梯度材料能够有效降低结构第一带隙的起始频率；将准周期结构中各层材料的厚度设置为梯度递增能够有效地提高结构第一带隙的截止频率。但是阻抗梯度材料制备的复杂性对准周期结构特性存在很大限制，为了实现准周期结构第一带隙的低起始频率与高截止频率，本文在现有规律基础上利用不同阻抗的均匀材料代替阻抗梯度材料，将具有不同厚度和阻抗的均匀材料与周期结构结合，设计了如图1所示的阻抗与厚度梯度变化的准周期结构。

图1 阻抗和厚度梯度变化的准周期结构模型Fig. 1 Model of quasi-periodic structure with gradient change of impedance and thickness

在图1中平面声波pi由介质1沿x轴正向垂直入射到准周期结构左侧面，从准周期结构右侧面处透射到介质2中，pr与pt分别表示反射声波与透射声波；该结构共包含N个周期，两层材料An与Bn(n=1,2,…,N)构成一个周期，An与Bn沿x方向交替排列形成准周期结构；第n个周期中材料的层厚度dn随周期数增大而增大，且厚度变化量为Δd=dn-dn-1；介质1和介质2的特性声阻抗分别为Z1和Z2，材料An的阻抗ZAn随周期数增大逐渐减小,且阻抗变化量为ΔZA=ZAn-ZAn-1，材料Bn的阻抗ZBn保持恒定；结构中各层材料界面处的坐标分别为0，xA1，xB1，xA2，xB2，…，xAN，xBN。

1.2 模型数值计算方法

为了进行图1所示模型的仿真研究，分析其带隙特性及参数变化对其带隙的影响规律，本文借鉴乔厚等研究中的传递矩阵法分析模型的声学特性。

对于图1中准周期结构，在准周期结构左侧边界即介质1与层A1的分界面0处，P1(0)和PA1(0)分别为介质1和介质A1在坐标0处的声压，声压传递函数关系为

(1)

式中,q1=Z1/ZA1。同样在准周期结构右侧边界即层BN与介质2的分界面xBN处，PBN(xBN)和P2(xBN)分别为介质BN和介质2在坐标xBN处的声压，声压传递函数关系为

(2)

式中，q2=ZBN/Z2。第i个周期介质Ai在左侧界面处的声压PAi(xBi-1)与第i+1个周期介质Ai+1在左侧界面处的声压PAi+1(xBi)之间的关系为

PAi(xBi-1)=FAiHAiFBiHBiPAi+1(xBi)

(3)

Mi=FAiHAiFBiHBi,(i=1,2,…,N-1)

根据传递关系，该结构总的传递矩阵为M

M=H1M1…MN-1FANHANFBNH2

(4)

声波由介质1经过准周期结构进入到介质2时，P1(0)和P2(xBN)关系为

(5)

R=m21/m11,T=1/m11

(6)

2 结构带隙特性研究

2.1 模型带隙特性验证

为了研究阻抗和厚度梯度变化的准周期结构的带隙特性，分析材料厚度和阻抗参数的对准周期结构带隙的影响，根据式(1)～式(6)所示的传递矩阵法，利用MATLAB软件对准周期结构带隙特性进行相关仿真研究。

介质1和介质2均为水，定义传统周期结构1周期数同为5，每层材料厚度均为3 cm，层的阻抗为An(n=1,2,3,4,5)，Bn层的阻抗为43.2×106kg/(m2·s)-1；定义仅厚度梯度变化的准周期结构2周期数同为5，An(n=1,2,3,4,5)层的阻抗为2.2×106kg·(m2·s)-1，Bn层的阻抗为43.2×106kg·(m2·s)-1，各层材料的厚度参数d1与Δd与表1中准周期结构的厚度参数一致；定义阻抗和厚度梯度变化的准周期结构3的参数如表1所示。图2为三种结构的带隙特性对比图。

表1 准周期结构相关参数

图2 三种结构的带隙特性对比Fig.2 Band gap characteristics comparison of three structures

从图2中可以得到，传统周期结构1、准周期结构2、准周期结构3的分别在较宽的频率范围7 240～27 380 Hz，6 650～41 550 Hz，4 880～45 660 Hz出现了明显的第一带隙，带隙内声波发生高反射和低透射。准周期结构3与传统周期结构1和准周期结构2相比较具有较低的第一带隙起始频率，同时具有更高的第一带隙截止频率从而得到更宽的带隙宽度。准周期结构2第一带隙的起始频率较同等厚度的传统周期结构1降低了8.15%，截止频率提高了51.75%，带隙宽度增加了73.29%；准周期结构3第一带隙的起始频率较同等厚度的传统周期结构1降低了32.60%，截止频率提高了66.76%，带隙宽度增加了102.48%。

当结构的周期数为5时，与传统周期结构1相比，在阻抗和厚度梯度变化的准周期结构3中，厚度随周期数递增会使得反射波在前两个周期内的波程差减小而在后两个周期内的波程差增大，从而使得频率更低和更高的波都更容易发生Bragg散射，带隙变宽；而当第An(n=1,2,…,N)层材料的阻抗随周期数的增大而减小时，相邻两层材料之间的阻抗差值逐渐增大，从而使得反射波的反射量增大，导致全频段上的声波都将更容易发生Bragg散射，表现为第一带隙的起始频率和截止频率同时降低；阻抗与厚度同时梯度变化，厚度梯度变化在一定程度上抵消了阻抗梯度变化导致的截止频率的降低，使得结构整体上具有较好的带隙特性。利用阻抗和厚度梯度变化的准周期结构第一带隙低频宽带的带隙特性，可以实现对声波的有效调控，解决相关的减振降噪问题。下面针对阻抗和厚度变化对准周期结构带隙特性的影响规律进行仿真研究。

2.2 参数变化对模型带隙特性的影响。

带隙的频率范围、对声波的衰减能力与准周期结构的阻抗和厚度密切相关。以图1中的模型与表1中的相关参数为例，设定介质1和介质2均为水，研究在相同厚度条件下，厚度与阻抗参数不同对准周期结构带隙特性的影响，对准周期结构在不同条件下的透射系数曲线进行仿真研究。

2.2.1 厚度对带隙特性的影响

仅改变表1中的材料厚度参数d1和Δd得到厚度变化规律不同的三种结构，结构1的d1和Δd为1 cm和1 cm、结构2的d1和Δd为2 cm和0.5 cm、结构3的d1和Δd为2.6 cm和0.2 cm，图3为三种不同厚度梯度的准周期结构的透射系数曲线，以及低频起始频率处和高频截止频率处的局部透射系数图。

图3 三种准周期结构的透射系数曲线Fig.3 Transmission coefficient curves of three quasi-periodic structures

从图3可以看出，当准周期结构的总厚度相同时，结构1的第一带隙起始频率最低，相邻两个周期间厚度的差值Δd越大，准周期结构第一带隙起始频率越低；反射系数极小值对应透射峰，相邻两个周期间厚度的差值Δd越大，在第一带隙前透射峰总体像低频方向移动且峰值逐渐减小，当透射峰值减小幅度的较大时出现透射峰数目越少。与带隙起始频率变化规律相同，结构厚度梯度Δd为1 cm时的第一带隙截止频率最低为45 800 Hz左右，Δd为0.5 cm和0.2 cm时的第一带隙截止频率为67 970 Hz左右。从Bragg散射分析其机理，当Δd越大时发生相长干涉的两束波的波程差越大，根据Bragg方程D=kλ，(D为波程差，k为正整数，λ为散射波的波长)，波长较长即频率较低的声波将更容易出现全反射即零透射，表现在带隙上即为第一带隙起始频率和透射峰向低频方向移动。根据式(6)中的透射系数计算公式，假设材料中声速相等，在同一频率下波数也相等，推测出厚度梯度变化的准周期结构具有n个周期时，透射系数为

(7)

式中，C1，C2，…，Cn为一系列常数，其绝对值逐渐减小，且常数的差值Cn-Cn+1逐渐增大。当结构的总厚度恒定，厚度逐渐递增大时的透射系数小于每层材料的厚度相等时的透射系数，且厚度梯度Δd不能太大，一般不大于第一周期的层厚度d1。可以得到结论：对于厚度和阻抗梯度变化的准周期结构，相邻两个周期间厚度的差值Δd越大，准周期结构的第一带隙起始频率越低带隙特性越好。

2.2.2 阻抗对带隙的影响

改变表1中的材料特性阻抗参数ZA1和ΔZ得到阻抗变化规律不同的三种结构，结构1的ZA1和ΔZ分别为2.2×106kg·(m2·s)-1和0.2×106kg·(m2·s)-1、结构2的ZA1为2.6×106kg·(m2·s)-1，ΔZ为0.3×106kg·(m2·s)-1、结构3的ZA1和ΔZ为2.2×106kg·(m2·s)-1和0.3×106kg·(m2·s)-1，三种不同阻抗梯度的准周期结构所对应的透射系数曲线以及低频起始频率处和高频截止频率处的局部透射系数图，如图4所示。

图4 三种准周期结构的透射系数曲线Fig.4 Transmission coefficient curves of three quasi-periodic structures

从图4可以发现，当An层材料中阻抗的最小值相等，ΔZA越大准周期结构的第一带隙起始频率和截止频率更高，第一通带中透射峰的中心频率将向高频方向移动，透射峰峰值小幅度减小；当An层材料中阻抗的最大值相等，ΔZA越大准周期结构第一带隙起始频率越低截止频率更高，第一通带中透射峰中心频率将向低频方向移动，透射峰峰值仍小幅度减小；此外从图4中还可以看出，阻抗的梯度变化ΔZA增大，第一通带中透射峰的峰值减小。由于ΔZA越大，使得相邻两层材料之间的阻抗差值逐渐增大，声波在各交界面处的反射与散射量越大导致反射系数增大，阻抗差导致的反射变化与频率无关，最终进入到介质2中的声波越少导致透射系数减小，表现在带隙上即为带隙起始频率的降低和截止频率的升高即带隙宽度增加，第一带隙前的通带中的各个透射峰的峰值也均会减小。第An层材料阻抗最大值的改变对结构声学特性的影响小于第An层材料的阻抗最小值改变的影响。

对于阻抗和厚度梯度变化的准周期结构，当结构的总厚度恒定时可以得到：若第An层材料的阻抗最大值恒定，ΔZA越大，准周期结构第一带隙起始频率越低，第一带隙前的通带中透射峰峰值更小，且透射峰整体频率更低；若第An层材料的阻抗最小值恒定，ΔZA越大，准周期结构第一带隙起始频率越高，第一带隙前的通带中透射峰峰值更小，且透射峰整体频率更低。

对比图3中的结构1和结构2、图4中的结构1和结构3可以得到，当厚度的变化量Δd较表1变化50%即由1 cm变为0.5 cm时，准周期结构第一带隙起始频率的变化量小于1 kHz，而当阻抗的变化量ΔZA较表1变化50%，0.2×106～0.3×106kg·(m2·s)-1时，其第一带隙起始频率的变化量大于1 kHz，所以ΔZA即阻抗变化量对准周期结构的第一带隙起始频率的影响将大于厚度变化量Δd。

3 试 验

3.1 试验概况

设计加工制作试验样品，依据国家标准GB/T 5266—2006，采用脉冲管法对样品水中声学性能进行试验测量，主要针对样品的反射系数进行测量。整个试验仪器连接如图5所示，试验测试系统由脉冲声管、标准反射体、收发合置换能器、Agilent33522A信号源、B & K2713功率放大器、B & K2636测量放大器、B & K1617带通滤波器、Agilent3034A示波器组成。脉冲声管内径为5.6 cm半径r为28 mm、外径为11.6 cm、高度H为4 m；声学末端的标准反射体为直径5.5 cm、厚度7.1 cm的圆形钢块；样品固定在距离管口的1/3处；收发合置换能器的工作频率范围为5～50 kHz，谐振频率f0在39 kHz左右，品质因数Q，试验测量频率为6～22.5 kHz；信号源产生的脉冲信号的峰峰值为500 mV，脉冲宽度为50 ms，脉冲周期为100 ms；功率放大器放大量为54 dB，测量放大器放大量为10 dB。发射脉冲信号中稳态正弦波的个数有关，其测试频率下限fLow为

(8)

总的脉冲宽度τ满足

(9)

本次试验所制备的样品共由3个周期共6层材料组成，直径均为5.5 cm，每个周期内两种材料层厚度相等，3个周期中材料的层厚度分别为d1，d2，d3，6层材料中奇数层的材料分别为ZA1，ZA2和ZA3，偶数层的材料均为钢，制备的样品结构参数如表2所示。

图5 试验仪器Fig.5 Experimental instrument

3.2 试验结果分析

为了验证阻抗和厚度梯度变化的影响规律，将试验测得的反射系数与仿真分析结果进行对比，试验测量了样品在6～22 kHz频率范围内的水下声学性能。图6(a)～图6(c)分别给出了3块样品的仿真结果和试验数据对比图。

表2 样品参数表

图6 仿真和试验结果对比Fig.6 Comparison of simulation and experimental results

如图6所示，3块准周期结构样品的反射系数均在7 kHz左右存在一个谷值，带隙的起始频率分别为8.8 kHz，8.6 kHz和8.2 kHz，与仿真结果中带隙的起始频率位置基本相同。图6中17 kHz以下的中低频段，试验测量结果围绕仿真值振荡，平均误差小于0.15；在大于17 kHz高频段样品的试验结果与仿真结果相差较大，其中样品2最大误差值大于0.3。由于频率较高时波长较短，样品制备时厚度的不精确和声管中介质杂质等会对试验测量结果产生影响，同时受试验仪器设备、环境等限制，所以试验与仿真结果之间存在一定误差。

为了验证厚度梯度和阻抗梯度不同对结构声学特性的影响，比较样品的反射系数测量结果如图7(a)和图7(b)所示。从图7(a)中可以看出，样品1的带隙起始频率为8.8 kHz高于样品3的带隙起始频率8.2 kHz时。这是因为两块样品的阻抗梯度相同，但是样品1的Δd=0.2cm小于样品3的Δd=0.5cm，可以说明相邻两个周期层厚度的差值Δd越大，准周期结构的第一带隙起始频率越低，与仿真结论一致。

图7 试验结果对比Fig.7 Comparison of experimental results

从图7(b)可以看出样品2和样品3的带隙分别在频率8.8～18.5 kHz和8.3～19 kHz内，带隙内反射系数大于0.7，样品3的带隙起始频率更低且带隙宽度更宽。这是因为两块样品的厚度梯度相同，但是样品2的ΔZA小于样品3的相应值，可以说明相邻两个周期间的阻抗差值ΔZA越大，准周期结构第一带隙起始频率越低且带隙更宽，与仿真结论一致。

4 结 论

本文提出了一种厚度和阻抗梯度变化的准周期结构模型。研究了阻抗梯度和厚度梯度对准周期结构带隙特性的影响规律，进行了准周期结构水下声学特性仿真和试验研究。研究表明所设计的准周期结构比传统周期结构具有频率更低带隙更宽的第一带隙。准周期结构中相邻周期的厚度和阻抗差值越大带隙特性越好。本文提出的结构在减震、降噪、滤波及频率的选择等方面都具有一定的实用价值，且结构简单、可设计性强，对水下吸声隔声结构设计具有一定参考意义。