赵红妮

西安思源学院基础部 陕西西安 710000

概率论中假定随机变量的分布是在已知的基础上研究随机变量的性质以及数字特征，而在现实生活中要研究的对象的概率往往是完全未知的，需要对研究对象进行多次大量重复试验观察得到数据，对数据进行统计推断或者预测，从而就有了数理统计这门课程。

在实际问题中对样本直接进行推断不符合实际，由于样本数据比较零乱，信息比较分散，因此对样本定义了一个新的函数，即统计量。统计量本身就是随机变量，在使用它进行统计推断时，需要预先知道所采用的统计量的分布，而定义统计量的分布叫抽样分布。当总体的分布函数已知时，抽样分布是确定的，但对于统计量的精确分布很难计算。而抽样分布均是基于正态分布总体的基础上，因此接下来逐一介绍正态分布与抽样分布。

一、正态分布

在统计推断中，正态分布主要应用于推断正态总体X的样本均值与样本方差的分布。

性质1：告诉我们可以将任何一组服从正态分布的随机变量对其样本均值恒等变形，最后均可转化为服从标准正态分布。

性质2：已知两组不同随机变量服从正态分布，它们样本均值恒等变形后服从标准正态分布。

二、抽样分布的分类及性质

对于统计量的分布，在这里介绍三种常见的类型的分布。

(一)χ2分布

1.χ2分布的概念

图1 χ2分布的概率密度函数

2.χ2分布的性质

②若χ2～χ2(n)，则E(χ2)=n，D(χ2)=2n。

结论根据χ2分布的定义即可得到，证明过程在这里就不详细列举。

(二)t分布

1.t分布的概念

根据函数表达式hn(t)本身是偶函数，即关于直线x=0(y轴)对称，形状与标准正态分布曲线相类似，其概率密度函数图像如图2所示。

图2 t分布的概率密度函数

通过图像可以看出n越大，图形越尖，图像和正态分布图像很类似，但是通过t分布的图像观察尾部要比标准正态分布的尾部要厚，换言之就是X取特别小值或者X非常大值时，t分布对应的概率要比正态分布的概率大。

2.t分布的性质

①t分布的概率密度曲线关于直线t=0对称。

t分布部分表

从上表中可以看出α取值都比较小，可以借助概率密度函数是偶函数，对于α比较大时，其上的α分位点tα(n)满足t1-α(n)=-tα(n)来进行计算，这样就可以求在任意分位点处的值，比如t0.85(12)=-t0.15(12)=-1.083。

t分布主要应用于推断正态总体的均值。

(三)F分布

F分布是一种非负连续型随机变量的分布，它的密度函数中含有两个参数m和n，其曲线的形状与χ2分布相似，F～F(m，n)分布的概率密度φ(y)的图像如图3所示：

图3 F分布的概率密度函数

三、典型问题分析

(一)确定统计量中的参数问题

设总体X～N(0，σ2)，样本X1，X2，…X6来自总体X，设Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2，求c使cY服从χ2分布，并求自由度。

(二)证明统计量的分布

已知随机变量X～t(n)，证明X2～F(1，n)。

(三)α分位点的应用