李号，李自成，郑堰，沈志强，杨浩，邹梦珏

（成都理工大学工程技术学院，四川 乐山 614000）

最少拍系统设计的原理是保持采样点的数据不变或者为零，通过使用Z 变换概念使采样点数据保持不变或者在很小误差之内。在许多情况下，因为控制作用的不平滑性，采样点的系统输出会出现纹波，这就是有波纹设计。无波纹设计是在输入信号作用下，系统内部经过多次拍达到稳定，采样点间无波动，并且输入误差为零。

通常采样点间的纹波不能在采样点的信号上出现，要达到采样点之间的信号不能进行闭环控制。被控对象G(z)的全部零点要被闭环函数所包含。由于控制器D(z)在系统中对极点进行处理，之后采样点间的纹波会消失[1-2]，其中典型输入的z 变换公式为：

1 最少拍控制系统

一般在数字控制系统中，一个采样周期为一拍，最小拍控制的概念是指在输入下可以让系统输出在有限个周期内进行无误差跟踪输入（即系统输出稳态误差为零）。最小拍控制系统也为时间最优控制系统，评价该系统的依据是按照系统要求达到的系统调节时间最短或越短越好[3]。下面用一个例子来介绍此系统。

（Kd=2、T1=1、T2=1，采样周期为1s）

Gc(s)指的是被控对象。

D(z)指的是数字控制器。

H(s)指的是零阶保持器。

T 指的是采样周期。

当控制对象和零阶保持器离散化了以后，就变成了广义对象的Z传递函数，所以广义对象的脉冲函数为：

1.1 最少拍控制系统产生纹波的原因

系统输出采样点间的纹波是因为控制量输出波动造成的，这种波在采样点之间又无法被发现，本质是控制变量Z 变换后产生非零极点造成。通常解释为由数字控制器的输出序列u(k)，在经过若干次拍后为振荡收敛。

1.2 消除纹波的条件

纹波造成的采样点间的误差会增加系统整体损耗，得到的结果会与预计效果产生偏差。最小拍无纹波系统的必要条件是被控对象G0(s)给出的c(t)必须满足与输入相同的形式。最小拍控制系统的纹波主要产生原因是通过数字控制器的输出后，会产生振荡收敛，在系统中会显示无纹波，最重要的是确保稳态控制信号为零或者保持不变。最后还要确定无纹波系统必须要满足有纹波系统的性能要求等，综上所述，即可消除纹波，设计出无纹波控制系统。

1.3 设计要求

1.快速性。系统在有限 拍数后产生稳态设计状态，这时系统可以保证跟踪输入量所需要的周期最少。

2.稳定性。不但要保证控制系统中控制量的收敛，还要保证控制量在采样点上的准确稳定，满足这两个条件，才能确保闭环系统稳定。

3.准确性。对于输入特定的系统，系统输出后的采样值达到系统要求，可以精确跟踪稳态状态，即采样点输出无误差。[4]

2 控制系统设计

因为最小拍控制系统对于输入形式不同，数字控制器也会不同，所以我们需要对不同的信号分别进行设计考虑。

图1 离散系统原理图

2.1 单位阶跃信号输入时最少拍无纹波的设计

1.求出系统广义脉冲传递函数为：

2.根据上式可知：G(z)存在零点z=-0.36，极点P1=0.367，P2=0.135

所以闭环脉冲函数∅(z)应包含G(Z)的全部零点，所以由此可得：

因为∅e(z)是根据G(z)的不稳定性以及∅(z)的阶次来决定的，所以：

将公式（6）、（7）中∅(z)和∅e(z)的值代入∅e(z)=1-∅(z)中可得：

所以联立解得：b=0.269 a=0.731

3.求出系统控制器D(z)的传递函数为：

化简可得：

4.根据以上得出的数据结果进行仿真。

仿真原理图如图2 所示。

图2 单位阶跃输入最少拍无纹波控制系统仿真图

仿真结果如图3、图4、图5 所示。

图3 单位阶跃输入最少拍无纹波系统输出

图4 阶跃输入最少拍无纹波系统控制器输出图

图5 阶跃输入最少拍无纹波误差输出图形

根据以上仿真图形结果：系统控制结果较为稳定，系统可以输出无纹波，通过结果对比发现，无纹波系统的调节时间相对无纹波增长若干拍，增长的拍数在结果中查看发现等于在单位圆内的零点数。

2.2 单位速度信号输入时最少拍无纹波设计

1.求出该系统的广义脉冲传递函数为：

2.根据上式可得：G(z)有零点z=-0.36，以及极点P1=0.367,P2=0.135。

所以闭环脉冲函数∅(z)应当包含G(Z)所有的零点，由此可知：

因为∅(z)的值是由∅(z)的阶次和G(z)的不稳定极点来决定的。又根据公式：

根据此式可得：c=0.3413,b=-0.9274,a=1.6587。

3.再求得控制器D(z)的传递函数为：

将此式化简可得：

4.根据公式求出的结果进行仿真。

仿真原理图如图6 所示。

图6 单位速度输入无纹波系统仿真图

仿真结果如图7、图8、图9 所示。

图7 单位速度输入无纹波系统输出图形

图8 单位速度输入无纹波控制器波形图形

图9 单位速度输入无纹波系统输出和误差图形

根据以上仿真图形可知：输出波在几拍后便开始变成无纹波。

3 结语

本文通过对最少拍控制系统的设计，对计算机控制技术以及自动控制原理等相关知识有了更加深刻的理解认识。掌握了最少拍无纹波和最少拍有纹波的区别、产生纹波的原因、如何消除最少拍中的纹波等一系列问题，了解最少拍控制器的设计方法过程，掌握使用Matlab 软件对输入信号控制的最少拍控制系统进行仿真[5]，形象具体地观察到最少拍控制系统的实验现象。最少拍控制系统本身具有很多优点，并且在计算机控制系统中得到了广泛应用。在实际运用时则需要根据对应的情况灵活变通地使用最少拍控制系统设计方法。