莫海歌，胡显智，戴旭初

（中国科学技术大学，安徽 合肥 230026）

0 引言

盲源分离是指仅根据观测信号，利用信源和混合矩阵的部分先验信息恢复出信源的信号处理技术，在通信信号处理[1-3]、音频信号处理[4-5]、生物信号处理[6-7]等领域都具有广泛的应用。根据混合方式的不同，盲源分离可分为瞬时混合信号的盲源分离和卷积混合信号的盲源分离，后者又被称为盲解卷积。其中，瞬时混合指的是各个通道的观测信号都仅由当前时刻的信源线性混合叠加而成，卷积混合则是各通道观测信号由若干个不同时刻的信源线性混合叠加而成。在实际环境中，由于多径效应，信号经过反射、折射后会经过不同路径先后到达接收端。多个不同延时、不同方向的信号分量相互叠加就形成了卷积混合，这是十分常见的现象。因此，研究卷积混合盲源分离问题具有重要的现实意义。

目前求解卷积混合盲分离的方法主要分为频域方法和时域方法两类。频域方法[8-10]的主要思路是利用短时傅里叶变换将信号转换到时频域，利用时域卷积等价于频域乘积的性质，将卷积混合盲源分离问题变成求解若干个频点的瞬时混合盲源分离问题。瞬时混合盲源分离固有的排序模糊性和幅度模糊性使得在各个频点进行瞬时盲分离后不同频点之间信源的顺序和幅度可能不一致。排序不一致会导致无法得到一个信源的完整频谱，从而无法逆变换到时域中。幅度不一致会导致信源在各个频点处乘以未知的系数，等价于在时域上进行了未知滤波器的滤波，得到信源的滤波版本。目前使用独立矢量分析（Independent Vector Analysis，IVA）[11]可以解决排序模糊问题，但幅度模糊问题无法彻底消除[12]。

时域方法则是在时域设计解混滤波器，将混合信号通过此滤波器后就可以得到信源的估计。大致有盲抽取[13]和先白化后分离[14-15]2 种思路。前者属于“一步法”，利用高阶统计量同时进行盲分离和盲解卷积，将独立信源逐一抽取出来；后者属于“两步法”，先利用二阶统计量进行盲解卷积，再利用高阶统计量进行盲源分离。但是，这些方法都要求信源在时间上是独立同分布的（即白色信源），不适用于时间上具有相关性的有色信源的情况。

文献[16]提出了一种基于子空间的方法，利用子空间分解，将卷积混合模型转化为瞬时混合模型进行求解。该方法可以用于有色信源，但是要求卷积混合多项式矩阵中每个列多项式矢量的阶数相同且精确已知，同时该方法只有在高信噪比下才能获得较好的分离性能。

利用信源有色特性对卷积混合多项式矩阵的作用机制，通过模型转换，本文提出一种新的有色信源卷积混合盲源分离算法。该算法将有色信源的多通道卷积混合模型转换为白色激励源FIR 滤波器后，再进行卷积混合的级联模型。根据这个转换的等效模型，首先使用基于白化的方法求出白色激励源以及等效的卷积混合多项式矩阵；其次估计出等效的卷积混合多项式矩阵中每列的最大公因式，该公因式即为FIR 滤波器估计；最后将估计的白色激励源作用到估计的FIR 滤波器上，其响应即为原始有色信源的估计。相比于现有的方法，本文方法消除了卷积混合多项式矩阵中各个列多项式矢量的阶数一致且已知的限制，不仅可以有效地分离有色信源，而且具有更好的抗噪声性能。

1 信号模型和假设条件

1.1 信号模型

不失一般性地，考虑信源为有色源、传输通道为多通道FIR滤波器的多输入多输出（Multiple-Input Multiple-Output，MIMO）卷积混合的场景。假设信源个数为M，接收通道数为N，卷积阶数为L，观测信号为：

式中：s(k)=(s1(k),s2(k),…,sM(k))T是M×1维的有色信源向量；x(k)=(x1(k),x2(k),…,xN(k))T是N×1维的多通道观测信号；Hl是第l个延时信源抽头所对应的N×M维的传输矩阵；n(k)是N×1 维的观测噪声，且独立于s(k)。

若使用多项式矩阵表示传输通道的传递函数，则信号模型（1）可表示为：

式中：H(z) 是关于z-1的多项式矩阵，

为了便于描述，本文称H(z)为卷积混合多项式矩阵。

1.2 假设条件

对于信号模型（1）和（2），有如下的一些假设：

（1）N＞M；

（2）rank {H(z)}=M,∀z≠0；

（3）{s(k)}是零均值、空间相互独立的有色源信号矢量，即对于任意的i≠j，si(k)和sj(k)相互独立；同时，对于任意的i=1,…,M，存在τ≠0，使得E[si(k+τ)si*(k)]≠0，上标“*”表示共轭运算。

特别地，根据平稳随机信号理论，si(k)可表示为平稳白色源wi(k)激励FIR 滤波器fi(k)的输出信号，即si(k)=fi(k)wi(k)，用矢量形式可表示为：

式中：F(z)=diag{f1(z),…,fM(z)}是M×M的对角多项式矩阵，而且对于i≠j，fi(z)≠fj(z)；w(k)=(w1(k),…,wM(k))T是白色的激励源矢量，即E{w(k+τ)wH(k)}=IMδ(τ)，IM表示M×M的单位矩阵。

（4）{n(k)}是零均值的高斯空时白噪声，即E{n(k+τ)nH(k)}=σn2INδ(τ)。

卷积混合盲源分离的目标是在上述的假设条件下，从观测信号x(k)中估计出有色信源s(k)，本文将通过基于白化的盲解卷积、信源有色特性估计、有色信源恢复等方法来实现这个目标。

2 基于白化的盲解卷积

2.1 信号模型转换

将式（3）代入式（2），有：

需要指出的是，上述两个观察是本文设计算法的重要依据。

本节的后续部分将详细介绍基于文献[15]的白化盲解卷积的算法，以获得信号模型（4）中白色信源w(k)和等效卷积混合多项式矩阵的估计。

2.2 解卷积多项式矩阵的结构

基于信号模型（4）和观察1，文献[15]表明，存在一个Le阶的M×N的多项式矩阵G(z)，即：

使得

式中：IM是M×M的单位阵。

式（8）表明，存在一个多项式矩阵G(z)能够消除信号模型（4）中对w(k)的卷积作用，故称G(z)为“解卷积多项式矩阵”。因此，基于信号模型（4），从观测到的卷积混合信号x(k)中分离出白色信源w(k)的关键是如何求解G(z)。

将式（5）和式（7）代入式（8），比较等式两边z-m项的系数矩阵，得到：

式中：当m-l＜0 或m-l＞Le时，Gm-l=0。将式（9）用矩阵的形式来表示，则有：

其中，

令(·)†表示伪逆运算，则式（10）可表示为：

则由式（7）、式（12）和式（13），有：

式（14）表明，解卷积多项式矩阵G(z)有特定的结构，它等于常数矩阵与一个多项式矩阵Ga(z)的乘积。另外，根据式（11）和式（13）可知，Ga(z)的系数矩阵也有特定的结构，而且由的系数矩阵唯一确定。下面将充分利用这些特定的结构，设计求解Ga(z)和的方法。

2.3 Ga(z)和的估计

2.3.1 Ga(z)的估计

根据式（13），估计Ga(z)的关键是估计SSH。令：

获得了SSH的估计后，根据式（13），就可以直接得到多项式矩阵Ga(z)的估计。

在获得Ga(z)的估计后，令：

综合式（14）和式（20），可得到G(z)的估计为：

2.4 白色信源w(k)的估计

由于RH是满秩的常数矩阵（未知），w(k)是白色源信号矢量，因此式（24）所表示的信号模型是一个典型的瞬时混合盲源分离模型，可以使用联合近似对角化（Joint Approximate Diagonalization of Eigenmatrices，JADE）[17]、快速鲁棒不动点独立成分分析（Fast and Robust Fixed-Point Algorithms for Independent Component Analysis，FastICA）[18]等瞬时盲分离算法求出解混矩阵D，从而获得w(k)的估计即：

式中：ϵ (k)是分离后残留噪声；P是M×M的置换矩阵，表示排序的模糊性。特别地，利用功率归一化，可以消除的幅度模糊性。

根据信号模型（4），以及w(k)具有白色特性、w(k)与n(k)的不相关性，有：

2.6 抗噪声性能的改善

上述的白色信源w(k)和等效的多项式卷积混合矩阵的估计方法，都是基于式（8）的准则来设计的。很显然，该准则没有考虑噪声的影响，因此可能会导致估计的中含有较大的噪声分量ϵ (k)，如式（25）所示。

从信道均衡的角度来看，式（8）的准则是“迫零准则”，其抗噪声能力较弱。为了改善抗噪声性能，考虑使用“MMSE 准则”来估计w(k)的延迟版本，d＞0。具体地，设计一个Le阶的多项式矩阵Gd(z)，即：

使得

且满足

利用正交原理，不难得到：

2.7 算法实现步骤

综合上述讨论和分析，基于白化的盲解卷积算法的具体实现步骤总结如下文所述。

式中：T 是样本总数。

（3）利用式（13）估计滤波器Ga(z)的各阶系数，并根据式（17）获得vs(k)的估计。

（5）根据式（23）和式（24），计算y(k)，并且使用瞬时混合盲分离算法（如JADE 算法）对y(k)进行盲源分离，得到

（7）利用式（30），计算出多项式矩阵Gd(z)，并根据式（28）估计出

3 信源有色特性fi(z)的估计

3.1 求解近似公共零点的原理

设gj(z)的零点集合为Ωj={zj1,zj2,…,zjLj}，j=1,2,…,N，其中Lj是gj(z)的阶数。

3.1.1 构造可能的近似公共零点的集合

应该注意到多项式gj(z)的阶数可能是不同的，即Lj的大小不相等。不失一般性，假设g1(z)的阶数最小，L1≤Lk，L1≤Lk。

首先，从Ω1中选取第1 个元素z11，以该元素作为种子来构造可能的近似公共零点集合Φ1，构造过程如下文所述。

（1）依次对Ω2,Ω3,…,ΩN中的每个元素计算它们与z11之间的欧式距离，从而找到每个集合中与z11最近的一个元素，即：

很明显，集合Φ1,Φ2,…,都可能是公共零点集合。

3.1.2 评估每个集合中元素的聚集度

由式（34）的定义可知，dp越小，表明Φk中元素在z平面上的几何位置越靠近，聚集程度越高；反之，则聚集程度越低。

3.1.3 确定一组近似公共零点

理论上，公共零点集合对应的dp值应为0，非公共零点对应的dp值较大，但是由于噪声和计算误差等因素的影响，公共零点集合对应的dp值为一个较小的值。

3.2 求解近似公共零点的步骤

（2）根据式（32）及相关的原理，构造可能的近似公共零点的集合Φ1,Φ2,…,ΦL1；

4 有色信源的恢复

式中：P是M×M的置换矩阵。

5 仿真实验及分析

本节通过仿真实验验证本文提出的算法的有效性，并与现有的两类典型算法（白化算法[15]、子空间算法[16]）进行性能比较。相比于本文算法，白化算法没有基于最大公因式提取的信源有色性fi(z)估计这个步骤。

实验中的噪声为高斯白噪声，信噪比定义为：

采用归一化均衡均方误差（Normalized Equalization Mean-Square Error，NEMSE）[15]来评估盲源分离的性能。对于信源i，NEMSE 定义为：

式中：E[·]是指对独立的100 次实验结果进行平均。

5.1 实验1：H(z)列矢量的阶数相等时的性能对比

仿真实验中，实验参数设置如下：

（1）信源数M=2，观测信号的数目N=3，样本数 T=10 000。

（2）卷积混合多项式H(z)为：

即H1(z)的两个列矢量的阶数相等，L=1。

（3）两个有色信源是由概率分布为拉普拉斯分布的独立同分布的两个白色信源，经过1 阶的FIR 滤波器得到的，对角的多项式矩阵F(z)为：

（4）G(z)的阶数Le=3；在求解近似公共零点的算法中，阈值ε=0.2；瞬时盲分离算法均选择JADE算法；估计的算法中，设置延时d=1。

图1 是真实有色信源和使用本文算法分离出的有色源的部分波形。比较图1（a）和图1（c）、图1（b）和图1（d）可知，在忽略幅度模糊的情况下，二者的波形十分相似，表明本文的算法能够有效地分离出两个有色信源。

图1 真实信源和本文算法分离的信源波形

图2 是3 种算法的NEMSE 随信噪比变化的曲线。通过对比可知：白化算法的分离性能最差，特别是在SNR大于15 dB 后，NEMSE 出现了性能地板，这主要是白化算法要求信源必须是具有白色特性所致，表明白化算法不适合直接用于有色源的卷积混合盲分离；子空间算法的分离性能较好，且分离性能随着信噪比的增大而逐渐提高；本文算法的分离性能最好，与子空间的算法相比，在信噪比为15～30 dB 时，NEMSE 有4～5 dB 的性能增益。

图2 NEMSE－信噪比的关系曲线（H(z)=H1(z)）

5.2 实验2：H(z)列矢量的阶数不等时的性能对比

实验2 与实验1 的主要不同之处在于卷积混合多项式矩阵H(z)不同，即与信源1 和2 相对应的多项式列矢量的阶数不同，分别为2 阶、1 阶，具体为：

图3 NEMSE－信噪比的关系曲线（H(z)=H2(z)）

从图3 可以看出，当两个有色源所对应的卷积混合阶数不等时，白化算法的性能与实验1 基本相同，表明白化算法对不同有色源卷积阶数的一致性不敏感，但总体性能表现较差；子空间算法的分离性能严重下降，特别是信源2 的分离性能最差，表明子空间算法对不同信源卷积混合的阶数的一致性非常敏感，其主要原因是子空间算法要求卷积混合多项式矩阵的各阶系数矩阵必须满秩，而本实验中的H2(z)显然不满足这个条件，因此导致算法的性能严重恶化；本文提出算法仍表现良好，能够很好地适应卷积混合的阶数不等的情况，而且抗噪声的能力明显优于白化算法和子空间算法。

6 结语

本文通过对有色源建模、观测信号的模型转换，将有色源卷积混合盲分离问题分解为白色源卷积混合盲分离、列多项式矢量最大公因式提取两个子问题，并详细描述了求解两个子问题的方法和步骤。仿真实验结果表明，不论每个有色源卷积混合的阶数是否相等，本文提出的算法都能有效进行分离，而且抗噪声的性能也明显优于现有的其他算法。

另外，本文提出的算法已应用到某工程项目中，在不同的实际场景下进行了实验测试，结果表明，本文算法性能稳定，能够适应实际环境的变化，具有很好的实际应用价值。