邱宏凌，刘 恒

(广西民族大学 数学与物理学院，广西 南宁 530006)

分数阶微积分是整数阶微积分的一种推广形式。分数阶微积分因为缺少物理背景的支持, 其理论发展受到了限制。近年来, 由于分数阶微积分在系统建模过程中具有独特的遗传性和记忆性, 因此在许多领域得到了广泛应用, 如物理学、生物工程、金融学和机器人学[1-4]。随着研究的不断深入, 分数阶系统吸引了众多学者的研究兴趣, 许多针对分数阶系统的控制方法也应运而生。由于整数阶系统是分数阶系统的一种特殊情形, 人们自然就会想能否将整数阶系统的控制方法推广到分数阶系统当中。通过提出若干分数阶系统稳定性理论, 一些传统的控制方法已经被推广到了分数阶系统中, 如分数阶自适应控制[5]、分数阶模糊控制[6]、分数阶滑模控制[7]、分数阶反步控制[8]等。由于模糊系统对被控系统中的不确定性部分具有良好的逼近能力, 以及反步控制能够使被控对象具有良好的全局稳定性和渐近追踪性能, 模糊控制与反步控制的结合已经成为控制领域内的一个研究热点。对于分数阶系统的模糊反步控制, 很多学者已经展开了研究并取得了一些前期成果。如文献[9]利用模糊系统逼近虚拟控制量及其分数阶导数,解决了反步控制中由于对虚拟控制量反复求导而产生的“项数爆炸”问题; 文献[10]研究了带有饱和输入的分数阶混沌系统模糊反步控制; 文献[11]研究了一类不确定分数阶非线性系统的模糊反步同步控制。值得注意的是,上述文献是将虚拟控制量及其分数阶导数与系统不确定项合并在一起使用模糊系统逼近, 该方法虽然可以解决“项数爆炸”问题,但由于逼近误差的存在, 会在一定程度上影响控制效果, 降低系统的控制性能。

在传统的控制方法中, 滑模控制由于对外部干扰和参数变化具有较强的鲁棒性,在整数阶系统和分数阶系统中都有广泛运用。将滑模控制和反步控制相结合, 可以赋予系统更好的稳定性和追踪性能, 具有非常高的研究价值。目前, 对于分数阶系统的滑模反步控制研究也取得了一些重要的成果, 如文献[12]研究了基于干扰观测器的分数阶非线性系统的命令滤波滑模反步控制, 将观测器的输出应用到滑模面的设计中,既不降低系统抗干扰能力, 又可以减轻控制输入的抖振现象; 文献[13]研究了一类不确定分数阶混沌系统的模糊神经网络滑模反步控制, 通过模糊神经网络对系统未知部分进行逼近, 有效地降低了逼近误差; 文献[14]研究了不确定分数阶非线性系统的混合模糊滑模反步控制, 其设计的滑模面更符合实际工程应用的要求。然而,上述文献的结果还存在值得改进的地方, 如文献[13]只考虑了可以线性化的模型, 没有考虑更一般的非线性系统; 文献[12]设计的滑模面针对的是Riemann-Liouville定义下的分数阶系统, 对系统初值要求特别高, 对于大多数实际系统来说很难满足;文献[14]提出的滑模面虽然符合实际情况,但其方法需要用到多个控制输入, 实际应用价值不高。

基于以上讨论, 本文对一类具有严格反馈形式的分数阶非线性系统进行控制器设计。首先, 利用模糊逻辑系统对系统的函数不确定性进行逼近; 其次, 根据反步控制原理进行每一步的虚拟控制器设计, 同时为了增强系统的鲁棒性, 所有虚拟控制器及最终的实际控制器都使用了滑模结构;最后, 基于Lyapunov分数阶稳定性理论, 确保系统追踪误差最终收敛到原点附近半径为任意小的邻域。在上述文献的基础上, 本文做出了以下改进:1)和文献[9]相比, 为了降低逼近误差对控制效果的影响, 提高控制性能, 采用了滤波器来解决“项数爆炸”问题。2)和文献[13]相比, 本文考虑的非线性系统模型更加一般化。3)本文构造了一个新的滑模面，与文献[12]相比, 系统的初值对本文滑模面的构造没有任何影响; 与文献[14]相比, 本文仅用了一个控制输入。

1 预备知识和问题阐述

1.1 分数阶微积分概述

定义1[15]α阶分数阶积分定义为

其中：Γ(·)为Gamma函数；α>0。

其中n-1<α

定义3[15]双参数Mittage-Leffler函数定义为

(1)

其中：α1,α2>0；z∈C。

对(1)式求Laplace变换可得

其中q≤|arg(z)|≤π。

其中：c>0为常数；q≤|arg(Z)|≤π；|z|≥0。

κ1(‖x(t)‖)≤V(x(t),t)≤κ2(‖x(t)‖),

引理4[17]设x(t)∈C1(C1为连续可微函数组成的线性空间), 则有不等式

成立。

引理5[18]设γ(t),γC(t)∈C1∩L∞，满足

则∀ε>0，存在某时刻t0，当δ充分大时，

|γC(t)-γ(t)|<ε，

∀t≥t0成立。

1.2 模糊逻辑系统

(2)

其中θj=argmaxμDj。设模糊基函数为

令ψ(x(t))=[φ1(x(t)),φ2(x(t)),…,φN(x(t))]T∈RN,θ(t)=[θ1(t),θ2(t),…,θN(t)]T∈Ωcθ⊂RN，则(2)式可以写成

(3)

成立。

依据引理6, 可以用模糊系统(3)对紧集Ω上的任一光滑函数f进行逼近。令

f(x(t))=θ*Tψ(x(t))+ε(x(t)),

θ(t)Tψ(x(t))|}。

需要注意的是，θ*仅起分析作用, 其具体的数值在本文中并不需要。

1.3 问题描述

考虑一类具有严格反馈形式的分数阶非线性系统

(4)

其中:Xi=[x1,x2,…,xi]T;X=[x1,x2,…,xn]T;fi(·):R2→R为未知的光滑非线性函数;gi(·):Ri→R为已知的控制增益函数;u为控制输入;x1为输出信号;xd为理想的输出信号。定义e1=x1-xd为追踪误差。系统的控制目标是让输出信号x1能够追踪理想输出信号xd,即当t→∞时，e1→0。为了达到这个目标, 需要做出以下假设。

2 控制器设计及稳定性分析

用反步控制方法对系统(4)进行控制器设计,整个设计过程分为n步。为了方便, 在不引起混淆的情况下,下文会略去一些函数的时间变量t。

第1步由e1=x1-xd得

(5)

(6)

(7)

为了增强被控系统的鲁棒性, 本文使用滑模结构进行虚拟控制器设计, 具体滑模面为

(8)

其中：k11,k12>0为常数;μ∈(0,1)。根据滑模控制理论, 追踪误差e1在滑模面上运动需要满足两个条件:

(9)

(10)

则

(11)

对(11)式进行稳定性分析, 得出以下定理。

定理1追踪误差e1在滑模面(8)上运行时会渐近稳定趋于0。

-e1[k11e1+k12sign(e1)|e1|μ]=

(12)

则根据引理3,e1渐近稳定趋于0。

虚拟控制器γ1设计为

k11e1-k12sign(e1)|e1|μ]。

(13)

(14)

(15)

(16)

然后再根据(7)和(13)式,有

(17)

将(15)式代入(17)式,有

(18)

(19)

与第1步类似,用模糊系统(3)对fi(Xi)逼近, 有

(20)

(21)

(22)

其中:ki1,ki2>0为常数。虚拟控制器γi设计为

ki1ei-ki2sign(ei)|ei|μ-

sign(si)|gi-1(Xi-1)ei|]。

(23)

(24)

(25)

(26)

将(18)、(21)、(23)、(25)式代入(26)式，有

|gi-1(Xi-1)ei|-ki|si|+|εi(Xi)|+

(27)

接下来进行最后一步, 给出最终的控制器设计和稳定性分析。

(28)

对fn(X)进行逼近，有

(29)

(30)

滑模面设计为

(31)

其中kn1,kn2>0为常数。控制器u设计为

kn1en-kn2sign(en)|en|μ-

sign(sn)|gn-1(Xn-1)en|]。

(32)

(33)

(34)

将(27)、(30)、(32)、(33)式代入(34)式，有

|gn-1(Xn-1)en|-kn|sn|+

-qVn+b。

(35)

其中：q=min{kj,aj}(j=1,2，…,n)；b=

定理2设系统(4)满足假设1和假设2,虚拟控制器为(13)式和(23)式，模糊参数自适应律为(15)式、(25)式和(33)式，控制器为(32)式，则闭环系统(4)所有信号都一致有界, 且可以收敛到任意小的邻域,即∀ι>0, 总存在某时刻t0,当t>t0时，有Vn(t)<ι。

证明由(35)式可知

(36)

则必定存在一个非负函数m(t),使得

(37)

两边取Laplace变换, 有

(38)

其中Vn(s)、M(s)分别为Vn(t)、m(t)的Laplace变换。两边取逆变换, 有

Vn(t)=Vn(0)Eα,1(-qtα)+btαEα,α+1(-qtα)-

m(t)*tα-1Eα,α(-qtα)≤

Vn(0)Eα,1(-qtα)+btαEα,α+1(-qtα)。

(39)

其中:m(t)≥0;*代表卷积。由于arg(-qtα)=π,|-qtα|≥0，根据引理1和引理2, 令引理1中的n=1, 则存在一个常数c>0, 有

Vn(t)≤Vn(0)Eα,1(-qtα)+btαEα,α+1(-qtα)≤

(40)

因为

(41)

根据极限定义,∀ι>0,∃t1>0, 当t>t1时,有

(42)

∃t2>0,当t>t2时,有

(43)

Vn(t)<ι。

(44)

由此可知,闭环系统所有信号最终一致有界, 且可以收敛到任意小的邻域,即追踪误差e1可以收敛到任意小的邻域。

注1文献[20]提出利用终端滑模控制实现系统状态在有限时间内到达滑模面, 其滑模面设计为

Ksign(ei(t))|ei(t)|μ]。

(45)

其中：i=1,2,…,n;K>0为一个常数;α∈(0,1)。根据滑模可达性条件，对si(t)求导，有

Ksign(ei(t))|ei(t)|μ]=0,

(46)

则

Ksign(ei(t))|ei(t)|μ]。

(47)

注2本文中参数的选择应注意以下几点:

1)增大控制增益ki可以提高收敛速度和精度, 但是过大的ki会增加系统的控制能量, 因此需要在系统的控制性能与成本消耗之间进行权衡。

3)增大模糊参数学习率ri可以提高追踪误差和模糊参数收敛速度, 但是由于符号函数的使用,ri的值选择过大会导致模糊逻辑系统(3)在自适应的过程中产生严重的抖振。

注3本文方法与文献[9]提出的一种分数阶系统的自适应模糊反步控制策略相比,主要有以下优点:1)本文设计了一种分数阶积分型滑模面, 根据滑模面来设计每一步的虚拟控制器以及最后的控制器，该方法能够克服扰动或者噪声信号, 增强系统的鲁棒性；2)为了克服反步控制中的“项数爆炸”的问题, 本文引入了滤波器来估计虚拟控制器的分数阶导数,从而避免使用模糊逻辑系统对其进行逼近, 减少了逼近误差, 增强系统的控制性能。

3 数值仿真

为了验证结果的有效性, 给出一个仿真实例。考虑以下分数阶系统:

(48)

设计的参数如下: 虚拟控制器参数为k1=k2=2;控制器参数为k3=3;滑模面参数为ki1=ki2=4,i=1,2,3,μ=0.9;自适应律参数为a2=a3=0.5,r2=6,r3=6;滤波器参数为δ1=δ2=50。

图1 系统在干扰环境下运行

图2 控制输入与自适应参数

情形2系统在干扰环境下运行。为了验证滑模控制器(32)能够保证系统(48)具有鲁棒性, 设在时刻t=5 s时外部干扰激活, 即

(49)

其中系统各参数值和初值状态与情形1一样。仿真结果如图3所示。在t=5 s处,干扰激活,此时x1的轨迹发生偏移;0.5 s后x1的轨迹又与原先无干扰环境下的轨迹基本相同。这说明本文的滑模控制器能够保证系统具有良好的鲁棒性。

图3 系统在干扰环境下运行

4 结语

本文利用自适应模糊滑模反步控制解决了一类不确定分数阶非线性系统的控制问题。首先，通过模糊系统来估计被控对象的未知部分, 同时配合滤波器的使用,既避免了“项数爆炸”问题, 又减少了模糊误差的影响。其次, 用滑模技术来进行每一步的虚拟控制器设计, 增强了系统的抗干扰能力。最后, 基于分数阶Lyapunov稳定性理论得出闭环系统所有信号一致有界, 且可以收敛到半径为任意小的邻域。仿真结果显示, 在干扰环境下系统追踪误差可以快速收敛到原点附近并保持有界, 呈现较强的鲁棒性。然而, 模糊误差的存在还是会对控制性能造成一定的影响。因此, 未来我们将进一步研究如何使用分数阶组合模糊滑模控制来减少模糊误差, 并利用该技术解决系统带有死区或输入饱和等情形下的控制问题。