高 炜

(云南师范大学 信息学院，云南 昆明 650500)

分子图的拓扑指数计算是理论化学和图论的重要研究课题.在日常观察中，我们总会发现分子图结构和网络中存在大量不确定性信息，进而常用模糊图来刻画此类带有不确定性信息的分子图和网络结构.进而，拓扑指数的研究被拓展到模糊图.

在信息科学中，图的连通性决定了整个网络的效率，以及相应的算法.例如：在蛋白质分子网络中，顶点的连通状态决定了分子的活动，进而影响生物系统的工作机制.在联邦学习中，每个设备的状态都不像一直在工作的孤岛.在一定时间内，设备往往处于断开状态，这导致在联邦学习的每次迭代中，需要选择一组处于工作状态的设备.由于实际需要的种种原因，图的连接程度成为蛋白质分子网络和信息技术领域的热门话题(参考Cheung和Bell[1]，Denison等[2]，Ma等[3]，以及Gao等[4,5]).

由于分子网络本身的复杂性，在很多涉及顶点和边的不确定性的应用场景中，需要借用模糊数学的工具和方法.另一方面，模糊数学中的这种不确定性通常可以分为正面性质和负面性质.众所周知，正隶属函数不能反映目标的负不确定性.例如:隶属度函数μ1代表“喜欢”，μ2代表“不喜欢”.然而μ1(x)=0.7不能推出μ2(x)=0.3.一个合理的做法是使用负隶属函数来描述“不喜欢”.

在建模中，正不确定性对应正隶属函数值，负不确定性对应负隶属函数值.在这种设置下，分子网络模型变成了双极模糊图，不同类型的不确定性可以使用不同的隶属函数，最终确定双极模糊图的各种框架.常见的有双极直觉模糊图、双极毕达哥拉斯模糊图等.最近，一些工作从理论和应用的角度对双极模糊集和双极模糊图做出了贡献.Mahmood和Ur Rehman[6]引入了双极复模糊集的新符号，它是双极模糊集和复模糊集的融合.Ozcelik和Nalkiran[7]介绍了一种基于与配备梯形双极模糊集的平均解的距离的评估.Cornejo等[8]获得了具有标准否定的双极最大积模糊方程的可解性特征.

本文的目的是将文献[9]中关于模糊图的邻域连通指数推广到双极模糊图框架，给出双极模糊图上邻域指数的具体定义，并将相关理论结果也推广到双极模糊图中.

1 预备知识

且

则双极模糊图G中任意x,y∈V(G)之间的连通强度表示为

双极模糊图G中边(vi,vj)称为α-强边若

双极模糊图G中边(vi,vj)称为β-强边若

设G是连通双极模糊图.G是α-饱和(对应地，β-饱和)若每个顶点至少关联一条α-强边(β-强边).G称为饱和的，若它同时为α-饱和和β-饱和.即双极模糊图的每个顶点至少关联一条α-强边和一条β-强边.

2 主要定义及理论结果

定义1设G是双极模糊图.G的邻域连通指数定义为

其中NCIP(G)和NCIN(G)分别称为G的邻域连通指数正和负邻域连通指数.

由定义和相关概念出发，利用文献[9]的证明方法，可得到如下几个结论，这里省略证明过程.

性质1设H是G的部分双极模糊子图，则NCIP(H)≤NCIP(G)， 且NCIN(H)≥NCIN(G).

性质2设G是有n个顶点的双极模糊图，则NCIP(G)≤n(n-1)， 且NCIN(G)≥-n(n-1).

性质7两个同构的双极模糊图有相同的邻域连通度.

性质8设G是双极模糊图，0≤t1≤t2≤1.则NCIP(Gt2)≤NCIP(Gt1)，NCIN(Gt2)≥NCIN(Gt1).

性质9设G是n个顶点的饱和双极模糊圈，每条α-强边的强度均为(tP,tN)，且每条β-强边的强度为常数.则NCIP(G)=2ntP，NCIN(G)=2ntN.

性质10给定正整数m，xP∈+，xN∈-满足xP≤2m和xN≥-2m.则存在m条边的双极模糊图，满足NCIP(G)=xP，NCIN(G)=xN.

性质11给定正整数n，xP∈+，xN∈-满足xP≤n(n-1)和xN≥-n(n-1).则存在n个顶点的双极模糊图，满足NCIP(G)=xP，NCIN(G)=xN.

NCIP(Gc)-NCIP(G)≥n2tP-5ntP,NCIN(Gc)-NCIN(G)≤n2tN-5ntN.

性质13设G是双极模糊图，F是G的最大生成树，则NCIP(F)NCIN(G).

性质14设G是完全双极模糊图，CI(G)=(CIP(G),CIN(G))是G的连通指数，WI(G)=(WIp(G),WIN(G))是G的维纳指数.则

3 小结

本注记的主要贡献是将文献[9]中关于模糊图的邻域连通指数拓展到双极模糊图的邻域连通指数，并且把模糊图中的相关理论也扩展到双极模糊集.本文得到的结果对带有不确定性的分子网络和计算机网络的拓扑分析，具有积极的指导意义.