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一题一课 以题研课

2023-01-11江苏省宜兴市张渚高级中学

中学数学 2022年17期
关键词:公比多角度公差

江苏省宜兴市张渚高级中学

陈云明

课堂是教学的主阵地,数学课堂应该有一定的广度、深度,特别是高三复习课,更要精心选好试题,针对知识点,完善知识结构,激活学生思维,提升探究能力.其中,“一题一课”教学是高三数学复习课中一种非常重要的表现形式,对“题”进行深度挖掘,以“原题”为本,根据学生的认知规律和知识结构,合理设置,巧妙引导,从多层面进行“一题多解”尝试,从多角度进行“一题多变”创新,由浅入深,做一题,得一法,会一类,通一片.

1 一题多解

一题多解是在教师精心挑选下,利用同一道题目引导学生用不同的思维方法来破解,利用发散、联想、类比等思维方法对题目进行多角度、多方位的分析与思考,利用不同的知识、方法、工具等来分析与处理问题.一题多解能有效促进数学知识之间的联系,提升数学思维能力、创新能力与应用能力等.

例1(2020年高考数学江苏卷第11题)设{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列.已知数列{an+bn}的前n项和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*),则d+q的值是______.

分析:此题是以两个特殊类型的等差数列与等比数列加以融合与交汇,结合数列{an+bn}的前n项和的表达式来确定对应数列的公差d与公比q的和式的值问题.

思维视角一:代数运算.

解法1:(代数运算法)当n=1时,S1=a1+b1=1-1+2-1=1;

当n≥2时,an+bn=Sn-Sn-1=n2-n+2n-1-[(n-1)2-(n-1)+2n-1-1]=2n-1+2n-2.

则有a2+b2=22-1+2×2-2=4,a3+b3=23-1+2×3-2=8,a4+b4=24-1+2×4-2=14.

于是a1+d+b1q=4,a1+2d+b1q2=8,a1+3d+b1q3=14.

将a1+b1=1与以上三式依次对应相减,可得

d+b1(q-1)=3,d+b1q(q-1)=4,d+b1q2(q-1)=6.

即b1(q-1)=3-d,b1q(q-1)=4-d,b1q2(q-1)=6-d.

故填答案:4.

点评:通过n的分类讨论以及数列{an+bn}的前4项的确定,结合a1+b1=1与相应的关系式进行代数运算,并结合条件关系式的转化建立相应的方程,从而得以确定d与q的值.其实,在确定an+bn=2n-1+2n-2时,分别利用等差数列与等比数列的函数性,直接得以确定an=2n-2,bn=2n-1,进而确定公差与公比的值,在解决小题时可以这样处理,节省时间.

思维视角二:公式应用.

解法2:(对比系数法)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,根据题意知q≠1.

则等差数列{an}的前n项和公式为

等比数列{bn}的前n项和公式为

所以d+q=2+2=4.

故填答案:4.

点评:根据等差数列与等比数列的前n项和公式建立相应的关系式,结合条件Sn=n2-n+2n-1,通过对比相应数列求和中的系数关系建立对应的方程组,进而得以确定相关参数d与q的值.

2 一题多变

一题多变是在教师精心安排下,在实际教学过程中,以一道典型例题为模板,在解决问题的基础上再从多角度、多方位、多层面等思维视角提出不同的问题,以进一步加深学生对知识的理解和掌握.一题多变能有效促进数学知识、思想方法和能力的融会贯通、举一反三、触类旁通,培养创新思维与创新意识,提升创新能力与核心素养.

故选:D.

变式方向1:改变题目中的相关数据,难度相当.

故选:B.

变式方向2:改变圆锥曲线的类型,难度相当.

故选:B.

变式方向3:改变题目已知条件,难度相当.

通过“一题多变”,培养学生的转向机智及思维的应变性,实现提高发散思维的变通性.

“一题一课”教学,借助一题多解,一题多变等方式,合理达到一题一练一测一思一小结.以问题驱动为导向,教师体现主导作用加以合理引导.充分体现学生的主体地位,知识尽可能让学生回顾,思路尽可能让学生探寻,方法尽可能让学生寻找,变式尽可能让学生尝试,从而真正实现知识回顾问题化,思路探寻发散化,方法寻找多样化,变式尝试创新化,全面提升数学能力,提高思维品质,培养数学核心素养.

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