江苏省海门中学

姜璐璐

数学教学应坚持以生为本，引导学生通过观察、发现、归纳等数学活动掌握基本知识和基本技能，在解决问题的过程中形成经验，从而在知识和经验的共同作用下形成学习能力.笔者在“函数与方程(一)”教学时，借助情境和问题设计教学活动，在培养学生观察能力、概括能力、抽象能力等方面取得了较大突破，与大家分享，以期共鉴.

1 教学分析

“函数与方程(一)”是一节抽象的概念课，重点是理解和掌握函数零点定义及零点存在性定理.概念课看似简单，但受传统教学模式影响，在教学中常出现“重结论，轻过程”的现象，从而将“概念课”变成了“习题课”，学生知道个一知半解就忙着去应用，结果后期解决综合性问题时漏洞百出.要让学生真正将概念学懂吃透，既清楚内涵又了解外延，需要教师精心预设.本节课在问题情境的引领下，旨在培养学生的观察、抽象概括能力，体验函数与方程、转化与化归、数形结合等重要数学思想的应用，从而提升数学核心素养.

2 教学活动设计

2.1 回顾旧知，引出新知

教学片段1：

师：利用对数知识求方程0.84x=0.5的近似解，该如何求呢？

师：很好！如果利用图象，你能求吗？

生2：可以求.将方程0.84x=0.5左右两边看作两个函数，y=0.84x和y=0.5，两函数y=0.84x和y=0.5图象交点的横坐标即为所求.

师：很好.生2通过构造法构造了两个较为熟悉的函数y=0.84x和y=0.5，这样在同一直角坐标系中作出函数图象，借助图象可求方程近似解.

设计意图：函数与方程都是高中数学重点内容，在数学中占有重要的位置，同时两者又有着紧密的联系.如果教学之初就直接指出两者的联系似乎有些生硬，为此，先用旧知“对数相关知识”来引入，引导学生用代数的思路直接求解.接下来，运用问题“如何利用图象求解”，引导学生联想函数，由此将方程转化为了函数，这样引入新课题也就水到渠成了.

2.2 借助特例，归纳提炼

教学片段2：

师：观察以下几个特殊函数的图象，试写出函数图象与x轴交点的坐标，并求出对应方程的根，看看你有哪些发现.

①一元二次方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3(图象如图1)；

图1 图2 图3

②一元二次方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1(图象如图2)；

③一元二次方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3(图象如图3).

问题给出后，教师预留时间让学生进行观察，并引导学生应用数学语言进行总结和归纳，很快，很多学生迫不急待的想发表自己的见解了.

生3：分析第①组，该一元二次方程有两个根，分别为-1和3，与之相应的函数图象与x轴的交点坐标分别为(-1，0)，(3，0).由此可知，方程x2-2x-3=0的根即为函数y=x2-2x-3与x轴的交点的横坐标.

生4：在第②组中，方程的根为x1=x2=1，相应的交点坐标为(1，0)，故与生3得出的结论类似.

生5：在第③组中，方程没有实数根，图象与x轴无交点.

师：大家说得非常好！刚刚我们观察的是特殊方程，如果对于一般方程会有怎样的结果呢？请各小组分工协作，完成下面表格(如表1).(学生已经发现了一般规律，很快完成了表格的填写.)

表1 一元二次方程与对应函数的关系

注：a>0.

师：各小组表格都已经填写好了，现在请结合表格内容归纳总结，一般一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系.

生6：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y=0时自变量x的值，也就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标.

师：很好！一般地，把使函数y=f(x)的值为0的实数x称函数y=f(x)的零点，即方程f(x)=0的实数解叫做函数y=f(x)的零点.

设计意图：为了便于观察、计算，教师设计了几个简单的一元二次方程，通过方程的根与对应函数图象与x轴交点坐标相对比，得出了一元二次方程的根即为相应的一元二次函数图象与x轴交点的横坐标.结论得出后，为了将其转化为一般规律，教师让学生联想一般方程，完成了从特殊到一般的转化.在此基础上给出函数零点定义也就使定义更加具体形象了，学生也更容易总结归纳三者的关系：方程f(x)=0有解⟺函数y=f(x)的图象与x轴有交点⟺函数y=f(x)有零点.这样让学生经历由根到交点再到零点的过程，有利于培养学生的逻辑思维能力.

2.3 借助转化，检验应用

教学片段3：

例1求证：二次函数y=2x2+3x-7有两个不同的零点.

证法1：(代数法)考察二次方程2x2+3x-7=0，因为Δ=32-4×2×(-7)=65>0，所以方程2x2+3x-7=0有两个不等的实数根.因此，二次函数y=2x2+3x-7有两个不同的零点.

证法2：(几何法)由f(x)=2x2+3x-7的二次项系数是2，可知抛物线的开口向上，且f(1)=2+3-7=-2<0，所以二次函数y=2x2+3x-7与x轴有两个交点.因此，二次函数y=2x2+3x-7有两个不同的零点.

例2判断函数f(x)=x2-2x-1在区间(2，3)内是否存在零点.

设计意图：在教学中，为了实现知识的内化，了例题环节.设置例1引导学生从不同角度思考零点问题，即代数法和几何法.对于例2，根据学情可知，在解决此类问题时多数学生习惯运用代数法来求解，教师可以顺势引导学生通过寻找“另外方法”为下面的教学内容作铺垫，让学生的思维在问题的引导下螺旋上升.

2.4 完善猜想，形成定理

教学片段4：

师：观察例2中函数f(x)=x2-2x-1的图象，我们猜想出“若函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，则必有f(a)f(b)<0”.如果这样说你们认为成立吗？“若函数y=f(x)在区间[a，b]上有f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a，b)内一定有零点”呢？

设计意图：通过创设问题引发学生对定理成立条件的关注，从而为定理的引入及内化作好铺垫.在教学中，可继续引导学生联想特例来验证，这样学生更容易理解“不间断的曲线”这一限定条件.接下来还可以提出问题①在什么条件下，可以使函数y=f(x)有唯一零点？②为什么题设中是闭区间[a，b]，而结论中是开区间(a，b)？这样，通过仔细推敲和挖掘，让学生对定理的理解更加细致、全面，为后面的应用奠定坚实基础.

3 教学反思

本节课通过前期的铺垫，利用“函数与方程”“数形结合”等重要数学思想方法引发了学生对“函数零点”的思考，从而将方程的根、图象与x轴的交点、函数零点紧密相连，实现了代数与几何之间的转化.接下来又围绕“函数零点定理”经历了一次探究之旅，从观察、发现、猜想、推理、验证、应用等环节突破了重难点，发现了问题的本质，最终形成了定理.数学定理本是抽象的，为了提升教学的有效性，发展学生的数学思维，在教学中需要多从学生的认识角度去思考问题，通过创设有价值的问题引导学生在知识的梳理、归纳、总结等数学活动中建立完整的知识体系，进而提升解决问题的能力.

总之，要发挥课堂教学价值，离不开教师精心的预设.只有精心预设才能使知识向正方向迁移，从而揭示问题的本质，提炼出有价值的数学方法，最终形成解题能力和学习能力，提高数学核心素养.