代云中，庄圣贤，李美容

（1.宜宾职业技术学院 智能制造学院，四川宜宾，644003；2.西南交通大学 电气工程学院，四川成都，611756）

0 引言

20世纪80年代Chua[1～3]通过物理的对称性给出一种忆阻器，由于忆阻器具有非线性与记忆等特性，使得忆阻器在混沌系统[6～10]、阻变存储器[5～6]、现场可编程逻辑门阵列[14,11]、人工神经网络[12]、保密通信[11]、电力电子[13,14]、图像处理[11,12]和音频信号[16]等方面有广泛使用。近年来，国内外学者研究了多种具有不同结构的含有忆阻器的混沌电路[3～6,15-17]。LOChua等给出一种分段磁控忆阻器（Magnet-Controlled Memristor,MCM）替换chua系统中的二极管，得出了含有非线性MCM的chua混沌系统[3,6]。文献[7]采用分段MCM并联在Lorenz电容两端[7]，给出一种含MCM的Lorenz混沌系统，然而分段函数是阶跃变化的，难以在实际工程中实现。但是文献[7]的研究表明，与传统Loren相比，含MCM的Lorenz系统表现出了完全不同的非线性行为[7,16]。

由于现有工业产品中还无法造出忆阻器，为了研究含忆阻器的Lorenz系统的动力学行为。上述研究忆阻器使用比例积分（Proportional Integral，PI）电路、乘法器等搭建忆阻器的电路[5～9]。但是因为PI电路中积分漂移的作用，使忆阻器的输出信号与真实的忆阻器有较大不同，进而难以对含有忆阻器的混沌系统的真实动力学行为进行研究[8～9,15～17]。

本文首先提出采用镜像电流源的荷控忆阻器；接着将给出含荷控忆阻器的Lorenz混沌系统（Lorenz with Charge-Controlled Memristor, Lorenz -CCM）；最 后，对 Lorenz-CCM系统进行数值仿真和实验验证。

1 荷控忆阻器

惠普（HP）忆阻器是一种荷控忆阻器，由文献[1]可知其忆阻值为：

式（1）中：

μv电子迁移率，则忆阻器的输入电流i(t)和输入电压u(t)关系为[1]：

式(2)中φ(t)为磁通，q(t)为电荷。

当取aq=1，bq=450，u(t)=sin(2πft)，f=50Hz时，可得：

将u(t)代入（3）式，进行数值仿真可得忆阻器的u-i曲线，如图1所示。从图1中可知，呈现出一个斜“8”字形的紧磁滞回线，与Chua的荷控忆阻器具有一样的u-i特性[6]。

图1 u-i曲线

由(3)式的忆阻器数学模型，本文设计了一种基于镜像电流源的荷控忆阻器，如图2所示。

i(t)通过由N型(MN0～MN4)与P型金氧半场效晶体管(Metal-Oxide-Semiconductor Field-Effect Transistor, MOSFET) (MP0～MP4)构建的镜相电路后，分别流入到电容CT与电阻RT中，获得CT的电压VC=qc(t)/CT和RT的电压i(t)×RT，qc(t)为CT的电荷。图2中VDD和VSS分别为+5V和-5V。VC与i(t)×RT再经过乘法器(AD633)后可得Vx为：

图2 荷控忆阻器

Vx通 过（U2，U3，U4，r1，r2，r3，r4，r5，r6）组 成 的反相比例电路可得Vx1：

接着，通过图2可知：

所以，在i(t)输入下可知镜像电流源荷控忆阻器v(t)和i(t)的关系为：

然后，当aq=1，bq=450时，对照(3)式和(7)式，可计算出镜像电流源荷控忆阻器的电路参数如表1所示。

表1 镜像电流源荷控忆阻器仿真参数

根据图2的电路结构和表1的计算出的镜像电流源荷控忆阻器电路参数，采用Pspice搭建电路对图2中设计的荷控忆阻器进行电路仿真。当u(t)=sin(2πft)，f=50Hz时的电路仿真结果如图3所示。图3(a)、(b)、(c)分别为u(t)，i(t)和u-i特性曲线。从图3中可知i(t)的相位滞后于u(t)。u-i曲线是一个斜“8”字形的类紧磁滞回线的特性，且关于中心原点对称，不存在积分漂移特征。所以，仿真结果验证了镜像电流源荷控忆阻器电路设计的正确性。

图3 镜像电流源荷控忆阻器的电路仿真

2 含忆阻器的Lorenz电路

2.1 Lorenz电路

文献[9]中的传统Lorenz电路如图4所示。

图4 传统Lorenz电路

其数学模型为[9]：

(8)式 中V1，V2，V3，分别为电容C1，C2，C3的电容电压。

2.2 Lorenz-CCM电路

Lorenz-CCM如图5所示，先将镜像电流源荷控忆阻器与L串联，再与C3并联。Lorenz-CCM混沌电路与通常的Lorenz电路相比，增加了2个动态元件：iL和q，iL是电感L的电流，q是指镜像电流源荷控忆阻器的内部电荷。

图5 Lorenz-CCM

由KVL定律和式（7）可知Lorenz-CCM的状态方程为：

设x=V1，y=V2，z=V3，w=iL，k=q，

并定义非线性函数M(k)为：

则(9)式可重写为：

所以，Lorenz-CCM是一个五维的一阶微分方程，由式(11)可对Lorenz-CCM进行相应的演绎推导与MATLAB数值仿真。

2.3 混沌吸引子

选择电路参数α=13；β=15；aq=1和bq=450，x0，y0，z0，w0，k0分别为状态变量x，y，z，w，k的初始值。当（x0，y0，z0，w0，k0）=（0.01，0，0，0，0.013）时，Lorenz-CCM在x-y，y-z和x-z平面的投影图分别如图6(a)～(c)所示，由图可知Lorenz-CCM呈现出一个双涡卷形状的吸引子。

图6 Lorenz-CCM混沌吸引子

通过Jacobi法计算出Lorenz-CCM系统的Lyapunov指数为：L1=1.0223，L2=-0.0205，L3=-0.0376，L4=-17.6417，L5=-42.1998，Lyapunov维数DL=3.0546，因此，Lorenz-CCM为分数维。在y=0平面上四维庞加莱(poincare)映射z-w的相图如图7(a)所示，交点表现为有规律的密集点，且无法构成闭合曲线，所以Lorenz-CCM为混沌态。

x，y，z，w，k随时间t变化的波形如图7(b)所示，由图7可知x，y，z，w，k随t变化的过程是非周期性的。因此，由相轨图、poincare映射、时域图和Lyapunov指数以及其维数，可知Lorenz-CCM是混沌的。

图7 poincare映射曲线和时域图

2.4 平衡点集与稳定性

令式(11)的右边等于零，即：

可得(12)式的平衡点集为：

从上述分析可知k轴上的点集都是平衡点，在此c为实常数。当α=13；β=15；aq=1；bq=450和k=c，(11)式在平衡点处的Jacobi矩阵JE为：

平衡点集E的特征根方程：

当令(15)式中括号的系数为：

令式（15）的根的实部小于零时，可得：

解得c＜0.00222。所以，当式（15）中c＞0.00222时，平衡点集是不稳定的。

2.5 对初始值的敏感性

当α=13，β=15，aq=1与bq= 450时。且x，y，z，w，k的初始值(x0，y0，z0，w0，k0)=(0.01，0，0，0，0.013）时，x随时间t变化的波形如图8所示。当x0仅相差0.000001，y0，z0，w0，k0保 持 不 变，x在t=11.8s后 截 然 不 同。当x0=0.0130001时Lorenz-CCM的Lyapunov如图9所示，由图9可知Lorenz-CCM有一个大于零的Lyapunov指数。因此，Lorenz-CCM是混沌的。

图8 不同x0时x的时域波形

图9 x0=0.0130001系统的Lyapunov指数谱

3 动力学分析

3.1 初始条件为（0.01，0，0，0，0.013）时，参数α变化

当β=15；aq=1和bq=450，且x，y，z，w，k的初始值(x0，y0，z0，w0，k0)=(0.01，0，0，0，0.013）时，α为可变状态变量。利用Lyapunov指数谱、分岔图和相轨迹图对Lorenz-CCM进行非线性行为分析。当α增加时，最大Lyapunov指数谱和以y=0为庞加莱截面z的分岔图分别如图10(a)～(b)所示，对比图10(a)和图10(b)可知，最大Lyapunov指数与分岔图是一致的，在α较大的变化范围内，Lorenz-CCM是呈混沌态的。

从图10(b)可看到Lorenz-CCM通向混沌的道路，在Lorenz-CCM混沌带中有多个周期轨道和拟周期轨道的窗口。表2列出了α变化范围内对应的非线性行为。

图10 α变化时动力学行为

表2 参数α区间及其对应的非线性行为

图11 呈现了Lorenz-CCM的周期、拟周期和混沌轨道。图11(a)为α=2.00时，x-y呈现出的稳定原点；图11(b)为α=4.00时，x-y呈现出的稳定极限环。图11(c)呈现出了一个拟周期状态；图11(d)呈现出混沌态。

图11 不同α时的x-y相平面

3.2 瞬态混沌现象

当α=6.71时，Lorenz-CCM出现的瞬态混沌现象[3]如图12所示，其瞬态混沌吸引子和稳态周期极限环在x-y平面的相图分别如图12(a)和12(b)所示。x随时间t变化的波形如图12(c)所示，与通常的Lorenz不同的是，当时间在0＜t＜34s时，Lorenz-CCM是混沌状态。当t＞34s时，Lorenz-CCM为稳定的周期态。图12(d)为Lorenz-CCM的最大Lyapunov指数，其在一定的范围内大于零，但是随着t的增大而逐渐变为0。

图12 瞬态混沌现象

4 Lorenz-CCM系统实现

由 图7可 知，(x，y，z，w，k)的 数 值 完 全 大 于LM741、AD633的电源电压。所以，可以将其减小一定的比例才能作为芯片的输入，当将x，y，z，w，k同时缩小10倍时，可得：

则Lorenz-CCM可重写为：

根据式(18)，设计出的Lorenz-CCM电路如图5所示，其状态方程为：

将式(18)与式 (19)比较，可得：

由(20)式 可 得L=1H，C3= 1F。同时当取表3的实验参数时，再根据图5设计的电路进行实验。

表3 实验参数

V1-V2、V2-V3和V1-V3的 实 验波形分别如图13(a)～(c)所示，将图13(a)～(c)与图6(a)～(c)分别对应比较后可知, 实验结果与数值仿真结果是一致的。因此，实验结果验证了Lorenz-CCM理论演绎与电路设计的正确性。

图13 Lorenz-CCM的实验波形

5 结束语

通过本文对含荷控忆阻器混沌电路的研究可得以下结论：

(1) 基于镜像电流源的荷控忆阻器消除了现有运放忆阻器存在的积分漂移现象。

(2) Lorenz-CCM系统和其他混沌电路类似的特点：对状态变量初始值变化的敏感性、确定性、有界性、难以预测、大于零的最大Lyapunov指数等特点。

(3) 与通常的Lorenz电路相比，Lorenz-CCM存在瞬态混沌现象且易于硬件电路实现，可在应用于各种保密工程中。