颜黎明，郭鑫，赵冬冬

1. 长安大学 汽车学院，西安 710064

2. 西北工业大学 自动化学院，西安 710072

永磁同步电机(PMSM)以其高功率密度、高功率因数及高效率等优点广泛应用于航空航天行业，多电飞机作动器、全电飞机电推进系统等领域[1-2]。在永磁同步电机控制理论方面，继矢量控制和直接转矩控制之后，有限集模型预测控制(FCS-MPC)以其概念直观、动态响应快及易于处理多变量非线性控制等诸多优点在电力驱动领域得到了学术界的广泛研究[3-4]。有限集模型预测控制由智利学者Rodriguez等于2004年首次提出并应用于电压源逆变器[5]。2018年，ABB集团在欧洲率先将模型预测脉冲模式控制应用于大功率工业电力驱动系统(ACS6080)。这种方法与在20世纪70年代提出的矢量控制相比，在相同的开关频率下，定子电流总谐波失真(THD)显着降低[6-7]。结合德国学者德彭布罗克和日本学者高桥在20世纪80年代提出的直接转矩控制(DTC)的思想，选择模型预测转矩控制(MPTC)的控制变量为电磁转矩和定子磁链幅值[8]。在预测阶段，基于永磁同步电机的离散数学模型和逆变器产生的离散电压矢量，预测下一时刻的电磁转矩和定子磁链幅值[9]。在优化阶段，根据电磁转矩及定子磁链跟踪误差最小来设计代价函数，并在下一个采样时间选择和应用最优电压矢量，使代价函数最小化[10]。在代价函数中，由于电磁转矩与定子磁链幅值具有不同的量纲，需要添加权重因子以协调两者之间的权重。然而，相较于线性控制理论的参数分配方法，权重因子的设置缺乏严格的理论依据，多采用试错法与评级法进行。因此，权重因子的设置一直是学术界的研究热点与难点。近年来，国内外学者主要从标准化代价函数、无权重因子法、排序法等方面展开研究[11-15]。文献[16]针对感应电机预测转矩控制，提出定子磁链误差跟踪项的权重因子为额定转矩与额定定子磁链之比，赋予转矩跟踪与磁链跟踪同等的重要性，即标准化代价函数。结果表明，这种配置方法是次优方案而不是最优方案。文献[17-18]提出了取消权重因子的控制方案，即以定子磁链矢量作为唯一控制变量从而使得代价函数不包含权重因子。文献[19]在推导电磁转矩、磁链幅值与定子磁链矢量之间解析关系的基础上，提出了永磁同步电机预测磁链控制，省略了代价函数中权重因子的设计过程。另一些学者将多目标优化理论中的排序方法引入FCS-MPC的“优化”阶段，同样不需要权重因子。文献[20]提出基于分组排序法的感应电机预测转矩控制，依据转矩跟踪误差和磁链跟踪误差分别对电压矢量排序编号，2组序号平均值最小者为最优电压矢量。文献[21]则提出基于分层排序法的感应电机预测转矩控制，先选择使转矩跟踪误差最小的3个矢量，然后再在其中选择使磁链跟踪误差最小的矢量作为最优电压矢量。此外，还有一些学者将智能优化理论引入模型预测转矩控制中[22]。文献[23]利用多目标遗传算法实现了感应电机模型预测转矩控制的权重因子优化，即电磁转矩、定子磁链和开关频率的权重因子在离线状态下进行了优化，然后在实验中进行了验证。在文献[24]中，针对永磁同步电机的模型预测转矩控制，提出了使用混沌突变的粒子群优化的权重因子设计，其中优化目标为降低转矩脉动和定子电流失真。实验结果表明，该方法能较好地解决权重因子的设置问题，但也增加了系统的复杂度和微处理器的计算负担。目前，对代价函数权重因子耦合关系的研究多采用仿真方法。文献[25]针对感应电机模型预测转矩控制的研究结果表明，不同的权重因子下转矩的均方根与磁链的均方根成反比关系，权重因子过大或过小都会导致系统失稳。然而，权重因子的稳定边界值在理论上是无法得到的。文献[26]以定子电流畸变最小为目标，推导了不同维度的转矩与磁链之间的关系，构建了模型预测电流控制与模型预测转矩控制之间的关系。

在前人研究的基础上，本文根据永磁同步电机中电磁转矩、定子磁链和定子电流之间的内在关系，推导代价函数中权重因子的解析表达式。首先阐述模型预测电流控制、模型预测转矩控制和模型预测磁链控制的基本原理；然后描述权重因子解析表达式的推导过程，分析参数失配的影响机制，并对所提出算法进行实验验证。

1 数学模型建立与代价函数设计

1.1 永磁同步电机的数学模型与预测模型

基于空间矢量理论，三相永磁同步电机的数学模型为

(1)

ψs=Lsis+ψfejθr

(2)

(3)

基于一阶前向欧拉离散方程

yn+1=yn+Tsf(yn,xn)

(4)

永磁同步电机连续数学模型(式(1)～式(3))可转化为离散预测模型，

(5)

ψs(k+1)=ψs(k)+Ts(Rsis(k)+vs(k))

(6)

(7)

式中：p为极对数；Ts为控制周期；is(k+1)、ψs(k+1)、Te(k+1)为k+1时刻的状态变量；is(k)、ψs(k)、Te(k)为k时刻的状态变量。

图1 有限集模型预测控制具体框图

1.2 预测电流控制的代价函数设计

在模型预测电流控制中，代价函数设计为

(8)

预测电流控制是融合了有限集模型预测控制与经典矢量控制思想的控制策略，具有结构简单、代价函数无需权重因子等优点。但是，预测电流控制无法实现电磁转矩的直接快速调控。同时，由于预测电流控制是一种电压集的穷举法，因此在弱磁控制中无法实现电压外环反馈控制，目前采用励磁电流查表法实现弱磁控制[6]。

1.3 预测转矩控制的代价函数设计

众所周知，预测转矩控制是有限集模型预测控制思想与直接转矩控制相融合的控制策略。预测转矩控制可以实现电磁转矩的直接调控，与预测电流控制相比，具有更快的电磁转矩动态响应。同时，基于转子转速与母线电压可直接给出定子磁链幅值参考值，实现弱磁控制[28]。预测转矩控制的代价函数通常以电磁转矩跟踪误差与定子磁链跟踪误差最小为优化目标

(9)

为了探究不同权重因子下永磁同步电机定子电流总谐波含量、定子磁链均方差以及电磁转矩均方差的变化规律，进行了MATLAB仿真研究。定子磁链均方差及电磁转矩均方差的计算公式为

(10)

(11)

式中：n为采样点数，为了提高计算精度，在稳态下，n=3×105；ψs_av、Te_av为采样点的代数平均值；|ψs|nom、Tnom分别为定子磁链、电磁转矩的额定值。

图2 不同工况不同权重因子下永磁同步电机的定子电流总谐波失真、定子磁链均方差与电磁转矩均方差

图3 不同工况与标称权重因子下永磁同步电机的定子电流总谐波失真、定子磁链均方差与电磁转矩均方差

1.4 预测磁链控制的代价函数设计

为保留预测转矩控制的优点，同时克服预测转矩控制中权重因子设置困难的问题，一些学者提出了模型预测磁链控制理论。预测磁链控制的代价函数设计公式为

(12)

{cos[θs(k+1)]+jsin[θs(k+1)]}

(13)

θs(k+1)=θr(k)+ωrTs+δsr

(14)

(15)

由式(13)～式(15)可知，预测磁链控制以定子磁链为控制目标，易于实现弱磁控制，具有快速的动态响应且不含权重因子。但是，定子磁链参考值的计算公式过于复杂，且其中含有电机参数，这降低了控制系统的鲁棒性。

1.5 预测磁链控制与预测电流控制的关系

预测电流控制的代价函数如式(8)所示，而预测磁链控制的代价函数如式(12)所示。已知ψs=Lsis+ψfejθr为定子磁链矢量计算的电流模型。因此，进一步简化代价函数式(12)，可得

(16)

(17)

由式(17)可知，比较预测磁链控制与预测电流控制的代价函数只相差系数Ls。而代价函数的功能是选择使其最小的电压作为最优电压，因此两者在电压寻优方面是等价的。

2 基于新型权重因子解析法的模型预测转矩控制

2.1 权重因子的解析算法

在永磁同步电机的有限集模型预测控制中，以定子电流跟踪误差最小为优化目标的代价函数可以表示为

(18)

1.5节已详细阐述过2个代价函数式(8)、式(12)在电压寻优方面的等价性，因此根据ψs=Lsis+ψfejθr，该代价函数式(18)可以转化为以定子磁链跟踪误差最小为优化目标。

已知永磁同步电机的电磁转矩计算公式可被表示为Te=3p|ψf||ψs|sinδsr/2Ls。因此，式(18)可以进一步等价于

(19)

(20)

可以看出，该代价函数式(20)以电磁转矩和定子磁链为优化目标，等价于式(18)。

根据上述分析，将式(20)适当变形，可以得到基于解析权重因子的预测转矩控制代价函数

(21)

式中：λAWF为权重因子。由式(15)可知角度δsr(k+1)随着电磁转矩的变化而变化，而λAWF中含有角度δsr(k+1)信息，因此λAWF随电磁转矩的变化而变化。

图4 AWF-MPTC和T-MPTC的定子电流总谐波失真、定子磁链均方差和电磁转矩均方差

2.2 电机参数对权重因子解析算法的影响机制

2.3 参数在线辨识

1.45×10-2

(22)

在永磁同步电机同步旋转d-q坐标系中，永磁同步电机的q轴定子电流方程为

(23)

(24)

根据波波夫超稳定性理论，系统的稳定条件为

(25)

图5 参数匹配及参数失配下的AWF-MPTC的定子磁链均方差、电磁转矩均方差和定子电流总谐波失真

式中：γ2为正实数。永磁体磁链辨识的自适应律可以表示为

(26)

2.4 算法总体框架

图6 所提出的AWF-MPTC的总体框图

3 实验验证

在图7中的永磁同步电机实验平台上对AWF-MPTC与T-MPTC进行实验验证。永磁同步电机的参数设置如下：Rs=2.83 Ω、Ls=14.7 mH、ψf=0.321 Wb、Tnom=13.2 N·m、nnom=1 500 r/min。

图7 永磁同步电机实验平台

AWF-MPTC与T-MPTC的动态性能如图8和图9所示，速度指令设置为2.0 s时500 r/min、4.0 s时1 500 r/min、6.0 s时800 r/min。实验结果表明，与传统T-MPTC相比，本文所提出的AWF-MPTC具有较小的转矩脉动和定子电流THD(总谐波失真)。当转速为800 r/min时，AWF-MPTC的转矩脉动为2.0 N·m，而T-MPTC的转矩脉动为3.0 N·m。当转速为500 r/min时，AWF-MPTC 的定子电流THD为11.48%，而T-MPTC的定子电流 THD为13.76%。

负载转矩突变情况下AWF-MPTC的动态性能如图10所示。实验结果表明，在负载转矩突变的情况下，转速有略微下降，出现了动态降落，之后迅速在基准值建立新的平衡。由此表明，AWF-MPTC在突加负载时的动态性能良好。

T-MPTC和AWF-MPFC的稳态性能如图11和图12所示。其中图11为额定转矩与额定转速下AWF-MPTC与T-MPTC的稳态性能对比图。图12为PMSM驱动器的控制算法在4.0 s时从T-MPTC切换到AWF-MPTC。可以看出，转矩脉动从3.5 N·m降低到2.5 N·m，定子电流THD从13.21%降低到11.08%。与T-MPTC相比，AWF-MPTC稳态性能的改善，一方面得益于解析权重因子，另一方面得益于精确的预测模型。

图8 AWF-MPTC的动态性能

图9 T-MPTC的动态性能

图10 负载转矩突变时AWF-MPTC的动态性能

图11 额定状态下T-MPTC和AWF-MPTC的稳态性能

图12 T-MPTC和AWF-MPTC的稳态性能

图13 当时T-MPTC、不带参数辨识AWF-MPTC、AWF-MPTC的鲁棒性能

图14 当时T-MPTC、不带参数辨识AWF-MPTC、AWF-MPTC的鲁棒性能

4 结 论

通过分析永磁同步电机电磁转矩与定子磁链幅值的内在关系，提出了一种永磁同步电机模型预测转矩控制权重因子的解析计算方法，并仿真对比分析了本文所提出的AWF-MPTC与传统T-MPTC的定子电流THD、定子磁链RMS、电磁转矩RMS。由于AWF-MPTC的权重因子解析方程依赖于永磁同步电机的参数，因此本文采用在线参数辨识来提高其计算精度和预测模型的精度。实验结果表明，所提出的AWF-MPTC算法比传统算法具有更好的动态性能、稳态性能和鲁棒性。但是AWF-MPTC的代价函数不包含开关频率项及其权重因子，这将是后面要研究的内容。