张振超

(南京航空航天大学苏州附属中学，江苏苏州，215122)

1 情境教学中的学科素养与关键能力

高考评价体系是“一体两面”的综合体系.首先，它是评价考生素质的理论体系，以“四层”为考察内容，评价考生素质内涵.在“四层”中，学科素养是指进入高等学校的学习者在面对生活实践或学习探索问题情境时，能够在正确的思想评价观念指导下，合理运用科学的思维方法，运用学科相关能力，有效整合学科相关知识，高质量地认识问题、分析问题、解决问题的综合品质.关键能力是指进入高等学校的学习者在面对与学科相关的生活实践或学习探索问题情境时，高质量地认识问题、分析问题、解决问题所必须具备的能力.[1]

《中国高考评价体系说明》中指出，基于情境或情境活动的命题要求，结合考查要求、考查载体及考查内容，将情境活动分为四大类：基于基本层面要求学生可利用单一知识或技能解决的情境活动；基于综合层面要求学生可利用多种知识与技能解决的情境活动；基于生活实践或学习探索问题情境要求学生可运用多种知识与技能来解决生活实践中的应用性问题；基于开放性的生活实践或学习探究问题情境要求学生创造性地解决问题，形成创造性的结果或结论.[2]

2 教学中的问题情境与学科素养及关键能力对应关系

情境教学中，首先设计好一连串的情境，附带层层深入的问题串.利用各个情境之间的纵向与横向延伸和递进，串联知识的同时，把学科素养与关键能力也进行考查与考验.

通过阅读满足数学对象的必要因素和必要形式的生活或实践情境提炼数学问题，建立数学模型，将情境“数学化”[3]，最后利用学生的认知能力与数学综合知识解决实际问题.

表1 问题情境与学科素养及关键能力[1]对应关系

3 情境教学实例——导数在可乐的外形设计中的应用

情境一

图1 A种200 mL每灌2元

图2 B种330 mL每灌2.5元

问题提出：以上A、B两种可乐，单位毫升哪一种更贵一点呢？

模型建立：该问题可提炼为单位容量饮料的价格比较.

问题结论：包装小的A种可乐单位毫升更贵一些.

问题提出：能否用数学知识解释一下？饮料瓶越大，商家利润就越大吗？

下面通过例1来寻求问题的答案.

例1(选自人教A版选择性必修第二册例题)

某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径.已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大的半径为6 cm.试讨论瓶子半径多大时，该制造商的利润最大？

解答设利润为f(r)，则由题意可知，

所以

f′(r)=0.8π(r2-2r).

令f′(r)=0，解得r=2.

通过表格列出函数单调性与导数正负的关系：

表2

结论： 可乐的利润是与材料的大小是有关的，首先随着球形瓶装的半径的增大而减少，接着随着半径的增大而增大.因此，并不是饮料瓶越大，商家利润就越大.

素养与能力：该情境是一个基础层面的教学情境，以学生爱喝的可乐作为载体引入，提高了学生的学习兴趣，提升了学生的课堂参与度.通过对可乐的有关信息捕捉与获取，利用一连串的问题，引出与利用导数来研究的可乐利润问题，让学生深刻体会问题的本质，利用学生已有的活动经验，对所学知识进行整合，考查学生的信息整理、阅读理解等知识获取能力.

情境二

图4 C种330 mL每灌2.5元

问题提出：如图3、4，同等价格、同样容积的330 mL圆柱形灌装可乐，哪一种更节约材料？

图3 B种330 mL每灌 2.5元

模型建立：近似圆柱体(用圆柱体替代)金属饮料罐的容积(体积)一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省，从而降低成本来增大利润？

图5

通过表格列出函数单调性与导数正负的关系：

表3

问题结论：在圆柱体金属饮料罐的容积一定时，它的高是底面半径的2倍时，才能使所用的材料最省.

素养与能力：该问题情境是一个基础层面的情境，利用学生熟知的圆柱体引入，对学生符号理解、语言解码、信息转化等关键能力提出要求.难度在于通过信息的获取与语言信息的转化，利用熟知的综合知识及建模等思想方法解决问题.

情境三

问题提出：既然可乐的利润与材料有关，在材料多少一定的情况下，如何设计才能使得体积最大，进而使同样多的材料储存更多的饮料？

模型建立：近似圆柱体(用圆柱体替代)金属饮料罐的使用材料(表面积)一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使体积最大？

那么列表如下：

表4

问题结论：在圆柱体金属饮料罐的使用材料(表面积)一定时，它的高是底面半径的2倍时，才能使体积最大，使同样多的材料储存更多的饮料，进而节约材料成本，提高利润.

素养与能力：该情境是情境二的纵向延伸，知识层面是导数及体积的平行迁移，对现有知识进行重组、整合及对模型进行二次建模与求解，运用熟悉的数学符号语言加以表述与运算，注重独立性与发散性思维的培养.在情境中思考数学问题，在问题中反馈必备知识，在结论中领悟数学思想.该情境对基础知识素养与思维认知能力有一定的要求.

情境四

问题提出：在材料多少(表面积)一定的情况下，将饮料瓶设计成为熟悉的怎样的几何体(柱、锥、台、球)，才能使得饮料瓶的容积(体积)最大？

模型建立：金属饮料罐的使用材料(表面积)一定时，把它设计为圆柱体、球体以及正四棱柱这三类，哪一种几何体体积最大？

图6

图7

图8

问题解析：

那么列表如下：

表5

问题结论：以上三种几何体(球体、圆柱体以及正四棱柱)在表面积一定并且相等时，分别算出了它们体积的最大值：

对三个体积进行比较得到(V2)max>(V1)max>(V3)max.因此，金属饮料罐的使用材料(表面积)一定时，球体体积最大，其次是圆柱体，最小的是正四棱柱.

素养与能力：此情境是一个综合层面的问题情境.根据该问题情境的需要，需合理组织、调动各种相关知识与能力，系统化、多角度、多层面整合加工信息.通过几何体体积、导数等必备知识的运算与运用，运用联想、类比、引申、对比等思维方法，对批判性思维要求较高.

情境五

问题提出：在饮料瓶总体积一定的情况下，将饮料瓶设计成为熟悉的怎样的几何体(柱、锥、台、球)，才能使得饮料瓶的表面积最小？进而节约材料成本来提高利润.

模型建立：金属饮料罐的体积一定时，把它设计为圆柱体、球体以及正四棱柱这三类，选择哪一种几何体才能使得表面积最小？

问题解析：

那么列表如下：

表6

问题结论：以上三种几何体(球体、圆柱体以及正四棱柱)在体积一定并且相等时，分别算出了它们表面积的最小值：

对三个表面积进行比较得到(S2)min<(S1)min<(S3)min.因此，金属饮料罐的体积一定时，球体表面积最小，其次是圆柱体，最大的是正四棱柱.

素养与能力：此情境同样是一个综合层面的问题情境，是情境四的纵向延伸，知识层面是导数及表面积的平行迁移，对现有知识进行重组、整合及对模型进行二次建模与求解，运用联想、类比、引申、对比等思维方法，考查学生利用综合知识与能力的水平，对批判性、创新性及辩证性思维要求较高.

4 数学学科素养与关键能力导向下的教学情境创设策略

4.1 情境创设的有效性与必要性

教学情境可以取自于天文、地理、历史、文化、艺术等等，也可以取自于生活中的事件，合理的情境创设有助于学生根据知识点的来龙去脉准确把握知识内容.通过精读情境提取有效信息，进行数学建构，也就是情境的“数学化”.教学情境在新课知识引入、旧知迁移应用、课堂内容消化等方面可增强学生对数学的接受度与承受力. 例如在高中数学《数列》一章中，引入斐波那契数列、欧拉求和、大臣与国王在棋盘上放米粒的故事等等，这些情境的创设减轻了数学问题的 “直白与无趣”，增加数学趣味性，促进学生学习数学的积极性与参与感，帮助学生深刻理解数学知识内容. 创设教学情境并非教学活动的内在需要[4]，情境一定是为教学内容服务的，而不是增加教师的教学负担以及学生的学习负担，好的情境是学习内容与学习效果上的高达成度的催化剂.

4.2 情境创设的可选择性与指向性

数学情境的创设更像是对于客观事件的具体表达，这种表达是数字化的、符号化的、公式化的、图形化的，正如史宁中教授说过：“数学是对现实世界的数量关系、空间形式和变化规律进行抽象，通过概念和符号进行逻辑推理的科学.我们要会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界.”学生在学习过程中，需要发展哪些学科素养，需要培养哪些关键能力，这是情境创设中首先要明确的.情境的创设应该以激发数学学习兴趣为导向，以分解数学难点为目的，以培养素养与能力为重心.因此，在情境的选择上要有指向性，明确情境创设的意图.

4.3 情境创设的多样性与复杂性

根据问题的需要，在创设情境时需要对情境问题进行明确，然后根据问题选择所需要的情境.可把情境问题分为两大类，第一类是概念性的情境，此类情境把相对抽象的数学概念放在“情”与“境”中，获得数学概念与感受知识生成的过程，而不是“填鸭式”的灌输.第二类是过程性情境，此类情境是在综合情境下，把比较抽象的问题转化为具体的、有明确数据的、可进行数学建构的问题，再利用数学能力与素养解决数学问题.