⦿海南热带海洋学院附属中学 杨春雨 齐立艳

1 应用GGB软件探索函数性质的思考

在初中只是从宏观上了解函数的简单性质，对高一学生来说，刚刚接触函数的“对应说”，突然要转变观念从微观上用符号语言来具体刻画函数的性质，不仅陌生而且抽象，再加上函数性质应用的灵活性，则更显得茫然.学生认为函数难懂、难学，信心受挫，望而却步.

“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”为解决抽象性这一难点，我们将GGB软件融于数学教学.GGB是基于我们熟悉的描点作图法，能够便捷迅速地绘制各种函数的图象的计算机软件，对数与形给予了科学的完美结合.借助该软件生成图象的动态过程可以猜想、验证函数的图象与性质.同时该软件嵌有代数区给与数据支撑，使问题的解决直观化、动态化、数据化，形成其独特的美感.因此通过GGB软件，用运动与变化的观念，用数学的眼光发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，进而达到对函数性质的本质深入地理解.GGB软件可以将直观的定性分析与利用数据定量刻画相结合，为学生研究函数的性质提供了研究思想和方法，并为形成统一的研究路径提供理论支持.

2 将GGB软件融入问题式课堂教学

2.1 问题设计的目标

以问题串穿针引线，引导学生用数学的眼光发现问题、分析问题，有逻辑地思考，能“跳一跳摘到果子”，逐级递进，层层深入，能够用数学的思维解决问题.

2.2 问题设计的原则

(1)在知识形成过程的“关键点”上设置问题，利用GGB软件促使学生建立函数表达式与图象间的联系.明确是什么函数？要解决什么问题?

(2)在运用数学思想方法产生解决问题的“关节点”上，思考运用什么样的方法解决问题?

(3)在数学知识之间的“联结点”上，在学生思维的“最近发展区”内，设计细小、具体并体现思维的严谨性、多元化、发展性的问题.

(4)在数学问题变式的“发散点”上， 体现问题的探索性、发散性和主题性.

(5)亦可考虑问题的趣味性，为激发学生的兴趣而设.

问题是数学的心脏，基于问题链的课堂教学可以引导学生有层级、逐步深入地思考，还为学生思维上的探索提供了可能性[1].恰当的问题，对学生数学思维有适度启发的作用，引导学生思考和自主探索，让学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维的基本过程，体会数学研究方法、积累数学活动经验.

3 应用问题设计探索“对勾”函数性质的研究路径实例

3.1 观察结构，确定问题

问题1联想前面幂函数的研究内容，你认为可以从哪些方面研究这个函数？

问题2联想前面研究幂函数的路径和方法，你认为可以按照怎样的路径研究这个函数？

问题3按照你构建的路径研究你想到的问题.

用GGB软件研究函数是观察具体函数图象上点的运动与数据的关系，观察其变与不变性.回顾已有研究幂函数的路径：

具体函数—图象特征—数量刻画—符号语言—定性分析—抽象定义.

经过这个环节学会“用数学的眼光观察世界”，确定要研究的问题.

3.2 画图观察,数量刻画

图1

经历画函数图象，形成直观认识；跟踪点的变化趋势，微观上刻画变化规律.这样，不仅积累了相关数学基本活动经验而且加深了认识，建构了新知识，符合学生的认知规律，形成初步的感性认识.

详见：https://www.GGB.org/classic/xgqyszvr

学生活动：分组讨论，互助学习.可以根据软件中提出的问题，逐步回答，得到规律.

3.3 定性分析，总结规律

应用GGB软件呈现动态图象的灵动效果，成为感性认识的源泉.结合问题串，运用数据进行定性分析，形成理性判定.

数学是思维的体操，需要经验的历练，需要用联系的眼光思考和分析问题，培养学生思维、迁移能力并使之逐步成为数学素养.

3.4 抽象总结,符号表达

3.5 循环检验,形成路径

学生利用GGB软件经历了探索函数性质的研究过程.其中，思维灵敏的学生一眼就能看出变化规律，但也只是感性的，没有注意到中间的观察顺序，思维较慢的学生可能并非自己所思，只是顺势完成.所以，探究中要做到两个循环.一是循环看动态图象，这个变化规律是否具有任意性，让学生懂得知识的完备性.(回答问题6(1).)二是要求学生回顾研究的路径，把握问题的思考顺序和方向，让思维形成一个完整的链条而非碎片化.(回答问题6(2).)

图象可点击GGB软件网址：https://www.GGB.org/classic/xgqyszvr

3.6 解决问题,实际应用

问题7“对勾”函数模型的应用价值是什么？

例题要建造一个容积为1 200 m3，深为6 m的长方形无盖蓄水池，池壁的造价为95元/m2，池底的造价为135元/m2，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价控制在7万元以下，何时造价最低？

关键点：体会利用对勾函数模型解决实际问题.

本问题可解且可用软件“取极值点”工具进行验证.

解答见对勾函数应用(最省问题)-GeoGebra

本例题说明对勾函数模型的应用很广泛，可以解决很多最优化问题，让学生了解此模型的应用价值，体现数学模型的工具作用.

4 应用GGB软件探究函数性质的研究路径

数学是模式的科学，通过探究对勾函数的图象与性质，将探究对勾函数的图象与性质的过程和方法加以总结并推广，形成探索一般函数性质的研究路径.

在这个路径中，首先培养学生用数学的眼光观察函数的结构，产生联想，与前面所学的知识产生联系，哪些知识可用，哪些知识是相似的，采用类比的方法观察、分析，实施实验.在这些过程中要了解学生的思维发展进程，为了让学生的思维得以延续，所以要借助教师的问题串搭建阶梯，让学生能够拾阶而上，完成数学“三种语言的转换”，能够自己尝试解决问题.最后设置实际应用问题，让学生感受数学来源于生活，又反过来可以指导生活，体现数学的应用价值和育人价值.这也是由过去教师教转变为现在借助软件促成学生学的研究路径，也是顺应学生思维发展规律的探索，如图2.

图2

5 启示

史宁中教授说：“信息技术正在通过与学科的融合来改造我们的教学，形成一种全新的教学模式.”[2]数学核心素养是新课程教学改革深化的重大成果，基于GGB软件进行数学可视化教学是提升数学核心素养的重要途径之一，有着巨大的应用空间，只有将信息技术深度融合于教学内容中，并将可视化操作从教师手中转移到学生手中，才能实现从形式到内涵的转变[3].“多维+互动+实践”是一种实验式教学模式，它让教学活动更生动，能够促使学生深入地理解问题，促进学生的有效学习，提高课堂效率.