⦿安徽省萧城一中 杨 刚

教材与考试大纲是历年高考命题最直接、最基本的基石，尤其数学教材一直是高考命题的主要依据.借助数学教材中的一些例(习)题，或融合数学知识，或挖掘问题背景，或提炼思想方法，或优化解题策略，或倡导综合应用，或拓展探究提升等，形式各样，变化多端.高考命题植于教材情理之中，源于教材意料之外，高于教材能力之上.

1 真题呈现

(1)求C的方程；

题目设置比较常规，第(1)问通过双曲线的定义确定轨迹方程，比较简单，如果采用直译题意建立关系式来处理，化简方程时运算量比较大；第(2)问通过直线方程的设置，联立直线与双曲线方程，消元处理，思维也比较常规.

2 追根溯源

以上高考真题源于普通高中课程标准实验教科书《数学·选修4-4·A版》(人民教育出版社，2007年1月第2版)第38页例4：

AB，CD是中心为O的椭圆的两条相交弦，交点为P.两弦AB，CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1，∠2，且∠1=∠2.求证：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.与以上教材中的例4相应的探究题：如果把椭圆改为双曲线呢，是否有类似的结论？

3 真题破解

高考真题的第(1)问比较常规，其解答过程如下：

方法一：设线法——普通方程.

所以 |TA|·|TB|

根据|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，可得

所以，直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.

点评：设直线的普通方程，是破解此类直线与圆锥曲线位置关系问题最常用的基本方法.根据直线存在斜率，设出直线的点斜式方程，与圆锥曲线方程联立，结合消元转化为对应的方程，利用根与系数的关系以及弦长公式加以变形与转化，借助替换法求解另两条线段长积的表达式，进而确定两直线的斜率之和为0.设线之普通方程法是最基本，也是破解时最容易想到的思路方法，但运算量比较大.

方法二:设线法——构造方程.

所以 |TA|·|TB|

以下与方法一的解析相同.

方法三:设线法——参数方程.

根据|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，可得

所以16cos2α-sin2α=16cos2β-sin2β.

即17cos2α-1=17cos2β-1，亦即cos2α=cos2β.

由α≠β，可得cosα=-cosβ，于是α+β=π，则有tanα=-tanβ，即tanα+tanβ=0.

所以直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.

点评：设线之参数方程法，可以直接利用直线参数方程中对应参数的几何意义来处理与转化有关的线段长度问题，使问题的破解更加直接有效；同时又可以避免讨论直线斜率的存在性问题，在一定程度上可优化解题过程，减少运算量.设线之参数方程法，现行的教材不作要求，但作为拓展与提升的知识，有时可以很好地处理一些相关问题.

4 变式拓展

事实上，以上高考真题中“有相同交点的两割线长度的乘积相等”与“有相同交点的两割线所在的直线的斜率之和为0”是等价条件，可得到以下对应的变式问题.

(1)求C的方程；

所以|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|.

5 推广探究

总结以上椭圆、双曲线的问题，进一步加以推广探究，可以得到以下一般性的结论：

若AB，CD是中心为O的圆锥曲线(椭圆、双曲线或抛物线中的一种)的两条相交弦，交点为P.两弦AB，CD的倾斜角分别为α，β(α≠β)，则α与β互补⇔ |PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

此处两条相交弦所在的直线的倾斜角互补，可以有其他的等价说法，如对应直线的斜率之和为0等.