⦿广东省信宜市信宜中学 梁北永

圆锥曲线(椭圆或双曲线)离心率取值范围的问题一直是高考的一个热点问题.此类问题创新新颖，形式各样，变化多端，难度较大.下面结合2021年高考数学乙卷理科试卷中的一道椭圆的离心率取值范围的确定加以剖析与总结.

1 真题呈现

2 真题剖析

该题以椭圆为问题背景，借助椭圆上的动点所对应的线段长度的不等式恒成立来设置问题，简单易懂.其实，类似的问题最早出现在2021年5月份东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学三模数学试卷(理科)中：

该问题与以上高考真题几乎一致，都以选择题的形式出现，题干基本一样，选项有些许不同，所选结果也是一样的.

3 真题破解

方法1：二次函数的图象与性质法.

解析：由题意可得B(0，b).设P(x0，y0)，则y0∈[-b，b].

根据题目条件|PB|≤2b恒成立，则知当y0=-b时，|PB|2取得最大值(2b)2=4b2.

点评：设出动点P的坐标，根据其满足椭圆方程进行合理变换，利用两点间的距离公式，合理消参，转化为含有参数y0的二次函数问题.根据题目条件中|PB|≤2b恒成立，转化为二次函数的图象与性质问题，建立对应的关系式.再利用椭圆离心率的公式以及取值范围来分析与处理.合理转化，把问题转化为二次函数问题来处理，是破解此类问题最常用的基本方法之一.

方法2：椭圆与圆的位置关系法.

解析：由C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则知以B(0，b)为圆心，2b为半径的圆与椭圆至多有一个交点.

(a2-b2)y2+2b3y+3b4-a2b2=0.

结合椭圆离心率e的几何意义可知，当e→0时，此时椭圆越圆，满足条件.

点评：根据题目条件中|PB|≤2b恒成立，转化为对应的圆与椭圆的位置关系问题.通过联立圆与椭圆的方程，消参转化为含y的二次方程，利用判别式为0确定对应参数的关系，进而求解此时所对应的椭圆离心率.再利用椭圆离心率e的几何意义确定离心率的取值范围.等价转化，结合圆与椭圆的位置关系，借助方程的判别式法来处理，思维巧妙.

方法3：三角参数法.

由于|PB|≤2b恒成立，则有a2cos2α+(bsinα-b)2≤4b2.

整理可得(a2-b2)sin2α+2b2sinα+3b2-a2≥0.

即[(a2-b2)sinα+3b2-a2](sinα+1)≥0.

点评：根据点P是椭圆C上任意一点进行三角参数换元处理，结合题目条件中|PB|≤2b恒成立建立对应的不等式.通过十字相乘法加以因式分解，利用三角函数的图象与性质，结合不等式恒成立加以转化，建立含参的不等式问题.再利用椭圆离心率的公式以及取值范围来分析与处理.通过三角参数进行换元处理，引入三角函数，借助三角函数的相关知识来分析与处理，也是一种非常不错的破解方法.

图1

方法4：数形结合法.

解析：由题意可得B(0，b)，作出以点B为圆心，以2b为半径的圆，如图1所示.

设A为圆上任意一点，设∠ABO=θ(0≤θ<π)，则知A(2bsinθ，-2bcosθ+b).

由C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则知点A必在椭圆C外(包括椭圆上)，即

①

当sinθ=0时，①式显然成立.

点评：根据题目条件作出以点B为圆心，以2b为半径的圆，通过题目条件中|PB|≤2b恒成立，数形结合转化为圆上任意一点A必在椭圆C外(包括椭圆上).结合点A坐标的确定并代入椭圆方程，分离系数转化为三角函数关系式，结合不等式恒成立以及三角函数的取值范围建立不等式，再利用椭圆离心率的限制条件来分析与处理.数形结合处理，直观形象，合理转化，巧思妙想，也是一种不错的精彩解法.

4 教学启示

破解圆锥曲线中离心率取值范围问题的常见策略技巧：

(1)借助“题目条件”合理切入，直接利用题目条件中的不等信息建立对应的不等式(组)，并利用圆锥曲线中离心率的取值限制条件加以综合与应用.

(2)抓住“平面几何”数形直观，结合平面几何图形的基本性质，如三角形、圆等的基本性质，综合圆锥曲线的几何性质，数形结合，直观想象.

(3)利用“三角参数”巧妙转化，合理利用题目条件引入三角函数，将目标问题转化为对应的三角函数问题，结合三角恒等变换以及三角函数的图象与性质等来确定对应的取值范围.

(4)结合“端点效应”进行特殊处理，根据圆锥曲线中在极端位置时所对应的离心率，通过“动”与“静”的结合来确定离心率的取值范围.

对于具体的圆锥曲线离心率的取值范围问题，灵活应用，或一种策略独领风骚，或多种策略齐心协力，或另辟蹊径，合理转化，巧妙破解.