⦿杭州第七中学 王浩宇

1 试题呈现

(1)求f(x)的单调区间.

(2)已知a,b∈R，曲线f(x)上不同的三点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),(x3,f(x3))处的切线都经过点(a,b).证明：

(注：e=2.71828……是自然对数的底数.)

2 思路分析

本题第(1)小题求导即可，较为简单.下面主要对第(2)小题进行思路分析.

2.1 第(2)小题第(ⅰ)问思路分析

分析题干，发现命题者在题干中给出了曲线过点(a,b)的三条切线，题干中的信息可转化为方程b=f′(x)(a-x)+f(x)有三个正根.

思路一：函数零点个数.

由于方程b=f′(x)(a-x)+f(x)无法直接求解，故将其等价转化为函数零点个数问题，画出函数的草图，数形结合分析，可知a，b需满足的条件.此时不等式左侧已经得证，而右侧不等式的证明则可通过分析法，放缩b的范围得证，此为方法1.

思路二：两个函数图象交点个数.

进一步研究发现，可将b单独分离，减少函数中参数的数量，便于计算.将问题转化为两个函数图象交点个数的问题，该方法与方法1类似，在计算上略有简化，此为方法2.

思路三：换元法简化计算过程.

方法2中函数有较多分式，在求导时计算量较大，故对该函数使用换元法(取倒数)，将分式转化为整式简化计算，其余做法与方法2类似，此为方法3.

第(ⅰ)问具体思维导图如图1所示.

图1

2.2 第(2)小题第(ⅱ)问思路分析

分析题干，由思路分析可知h(x)的单调性，可得条件1.由于所证结论中存在x1,x3，因此大胆进行尝试，写出h(x1)和h(x3)的具体表达式；由于所证结论中未出现参数b，故将h(x1)与h(x3)两式相减消去参数b，可得条件2.此处是该题的一个难点，在没有思路时，可大胆猜测，小心求证.

为了缩小已知和求证之间的差距，尝试对所证的结论进行转化.参考a

思路一：单向放缩化简.

思路二:双向放缩化简.

思路三：函数单调性证明.

在方法3构造函数的过程中，发现可以利用函数p(x)的单调性证明，此为方法5.该过程可以避免构造函数和对不等式进行放缩，只需利用p(x)的单调性.在具体计算过程中发现该方法计算量非常大且非常繁琐，构造的函数也较难想到，故并不推荐.

思路四：极限法消参.

对要证结论消参，将x1,x3中的一个用e和a表示，之后证明极端情况成立.所得式子与一元二次不等式有非常类似的结构，故考虑以求解一元二次不等式方式进行证明，该过程需要使用泰勒公式将对数函数进行转化，此为方法6.

第(ⅱ)问思维导图如图2所示：

图2

3 具体解答方法

3.1 第(1)小题解答方法

3.2 第(2)小题第(ⅰ)问的解答方法

分析题干：

f(x)上不同的三点处的切线为

y=f′(xi)(x-xi)+f(xi)(i=1,2,3)

由于点(a,b)满足上面三个方程，因此b=f′(x)·(a-x)+f(x)有三个正实根x1,x2,x3.

方法1:函数的零点个数.

构造函数h(x)=f(x)-b-f′(x)(x-a)，要满足题目条件，需要h(x)有三个正零点.画出h(x)的草图，如图3所示.

图3

方法2：两个函数图象的交点.

设g(x)=f(x)+f′(x)(a-x),则g(x)的图象与y=b有三个交点.g(x)草图，如图4所示.

图4

方法2是方法1的变式，计算量与方法1接近，分别从两函数图象的交点和函数的零点角度分析问题.但以上两种解法均有分式出现，可否一开始就进行换元达到化简运算的目的？由此得出方法3，主要考查学生直观想象的数学核心素养.

图5

方法3：换元法化简计算.

3.3 第(2)小题第(ⅱ)问的解答方法

方法1：不等式转化与放缩.

条件1：若0

代入t1+t3的值并化简，

①

方法1最后的求导计算量非常大，主要考查学生数学运算的核心素养.在该方法的研究过程中，因为q(x)的式子结构较为复杂，考虑到x=1既是q(x)的零点，也是q(x)的拐点，故大胆尝试将n-1看成一个整体对q(n)进行化简，构建高阶无穷小量，该方法能够大幅度减少运算量，但是较难想到.虽然该方法的思路高于学生现有的认知，但是教师可以将此作为学生思维的最近发展区，引导成绩优秀的学生进行研究.

方法2:双向放缩不等式.

笔者尝试对方法2中的计算步骤进行化简，尽可能构建已知和未知的相同部分，最终得到更简单的方法3.教师在讲解的过程中，也要做到“优术”，层层递进简化计算.

方法3：对比消元.

和第(ⅰ)问一样，由于证明过程中需要多次用到换元法化简，故笔者尝试在证明开始就使用换元法，得到方法4.方法4的证明思路与方法1类似.

方法4：倒数换元.

放缩不等式除了求导、舍去较小值以外，还能利用函数单调性，方法4就是利用特殊函数p(t)的单调性解决问题.该方法思维含量较少，但是计算量非常大，会消耗学生大量时间，不划算.

方法5：特殊函数法.

笔者继续寻找计算量更小的方法，通过对p(t)的分析，发现p(t)非常接近二次不等式，仅多出一个对数结构的式子.回顾高中数学知识，泰勒公式展开能将对数转化为整式，故尝试使用泰勒公式展开化简问题，方法如下.

方法6：泰勒公式展开.

4 总结

2022年的浙江高考数学压轴题继承了浙江卷命题简捷明了的风格，并未出现大段文字，为了与明年的全国卷衔接，压轴题还出现了需要转换的内容，学生需要将“三条切线过同一个点”这个条件进行转化，以此获得解题所需的不等式.

该题为双变量含参不等式的证明，属于难题，主要难点在计算和等价转化上.该题不仅考查学生对数学解题“术”的应用，还考查学生对数学解题“道”的理解.对于这类含有参数的不等式，通过构造不同函数，利用函数图象不断等价转化，类比讨论，采用极端位置分析等方法，考查学生数学建模、数学运算、直观想象、逻辑推理等数学核心素养.

解题过程中的感悟如下：

多参函数设主元，整体代换简运算；

泰勒展开来帮忙，适当放缩繁变简.