贺蓉，汪鑫林，傅旻帆

（1.上海科技大学信息科学与技术学院，上海 201210；2.中国科学院大学中国科学院上海高等研究院，上海 201210）

得益于新一代开关器件、集成技术和控制系统的发展，无线充电技术效率得到显著提升。感应式无线充电技术以便于维护、方便快捷和安全可靠等特点在某些场合逐渐取代有线电能传输技术。不同于有线传输，无线电能传输系统需要根据不同场合和不同目标需求进行设计，例如需要多个接收线圈满足多负载同时充电的用户需求，多个发射线圈用于增大充电面积和传输能力，而多个接收或者多个发射都属于多线圈无线充电系统[1-7]。

目前学术界关于多线圈无线充电技术的研究大多集中在单发射多接收系统或者多发射单接收系统，系统效率最大化是研究目标之一。文献[8]研究了单发射多接收系统耦合线圈效率最高点，并归纳了最高点时副边侧的最优负载电阻和原边侧对应的反射阻抗。为了满足不同功率需求，许多文献都选择调节系统频率输出不同功率[9-11]，输出自由度低。文献[12]分析了单发射多接收系统在满足不同功率分配需求时系统效率最大化的激励电流；文献[13]总结了多发射单接收系统线圈效率最高点需要的最优电流比例和最优负载。现有文献缺乏以下两点分析和研究：①多发射多接收无线充电系统最优效率点的特性分析；②不同耦合线圈个数系统的共性和特性研究，主要包括输入输出对线圈效率的影响、功率分配和损耗分布等。

本文以多线圈无线充电系统为主要研究对象，以系统效率最大化为主要研究目标，建立电路模型以便于数学建模和仿真研究，主要利用拉格朗日乘子法理论分析求得线圈效率最优时的稳态特性，总结了影响系统效率的主要因素，最后搭建双发射双接收无线充电系统样机验证理论分析的准确性和可行性。

1 多线圈无线充电系统

拥有t 个独立发射线圈和r 个独立接收线圈的多线圈无线充电系统结构如图1 所示，主要包括直流电源Vdc，i、发射侧逆变电路、耦合线圈及其补偿网络、接收侧整流电路和负载。

图1 多线圈无线充电系统框架Fig.1 Configuration of multi-coil wireless charging system

系统调控级电路包括逆变电路、整流电路和外加的DC/DC变换器，耦合线圈及其补偿网络属于无源电路。无源电路特性基本决定调控级电路的控制策略，该特性主要是指输入电压/电流、输出电压/电流和传输效率。高传输效率是系统追求的目标之一，耦合线圈等效串联电阻损耗往往高于其他损耗，因此耦合线圈传输效率最大化是系统效率提升的关键点。耦合线圈常用互感模型表示，其中Ltx，i和rtx，i为发射侧第i 个线圈自感及其等效串联电阻；Lrx，j和rrx，j为接收侧第j 个线圈自感及其等效串联电阻，Mij为第i 个发射侧线圈和第j 个接收侧线圈间互感，kij为耦合系数，定义为

其中，1≤i≤t，1≤j≤r。为了简化分析，暂且忽略发射侧线圈之间的交叉耦合以及接收侧线圈之间的交叉耦合。

2 效率最大化分析

2.1 耦合线圈效率分析

效率分析时接收侧补偿采用S 型结构，完全谐振状态下，整流电路及后端负载可整体视作一个等效电阻，输入以激励电流为例。图2为多线圈无线充电系统的耦合线圈及其补偿网络，Itx，i为第i 个发射线圈的输入电流有效值，Crx，j为第j 个接收侧串联补偿电容，满足jωLrx，j+1/jωCrx，j=0，Irx，j为第j 个接收线圈的输出电流有效值，Rrx，j为第j 个接收端的等效阻抗。

图2 耦合线圈模型Fig.2 Model of coupling coils

每个接收端的KVL 方程为

线圈效率ηc的表达式为

效率最大化问题本质上为带约束式（2）的优化问题式（3），可用拉格朗日乘子法求解[14]，对应的拉格朗日函数为

式中：Itx，1=a1；Itx，2，opt=a1a2；…；Itx，t，opt=a1at；ηc，max为线圈最大效率；Rrx，j，opt为第j个接收的最优等效负载电阻；Rin，i，opt为第i 个发射线圈的最优反射阻抗。最优效率点时，发射端和接收端功率分布呈现不同比例关系，例如：对于每个发射端，其输出功率和损耗比例是一个与最优效率相关的恒定值，每个发射线圈的效率相等，即

式中：Po_tot为负载总功率；Ploss为耦合线圈寄生电阻总损耗，Ploss=Ploss_tx+Ploss_rx，其中Ploss_tx为发射端线圈寄生电阻总损耗，Ploss_rx为接收端寄生电阻总损耗。当Rrx，j，opt≫rrx，j时有

类似地，对于每个接收端，其输出功率和损耗比例也是一个与最优效率相关的定值，每个接收线圈的效率相等，即

且发射端总损耗和接收端总损耗满足

2.2 特殊系统稳态特性

特殊系统包含3 种情况，分别为：①t=1，r=1；②t=1，r>1；③t>1，r=1。将上述3 种情况代入式（5），输入激励、负载电阻和最高效率状态如表1 所示。

表1 特殊系统线圈效率最优点的稳态特性Tab.1 Steady-state characteristics of special IPT system at operating point with maximum coils efficiency

3 仿真验证

不同多线圈无线充电系统有不同的效率特性，尤其是上文提到的特殊系统，最优电流比例和最优负载电阻具有一定程度的独立性。现以3 个不同无线充电系统（单发射三接收、三发射单接收和双发射双接收）为例，仿真验证不同系统的共性和特性。

3.1 单发射三接收无线充电系统

对于单发射三接收无线充电系统（t=1，r=3），仿真模型如图2 所示，仿真软件为Matlab，系统参数如表2 所示。对比不同耦合下（k1=0.2 和0.3，k2=[0.1，0.2]）系统仿真最优负载和采用表1 计算最优负载的区别，其中kj（1≤j≤3）为发射线圈与第j 个接收线圈的耦合系数；Q 是指线圈的品质因数，Q=2πfL/r，其中f为系统运行频率，L为线圈自感，r为线圈内阻。

表2 系统参数（单发射三接收）Tab.2 System parameters（1TX-3RX）

不同耦合下最优负载的对比结果如图3 所示，可以观察到计算值和仿真值基本吻合，说明理论推导是准确可行的。

图3 不同耦合下最优负载电阻仿真值和计算值对比Fig.3 Comparison between simulated and calculated optimal load resistance under different couplings

根据理论分析，对于单发射多接收系统，效率随每个负载电阻变化而变化，理想情况下存在某一点使得线圈效率最大化，这一运行点由线圈参数、频率和发射接收端距离共同决定，与输入激励无关，这是单发射多接收系统与其他多线圈系统不同的一点。

3.2 三发射单接收无线充电系统

另一个特殊多线圈系统为多发射单接收系统，仿真以三发射单接收（t=3，r=1）为例，仿真参数如表3 所示。

表3 系统参数（三发射单接收）Tab.3 System parameters（3TX-1RX）

对比不同耦合下（k1=0.1 和0.2，k2=[0.2，0.3]）系统仿真值和采用表1 计算值的区别，其中ki（1≤i≤3）为第i 个发射线圈与接收线圈的耦合系数，对比结果如图4 所示。图4（a）和（b）分别为k1=0.1、0.2≤k2≤0.3 和k1=0.2、0.2≤k2≤0.3的最优电流比例，图4（c）为最优负载电阻的仿真值和计算值，可见二者基本重合。

图4 不同耦合下最优电流比例、最优负载电阻仿真结果和计算值对比Fig.4 Comparison between simulated and calculated optimal current ratio and optimal load resistance under different couplings

对于多发射系统，主要特点是输入激励如何分配，表1 表明最优电流比例完全取决于互感和寄生电阻，与输出电阻负载无关，仿真不同负载下线圈最高效率点的电流分配，如图5 所示，结果表明不同于其他多线圈无线充电系统，多发射单接收系统的负载电阻不会影响最优电流分配，但决定线圈的最高效率。

图5 不同负载电阻不同电流比例下的线圈效率Fig.5 Coils efficiency under different load resistances and different current ratios

3.3 双发射双接收无线充电系统

多发射多接收系统仿真以双发射双接收（t=2，r=2）为例，仿真参数如表4 所示。对比不同耦合下（k11=0.1 和0.2，k22=[0.1，0.2]）系统仿真值和采用式（5）计算值的区别，对比结果如图6 所示，仿真结果和计算值基本吻合。

表4 系统参数（双发射双接收）Tab.4 System parameters（2TX-2RX）

图6 不同耦合下最优电流比例、最优负载电阻仿真结果和计算值对比Fig.6 Comparison between simulated and calculated optimal current ratio and optimal load resistance under different couplings

根据理论分析，由于多重耦合，多发射多接收系统线圈效率最高点下的最优电流和最优负载是互相制约的，不存在独立于另一变量而存在的最优状态。

3.4 共性分析

对于不同多线圈系统，共性在于功率分配和损耗分布，以损耗为例，仿真不同耦合下最优状态的发射端和接收端损耗值，如图7 所示，3 类多线圈无线充电系统的发射端和接收端损耗都近似相等，其中发射端损耗都略大于接收端损耗。

图7 不同多线圈系统在不同耦合下最优效率点发射接收端损耗Fig.7 Transmitter and receiver losses of different multi-coil IPT systems at operation point with maximum efficiency under different couplings

4 实验验证

以双发射双接收无线充电系统为例进行实验研究。实验频率和线圈参数如表4 所示，实验平台和对应电路模型分别如图8 所示，图9为案例A 最高效率点对应的逆变输出电压、电流以及第2 个逆变器的输出电压、电流和负载电压波形，实验采用功率分析仪和数字万用表测量输入、输出功率，以此为基础计算效率。单路主要包括：直流电源、全桥逆变、耦合线圈（BPP-CP）及其补偿网络、整流电路以及电子负载。实验采用LCC-S 补偿网络，补偿电感为：Ltx11=32 μH，Ltx21=31.85 μH；补偿电容为：Ctx11=109 nF，Ctx，1=57 nF，Ctx21=110.2 nF，Ctx，2=57 nF，Crx，1=153.9 nF，Crx，2=153.9 nF。

图8 实验平台及其电路模型Fig.8 Experimental setup and its circuit model

图9 逆变器实验波形Fig.9 Experimental waveforms of inverters

为了验证理论分析的准确性，实验以2 组不同耦合为例：在最优电流比例左右测试变化负载电阻时的DC 端输入输出功率，以此求得功率，分析效率的实验最优点和理论最优点的匹配程度。案例A中：k11=0.13，k21=0.11，k12=0.1，k22=0.1，通过上文理论分析，结合系统参数，计算此双发射双接收无线充电系统的最优电流比例和最优负载电阻为：a2，opt=Itx，2∶Itx，1=0.193，Rol，opt=4.088 Ω，Ro2，opt=4.264 Ω。案例B中：k11=0.1，k21=0.11，k12=0.11，k22=0.12，同理：a2，opt=Itx，2∶Itx，1=1.1，Ro1，opt=4.063 Ω，Ro2，opt=4.237 V。图10为当线圈电流为最优比例时，线圈效率ηcoil随负载电阻变化情况，图（a）为案例A 仿真结果，图（b）为案例B 仿真结果。

图10 最优电流比例时不同负载电阻下系统效率变化（仿真结果）Fig.10 Changes in system efficiency with optimal current ratio and different load resistances（simulation results）

对于案例A，实验测量了3 组不同线圈电流比例a=0.70，0.91，1.30 下负载变化时系统效率ηs变化曲线结果如图11 所示，可见系统效率在最优电流比例和最优负载时最高。类似地，对于案例B，实验测量了3 组不同线圈电流比例a=0.9，1.1，1.6 下负载变化时系统效率变化曲线，结果如图12 所示。

图11 不同电流比例和不同负载电阻下系统效率变化（案例A 实验结果）Fig.11 Changes in system efficiency with different current ratios and different load resistances（Case A experimental results）

图12 不同电流比例和不同负载电阻下系统效率变化（案例B 实验结果）Fig.12 Changes in system efficiency with different current ratios and different load resistances（Case B experimental results）

以案例A为例，由图10（a）和图11（b）可知，仿真结果和实验结果存在一定误差，但是基本变化趋势一致。由图11 和图12 实际系统实时测试所得表明，在最优电流比例和最优电阻负载下系统效率是最高的，与理论一致。由于逆变电路和整流电路都是非理想状态，变换器本身的寄生参数会影响最优负载，导致计算值和实验值存在一些误差，但系统效率在最优负载附近的值都较高，可忽略误差影响。

5 结语

针对多线圈无线充电系统的效率优化问题，本文提出了求解最优状态稳态特性的通用方法，即拉格朗日乘子法，总结了不同多线圈系统的特性和共性，包括最优状态时的输入输出状态、功率和损耗分布。最高线圈效率点的仿真结果和理论计算基本重合，搭建的实验样机也验证了理论分析的可行性。后续将在本文的理论基础上进一步研究多线圈无线充电系统在特定功率分配下的稳态特性和控制方法。