张鹏飞， 龚立娇,2*， 姚富元， 杨彤， 李红跃

(1.石河子大学机械电气工程学院， 石河子 832003； 2.农业农村部西北农业装备重点实验室(石河子大学)， 石河子 832003； 3.新疆天富检测有限公司， 石河子 832000)

针对磁耦合谐振式无线电能传输(magnetic coupling resonant radio power transfer, MCR-WPT)系统，配置不同的原副边侧谐振结构，系统的传输性能有所不同。并且由于网络阶次的增加，系统的参数优化方法和特性分析也变得复杂[1-2]，因此需对复杂的补偿网络参数进行研究以提高复杂补偿网络的实用性。

文献[3]详细分析串联-串联(series-series,S-S)、串联-并联(series-parallel,S-P)、P-S和P-P 4种基本结构与系统特性，同时以最佳输出功率为目标给出4种基本结构的原副边侧谐振电容计算公式，但没有对高阶补偿网络参数进行研究。

其次在自然恒流恒压传输特性研究上，文献[4]提出LCC-S补偿拓扑结构下输出电压随着负载电阻的变化而稳定不变。为适应负载在不同情况下的充电特性，文献[5]在S-P谐振结构基础上复合CLC型谐振电路，在动态调节中通过交流开关切换谐振结构，实现恒流恒压传输特性；并且文献[6]在LCL-S谐振结构中改变补偿网络参数，达到恒流恒压的系统特性。而文献[7]通过对原边侧谐振电容的改变，达到双负载自然恒流恒压的目的。为简化WPT系统控制的复杂度，文献[8]采用切换工作频率的方式，达到切换恒流恒压的目的，文献[9-10]在系统电路中增加后级DC/DC单元，从而维持恒定的输出电压。

而在补偿网络分析策略上，文献[11-12]为分析LCL型拓扑结构电路，采用阻抗匹配方法进行补偿网络参数配置，但难以分析副边侧高阶补偿网络参数；文献[13]将系统分成多个子系统，利用A参数描述系统外特性，得出在自然恒压特性下的不同补偿网络结构，但忽视了系统元件所存在的寄生电阻的问题。而为消除收发线圈寄生电阻的影响，文献[14-15]构建原边侧分数阶电容，使得系统不仅能达到自然恒流特性，同时保证良好的传输效率。

在上述文献研究的基础上，考虑在实际条件下的电源内阻与元件寄生电阻等情况，现分析S-LCC型拓扑结构系统的传输特性，其次探讨出在最佳输出功率情况下原边侧谐振电容计算公式与副边侧谐振电容相互关系。利用原副边侧谐振元件关系简化输出功率表达式，确定副边侧谐振电容与谐振电感以及寄生电阻对于最佳负载电阻的影响情况，并分析系统输出功率随负载电阻的变化情况，最终通过实物实验对于理论结果进行验证。

1 系统数学模型

图1 S-LCC型MCR-WPT传输系统等效电路Fig.1 Equivalent circuit of S-LCC MCR-WPT transmission system

S-LCC型拓扑结构系统的等效电路模型如图1所示。系统在原边侧通过串联谐振方式进行连接，其中L1和R1为发射线圈等效参数，C1为原边侧谐振电容，US和RS为高频电源的等效电压和内阻。当收发线圈在相同频率状态下能量将由发射线圈传递给接收线圈，其中L2与R2为接收线圈等效参数，C2、C3、L3和R3分别为副边侧补偿网络的谐振电容、谐振电感以及其寄生电阻。后续子系统采用整流电路和滤波电路对负载RLR进行供电，其中发射线圈阻抗Z1=R1+jωL1，接收线圈阻抗Z2=R2+jωL2，Z3=R3+jωL3为谐振电感的实际阻抗且收发线圈互感为M12;ω为电流频率；j为虚数。

根据文献[10]所知，系统的整流滤波电路与负载电阻RLR可以等效为电阻RL，即

(1)

(2)

式(2)为整个系统的回路电路方程，其中当电流频率ω达到收发线圈谐振频率点时，可得到输入电流I1与输出电流I3的有效值表达式，即

(3)

式(3)中:M12为两侧线圈互感值；Z1、Z2和Z3为两侧线圈阻抗和副边侧补偿网络阻抗；Δ为整体电路阻抗矩阵的行列式，其具体表达式为

(4)

搭配合适的整流滤波电路[7]根据输出电流表达式，得到输出功率表达式为

(5)

由式(5)可知S-LCC型拓扑结构下输出功率P与电源等效电压US、等效电阻RS、线圈互感M12、负载电阻RL和补偿网络参数有关。而本文在研究补偿网络对系统传输特性的基础上，对补偿网络元件和最佳负载电阻的相互关系进行详细讨论。

2 恒流恒压下补偿网络分析

由上述的分析结果可得系统的输出电压表达式为

(6)

式(3)和式(6)表明在互感M12与电源电压US不变的条件下，要使系统的输出电流I3与输出电压Uo保持恒定，就需要改变补偿网络参数。

(7)

为分析系统外特性，将式(4)转换为式(7)，式(7)中原边侧等效电阻r和等效电抗x与副边侧等效电抗为x1和x2表达式，如式(8)所示：

(8)

当阻抗矩阵行列式Δ的第一部分为零时系统可达到恒流状态；当Δ的后续部分为零时系统可达到恒压状态。

2.1 恒流谐振参数

研究以恒流传输特性为目的的补偿网络时，相关文献基本会忽略系统元件寄生电阻与电源电阻的影响，因此系统达到恒流特性的参数关系为

(9)

而在不可忽视系统电阻的条件下，由式(7)可知，当阻抗矩阵行列式Δ不含RL参数时，即满足式(10)关系时，输出电流I3才有达到恒定的可能。在参数表达式(11)中，由于原边侧等效电阻r、接收线圈等效电阻R2与收发线圈互感M12皆为正数，式中的第一组关系式要求电抗xx2>0；而第二组关系式要求xx2≤0。两者相互矛盾，显然S-LCC型拓扑结构不存在恒流特性。

(10)

2.2 恒压谐振参数

同理在理想条件下，即不考虑收发线圈等效电阻与电源电阻，确定具有恒压特性的补偿网络参数表达式为

(11)

而在实际条件下，若将式(8)中的后两部分清零,输出电压Uo可不受负载电阻RL的影响。最终得出具备恒压特性的参数表达式，即

(12)

式(12)中:R3为副边侧补偿网络中谐振电感的寄生电阻，而不论收发线圈处于谐振状态还是接近谐振状态下，R3值较小基本可以忽略。

需要注意是S-LCC型拓扑结构系统配置的原副边侧谐振电容参数含有三组，但式(12)仅含有两组关系式，因此需要分情况进行说明。

(13)

(14)

其次考虑当原边侧等效电抗x不为零状态下，系统具备恒压特性的可能。当系统处于理想谐振状态下，即收发线圈等效电阻R1=R2≈0时，利用假设条件得出式(14)。根据式(14)可得出副边侧等效电抗x1和x2相互矛盾，系统无法达到恒压特性。

(15)

尤其处于高频非谐振状态下，线圈等效电阻远大于补偿电感的寄生电阻R3时，即线圈内阻R1=R2≠0，最终可得出具有恒压特性的参数表达式:

(16)

化简式(15)可得到式(16)，确定副边侧回路电抗x1=0，但与式(15)关系式组相矛盾。

最终确定在实际条件下，不论是原边侧等效电抗x是否为零，还是整个系统是否处于谐振状态，整个S-LCC型无线电能传输系统都不具备自然恒压特性。

一种意识的变革隐藏在这些艺术家一系列循序渐进的实践中，在这一时期、这一领域的雕塑中，体积和容积不再是雕塑的唯一表现手段，从对动感的追求到真正使雕塑运动起来，成为当时艺术创作的重要元素。 拉兹洛·莫霍利·纳吉(LaszloMoholyNagy)还在一则宣言中为活动的艺术提供了一套理论，他主张以能量间的关系取代传统艺术观念中形体间的关系，以“动态——解构”系统为手段使空间活动起来。至此，动态雕塑获得了实践与理论的支持，成为了一种新兴的艺术形式。

3 最佳输出功率下补偿网络分析

3.1 补偿网络参数分析

为确定最佳输出功率下的原副边侧补偿网络参数，一般采用阻抗匹配方法将副边侧等效阻抗“反映”到原边侧回路中，进行原副边侧补偿网络参数的配置，但阻抗匹配策略适用于忽略电源电阻与元件电阻的情况。而在不可忽略线圈等效电阻与电源电阻的情况下，本节利用推导出的输出功率表达式，确定最佳输出功率下原边侧谐振电容计算公式与副边侧谐振电容之间相互关系。

首先求出原边侧谐振电容C1计算公式，由式(5)可得到输出功率P与输出电流I3的平方成正比关系,因此在固定负载情况下追求最大输出电流，也是间接得到最佳输出功率。由式(1)～式(5)可知在复杂拓扑结构下补偿网络参数确定比较困难。本文将阻抗矩阵行列式Δ转化为式(17)，由式(3)可知Δ最小时，输出电流达到峰值。

(17)

观察式(17)可发现C1和发射线圈等效阻抗Z1具有“独立性”，与副边侧补偿网络参数无关。由此可假设副边侧谐振电容参数C2与C3为“常量”，与原边侧谐振电容C1无关。因此要使Δ最小，则需要满足：

(18)

最终可得：当处于最佳输出功率下S-LCC型拓扑结构无线电能传输系统中原边侧谐振电容关系与S-S型拓扑结构系统关系[3]相同。

其次讨论S-LCC型拓扑结构系统中副边侧谐振电容C2与C3关系。在固定谐振电感L3的情况下，谐振电容C2仅含于阻抗矩阵行列式Δ中，因此对于谐振电容C2的研究应转化为对Δ的讨论。

将原Δ表达式化简为式(19)，其中部分参数意义与上节参数相同，新增参数意义为r1=RL+R3。将式(5)中阻抗矩阵行列式Δ2化简为式(20)。

(19)

(20)

由于谐振电容C2仅存在阻抗矩阵行列式Δ的x2中，因此将对C2微分改为对x2的微分，即

(21)

化简式(21)，得出副边侧谐振电容C2与C3的关系，如式(22)所示。由式(23)和式(24)得出在最佳输出功率下系统输出功率P与输出电流I3的表达式。

根据下文所采用的系统参数，得出在固定负载电阻RL=200 Ω情况下，输出功率P与输出电流I3随着谐振电容C3的变化情况如图2所示。

图2 输出功率、输出电流与谐振电容的关系Fig.2 Relationship between output power, output current and resonant capacitance

由图2可知，随着谐振电容C3的增加，输出功率P会表现出先增加后减少再增加的趋势，其中当谐振电容C3=7.6 pF时输出功率达到最大值为3.51 W；输出电流I3值|I3|随着谐振电容C3的增加而表现出与输出功率相同的趋势，在同一谐振电容处输出电流达到最大值为0.15 A，这可验证3.1节所提出的间接追求最佳输出功率的策略。

由此可知在固定负载电阻情况下配置合适的原副边侧谐振电路可使系统输出最佳功率。而当补偿网络参数发生变化时就需要改变负载电阻，使得系统输出最佳输出功率。因此分析验证最佳负载电阻随补偿网络参数变化情况是十分有意义的。

(22)

(23)

(24)

3.2 远距离传输分析

3.1节中在固定负载电阻的情况下研究补偿网络中谐振电容的关系，而本节考虑在远距离传输条件下，研究谐振电感的寄生电阻R3与谐振电容C3对最佳负载电阻RLo的影响情况。

系统在长距离传输能量过程中，根据上文补偿网络参数分析结果，可忽略输出功率分母部分中线圈互感M12的影响，简化输出功率表达式，最终转化为含有谐振电容C3、谐振电感L3与负载参数RL的公式为

(25)

参数λ表达式为

(26)

如图3所示，采用系统仿真参数，可看出当整个S-LCC型拓扑结构系统配置不同的补偿网络时，需要“加载”的最佳负载电阻RLo会呈现出随着谐振电阻R3的增加而增加，随着补偿网络等效电抗值|x1|的增加而增加的趋势。

根据这种现象，本节探讨副边侧谐振电路中补偿电感寄生电阻R3与谐振电容C3对整体系统的影响。首先假定收发线圈为理想线圈时，利用式(25)对负载电阻RL进行求导,得出最佳负载电阻所需参数表达式：

(27)

根据微分方程[式(27)]，令函数F为

(28)

其中函数F初值为

(29)

由式(30)可知，在固定负载电阻RL情况下，最优副边侧谐振电抗值|x1|会随着补偿网络的寄生电阻R3增加而增加。

而研究谐振电感的寄生电阻R3对最优负载电阻RLo的影响时，利用式(28)对函数F进行微分操作，结果为

(30)

(31)

当负载电阻RL无穷大时，函数F必然大于零。根据式(29)与式(31)可知函数F存在两个过零点，由求导公式(27)可知输出功率会随着负载电阻的增加而表现出先增加后减少再增加的趋势。

由此在远距离传输情况下，系统输出功率会随着负载电阻RL的增加而呈现出先增加后减少再增加或者一直增加的趋势，如图3中①和②所示(以右坐标数值为输出功率)。

其次谐振电感的寄生电阻R3增加时，函数F初值变大，而从式(30)得出函数F减小趋势变缓，因此最佳负载电阻RLo不断增加。

(32)

图3 不同参数条件下输出功率变化情况Fig.3 Variation of output power under different parameter conditions

但随着负载电阻的不断增加，输出功率分母中有关互感和负载电阻部分起着越来越重要的作用。因此为更全面分析系统的输出功率变化趋势与最佳负载电阻情况，就必须考虑系统中原副边侧互感M12，忽略谐振电感寄生电阻R3。

3.3 近距离传输分析

当系统处于强耦合状态时，忽略谐振电感的寄生电阻R3，本节分析系统的输出功率变化趋势与谐振电容C3和谐振电感L3对最佳负载电阻RLo的影响。

可将输出功率表达式转化为

(33)

式(33)中：参数λ1表示为

(34)

与3.2节分析方法相同，利用式(33)建立微分方程，可得出最佳负载电阻RLo所需参数条件。建立函数F1，如式(35)所示。

(35)

函数F1的初值与终值为

(36)

利用式(38)建立微分方程为

(37)

当RL=|x1|时微分方程的最大值为

(38)

缩短传输距离使得互感M12为20 μH，如图4所示。若原副边侧补偿网络参数满足使式(38)小于零时，则表明函数F1会随着负载电阻RL的增加而不断减少，且当RL=|x1|时函数F1=0，说明整个系统存在最佳负载电阻且输出功率P会随着负载电阻的增加而呈现出先增加后减少的趋势，如图4中③和④所示(以右坐标数值为输出功率)。

其次若补偿网络参数使式(38)大于零时，由上文可知F1(∞)<0，函数F1初值大于零且当RL=|x1|时函数F1等于零，说明整个系统存在负载电阻RL1小于|x1|和负载电阻RL2大于|x1|使得系统达到最佳输出功率。

由此可看出系统输出功率会随着负载电阻的增加而表现出先增加后减少或者先增加后减少再增加又减少的趋势。

分析谐振电容C3和谐振电感L3对于最佳负载电阻的影响情况，当式(38)小于零时最佳负载电阻RLo=|x1|，此时当副边侧等效回路电抗x1<0时最佳负载电阻呈现随着谐振电感的减少而不断增加，随着谐振电容的减少而增加的趋势。而当x1>0时最佳负载电阻随谐振电感的减少而减少，随着谐振电容的减少而减少。

图4 不同参数条件下输出功率变化情况Fig.4 Variation of output power under different parameter conditions

而当式(38)大于零时，最佳负载电阻需满足式(35)等于零，因此设计函数与目标函数为

(39)

(40)

由式(38)可得出最佳负载电阻RL1与RL2应满足：

(41)

在固定谐振电容的情况下函数M目标值Mg为稳定值。其中函数M最小值为2|x1|，而当谐振电感L3减少时，若x1>0时函数M最小值减少且函数前半段减少趋势变缓，同时由式(41)可知较小的最佳负载电阻RL1随着谐振电感的减少而不断减少，最佳负载电阻RL2随着谐振电感的减少而增加。

当x1<0时同理可知最佳负载电阻RL1随着谐振电感L3的减少而增加，RL2随着谐振电感L3的减少而增加。

而研究谐振电容C3对最佳负载电阻的影响时，设计和化简函数T并在RL<|x1|对谐振电容C3进行求导，如式(42)所示:

(42)

在x1>0时可知随着谐振电容C3的减少，在相同负载电阻情况下函数T相对变小，且|x1|值减少时函数T初值变小，由式(41)可得出最佳负载电阻RL1随着谐振电容的减少而减少，RL2随着谐振电容的减少而增加。同理在x1<0时最佳负载电阻RL1随谐振电容的减少而增加。

4 仿真与实物实验验证

为验证本文所提出的副边侧补偿网络谐振电容关系与不同补偿网络参数对输出功率影响结果的正确性，利用阻抗分析仪对实物线圈进行测量，且在谐振频率点处测出线圈参数，最终得出相关参数进行仿真实验分析，具体仿真实验参数如表1所示。

搭建实物实验系统如图5所示，采用信号发生器与功率放大器设计目标频率的输入电源与输入电阻，利用电容C1、C2、C3与谐振电感组成原副边侧补偿网络元件，搭建合适的整流与滤波电路对负载电阻进行供电，图5中示波器对输出电压进行检测。

表1 S-LCC型拓扑结构系统参数Table 1 System parameters of S-LCC topology

图5 S-LCC型拓扑结构系统实物实验图Fig.5 Physical experiment diagram of S-LCC topology system

4.1 副边侧谐振电容关系验证

如图6所示，在固定负载电阻RL=201.2 Ω情况下，当选择不同组的谐振电容C2、C3时,输出功率P都会随着谐振电容C2的增加而表现出先增加后减少的趋势。图6中参考线①、②、③依次为公式得出在谐振电容C3依次减少时的最佳谐振电容C2值。其中可发现在不同谐振电容C3条件下通过实验测出最佳谐振电容C2值与式(22)得出最佳谐振电容C2基本相同，从而验证本文得出的副边侧谐振电容关系。

图6 接收线圈谐振电容关系验证Fig.6 Verification of the relationship between secondary side resonant capacitance

4.2 远距离传输分析验证

设定谐振电容C3=8 pF时，通过改变寄生电阻R3，如图7(a)所示，随着寄生电阻R3的增加，最佳负载电阻由142 Ω增加到155 Ω。同样在C3=25 pF的情况下，如图7c所示，最佳负载电阻会随着寄生电阻的增加而由132 Ω增加到150 Ω，都呈现出缓慢上升的趋势。

在寄生电阻R3=3.5 Ω时，设定谐振电容C3=10 pF基础上不断减少，如图7(b)所示，最佳负载电阻从142 Ω增加到192 Ω。同理设定谐振电容C3而在25 pF基础上不断增加，如图7(d)所示，最佳负载电阻也由132 Ω增加到190 Ω。这符合3.2节谐振电容与寄生电阻对最佳负载电阻影响结果的相关结论。

图7 寄生电阻与谐振电容分析验证Fig.7 Analysis and verification of parasitic resistance and resonant capacitance

4.3 近距离传输分析验证

减少线圈间传输距离使得互感M12=6.38 μH，确定谐振电感L3=50 μH，如图8(a)所示，依次减小谐振电容C3，输出功率P都会随着负载电阻RL的增加而出现先增加后减少的趋势，清晰看出随着谐振电容C3不断减少，最佳负载电阻也从164 Ω增加到214 Ω。同理设置谐振电容C3在23.5 pF的基础上不断增加，如图8(c)可看出最佳负载电阻由152 Ω增加至214 Ω。

如图8(b)所示，设定谐振电容C3=10 pF时，通过减少谐振电感L3，最佳负载电阻也从164 Ω增加到210 Ω；当谐振电容为24 pF时，改变谐振电感由48 μH增加到51 μH，如图8(d)所示，可发现最佳负载电阻从125 Ω增加到210 Ω。由实验结论可验证出3.3节谐振电容与谐振电感对最佳负载电阻影响结果的相关结论。

图8 谐振电感与谐振电容分析验证Fig.8 Analysis and verification of resonant inductance and resonant capacitance

5 结论

本文的研究目标是在S-LCC型拓扑结构无线电能传输系统的基础上,以研究谐振参数关系来达到系统最佳特性为目的。最终得出以下结论。

(1)分析补偿网络中谐振电容的相互关系。最终确定在最佳输出功率的情况下原边侧谐振电容的计算公式与副边侧谐振电容之间的相互关系。

(2)讨论系统的恒压恒流特性。在不同参数情况下确认S-LCC型结构电路不存在自然恒压恒流的可能性。

(3)在研究谐振电容对系统最佳负载电阻影响的基础上，依次考虑谐振电感以及其寄生电阻参数，最终得出：系统的输出功率会随着负载电阻的增加而先增加后减少再增加又减少或者先增加后减少；系统的最佳负载电阻随着谐振电容C3的减少而先减少后增加，随着谐振电感的减少而先减少后增加，随着谐振电感寄生电阻R3的增加而增加。