牛潇萌，李浩然

（赤峰学院 数学与计算机科学学院，内蒙古 赤峰 024000）

1 引言

概率论是研究随机现象统计规律的一门应用性很强的课程，是我校数学与应用数学专业的一门专业核心课程，学时是48学时，内容涵盖了随机事件与概率，随机变量及其分布，多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征等内容，需要讲授的内容比较多。受学时限制，传统的教学过程中，教师为了完成教学任务，存在与学生互动少，重理论，轻实践等问题。当下由于疫情的影响，建设混合式教学模式很有必要。近年来，许多学者对于混合式教学都进行了研究[1-5]。本文基于泛雅平台，以全概率公式为例，从课前准备、课前预习、课堂讲解、随堂练习、课后作业等方面进行线上、线下混合式教学设计。

线上部分教学设计说明及思路如下：

课前预习：教师需要提前一周在泛雅平台设计好预习题目，学生在学习通上完成相应的题目，教师根据预习情况调整讲课内容。另外，针对比较难理解的章节，教师录制了微课视频，便于更好地引导学生进行预习。

随堂练习：为了提高学习效率，课堂上必须让学生思考，随堂练习就是有效检验学生是否听课、是否思考的有效措施。所以在每次上课前，教师需要提前设计好随堂练习。由于课堂时间有限，随堂练习设计的不能太难，计算也不要太复杂，题目要让大多数同学能在短时间内作出来。由于学习通上能看到所有学生的课堂练习情况，有效预防了有些偷懒学生上课不听课、不思考的情况。

课后作业：课后作业能有效检验学生对本节课内容的掌握情况，所以课后作业是非常重要的一个教学环节。教师需要根据讲课内容，重点、难点设计多种形式的作业，学生完成作业后，在学习通上提交。根据学生的完成情况，教师针对共性问题，录制微课进行讲解。数学与应用数学的《概率论》只有48学时，课时较少，针对这一实际情况，教师不可能把每道课后题都在课堂上进行讲解，所以在每章学完后，教师把提前录制好的课后题讲解视频上传到泛雅平台，学生们根据自己的实际情况进行有选择的学习。

阶段性测试：为了检验学生每章的掌握情况，便于教师发现问题，在每讲完一章后，需要进行一次阶段性测试，阶段性测试不占用课堂时间，利用学生课余时间在学习通上完成。

2 教学过程

下面以《概率论》第一章第四节全概率公式为例，说明如何更好地实现线上与线下混合式教学。

2.1 课前准备

上课前要求学生下载学习通APP，教师提前在泛雅平台建课，将班级邀请码发给学生加入学习通的班级。进入学习通班级后，要求学生首先熟悉学习通的功能，以便后续的操作。教师提前一周布置学习任务，以便学生进行预习。

2.2 课前预习

回顾与全概率公式这节内容相关的知识。

全概率公式是概率论这门课程比较重要的公式，在很多领域有着重要的广泛的应用。这个公式是前面学习过的条件概率的拓展和延伸。因此在学习本节课之前需要让学生复习条件概率的相关知识点。这部分内容在学习通进行布置，要求学生完成相关任务。在学习通上布置内容如下：

学习通练习1复习条件概率公式、加法公式、乘法定理；

学习通练习2试着用加法公式和乘法定理解决如下问题：某人坐火车、坐汽车的概率分别为0.3，0.7，若果坐火车，他迟到的概率是0.2；如果坐汽车，他迟到的概率是0.15。求此人最后迟到的概率。

教师上课之前要检查学生的预习情况，根据完成情况进行打分，并将分数计入平时成绩中。教师根据学生的预习情况、学习通练习2的做题情况和泛雅平台讨论区的留言，适当调整线下的课堂教学设计，以提高课堂教学效率。

2.3 课堂讲解

2.3.1 回顾旧知识

复习本节课用到的知识点：设A、B是两个事件，

条件概率公式：

乘法公式：

教师提前在学习通的随堂练习中设计好如下题目：

学习通练习3写出条件概率公式和乘法公式。

上课时间发放此练习，要求学生利用2分钟写出这两个公式，并学习通上提交，老师此时可以检查一下学生对这两个公式的掌握情况。

2.3.2 引入新知识

引例设有A、B、C三个箱子，A箱子中有4个排球和5个篮球；B袋子中有3个排球和7个篮球，C袋子中有5个排球和3个篮球。现在从三个箱子中任意选一个箱子，再从中任意选一球，则取到的是排球的概率？

教师提前在学习通的随堂练习中设计出如下题目：

学习通练习4取到排球有 种可能性；每种可能性出现的概率是___。

让同学们试着用学过的知识自己解决上面问题，把答案传到学习通，此时教师看一下同学们的解题过程是否正确。然后根据学生的回答情况做进一步讲解。

分析易知，取到排球有三种可能性，一种是取到A箱子后取到排球，其概率为取到A箱子的概率乘以取到A箱子的条件下取到排球的概率，即1/3×4/9；一种是取到B箱子后取到排球，其概率为取到B箱子的概率乘以取到B箱子的条件下取到排球的概率，即1/3×1/10；一种是取到C箱子后取到排球，其概率为取到C箱子的概率乘以取到C箱子的条件下取到排球的概率，即1/3×5/8，将这三种可能性的值加起来就是所要求的概率了。

解设A={取到的是排球}，B1={从A箱子取球}，B2={从B箱子取球}，B3={从C箱子取球}，则

A发生有三种可能性，或者从A箱子取球且取到排球，或者从B箱子取球且取到排球，或者从C箱子取球且取到排球，即

由加法公式可得

由乘法定理可得

即取到排球的概率为0.456。

需要指出的是上面的例子的实质是把一个复杂事件划分成了三个互不相容的简单事件，然后利用乘法定理和加法公式，求出了这个复杂事件的概率。此种方法能否推广到一般情形呢？由此引出全概率公式。

2.3.3 全概率公式

定义1[6]设Ω为实验E的样本空间，A1,A2,…,An为E的一组事件。如果

（1）AiAj=Φ，i≠j,i,j=1,2,…,n,

（2）A1∪A2∪…∪An=Ω，

则称A1,A2,…,An为样本空间Ω的一个划分。

定理1[6]设Ω为实验E的样本空间，B为E的事件，A1,A2,…,An为样本空间Ω的一个划分，且P(Ai)>0(i=1,2,…,n)，则称

为全概率公式。

全概率教学过程中的难点是如何确定样本空间的划分，在应用全概率公式时要注意划分的选择，务必把引起B事件发生的所有情况A1,A2,…,An都找到，而且这些事件A1,A2,…,An必须是两两互不相容的，A1∪A2∪…∪An=Ω。例如引例中B1={从A箱子取球}，B2={从B箱子取球}，B3={从C箱子取球}就是样本空间的一个划分。

教师提前在学习通设计如下有关划分的题目：

学习通练习5设随机试验E：掷一颗骰子观察其点数，其样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6}，则下面叙述正确的是（ ）

A.E的一组事件A1={1,2}，A2={4}，A3={5,6}是样本空间的一个划分；

B.E的一组事件B1={1,3}，B2={3,4}，B3={4,5}是样本空间的一个划分；

C.E的一组事件C1={1,2}，A2={3,4,6}，A3={5,6}是样本空间的一个划分；

D.E的一组事件A1={1,2,3}，A2={4}，A3={5,6}是样本空间的一个划分。

例1[6]盒子中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来用，比赛后仍放回去，第二次比赛从盒子中又任取3个球，求第二次取到的球都是新球的概率。

解设

则B0，B1，B2，B3是样本空间的一个划分。应用全概率公式可得

从而

总结：应用全概率公式的解题过程：

（1）找出样本空间的划分：A1,A2,…,An；

（2）求出P(B|Ai)，i=1,2,…,n；

（3）求出P(Ai)，i=1,2,…,n；

在讲完本节内容之后，在学习通上设计作业，培养学生应用全概率公式解题的能力。

3 过程性考核

采用过程化考核，除了传统方式中考核学生的课堂表现和期末成绩以外，要求学生在理解和掌握课程内容的基础上，结合师范专业的特点，选取一个以实际问题为切入点，完成一个关于概率问题的教学设计。因此，成绩考核主要由平时成绩+章节测试+教学设计+期末成绩四个部分组成。平时成绩包括学习通完成任务点得分，课前完成学习通上留的预习题目得分，课中完成学习通中的随堂练习得分和课后完成作业得分。章节测试占百分之三十，教学设计占百分之十，期末测试占百分之四十。这样，将考核贯穿在整个课程的实施过程中，能从多方面、比较全面地对学生掌握知识和运用知识的程度进行考核。

4 结束语

线上线下混合式教学提高了教学效率，能更好地引导学生做到课前预习，课中集中精力听课，课后及时完成作业，能更好地使教师了解学生课前预习情况，课中知识点的掌握情况。教学过程以学生为中心，使教学过程能够成为学生主动参与、思考、分析、解决问题的学习过程，进而培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。