常海斌

(渤海大学数学科学学院 121013)

李 健

(人民教育出版社课程教材研究所 100081)

1 引言

随着数学课程改革的持续推进和创新教育的不断发展，传统的教学模式已经难以满足社会对于创新型人才的需求，数学教育急需回应时代发展的需要．综合与实践活动作为培养学生综合素质的跨学科实践性课程[1]，被视作发展学生探究能力、培养学生创新意识的有效途径．我国一直高度重视学生创新能力和探究意识的培养，并将综合与实践活动作为义务教育阶段数学课程的四大主线之一．然而，综合与实践活动在具体设置过程中面临诸多困境，如课程内容简化、去知识化、预设活动方式单一等[2,3]，设置高质量的综合与实践活动成为时下值得关注的一项重要课题．

教材作为贯彻课程标准和承载课程理念的物质载体，是师生开展综合与实践活动的主要资源．日本是传统的数学教育强国，在数学教材编写方面拥有许多值得借鉴的经验．日本文部科学省于2017年颁布了《初中数学学习指导要领》，并于2021年4月1日开始实施．东京书籍株式会社依据《初中数学学习指导要领》编写了《新数学》系列教材，教材中的“自由研究活动”是培养学生实践创新能力的重要切入点，展现出初中数学综合与实践活动的日本样态．本文将以日本2021版《新数学》教材中的“自由研究活动”为研究对象，并基于该活动的主题选择、活动方式、研究报告三个方面展开分析，以期为我国初中数学课程中综合与实践活动的设置提供日本经验．

2 自由研究活动的主题选择

在自由研究活动的主题选择方面，《新数学》系列教材不仅重视一般性研究活动，而且关注跨学科研究活动．具体而言，在“纵向”的一般性研究活动与“横向”的跨学科研究活动下，可以细分为七类主题，各主题下属23个自由研究活动，见表1．

表1 自由研究活动的主题选择与活动名称

2.1 一般性研究活动

按照活动是否与现实生活相关联，将一般性研究活动划分为“数学内部研究”和“数学与生活”两类．

“数学内部研究”主题下的活动主要指基于数学课程内容自身，或对数学课程内容进一步拓展和加深而形成的探究性活动；“数学与生活”主题下的活动则主要指与现实生活关联密切但不涉及其他学科知识的探究性活动．

在日本初中课程标准规定的数与式、图形、函数、数据的活用这四个知识板块中[4]，《新数学》系列教材共设置了10个一般性研究活动，其中“数学内部研究”主题下的研究活动8个，“数学与生活”主题下的研究活动2个．例如《如何移动圆周角》这一活动，该活动是在学生学习了圆周角定理后，要求学生利用GeoGebra进一步探究圆的性质，属于数学内部研究活动；而函数版块中的《瞬时速度》这一活动则以“坐过山车”为情境，引导学生利用二次函数解决生活实际问题，不涉及其他学科知识的运用，属于“数学与生活”主题下的研究活动．

2.2 跨学科研究活动

按照教材中的划分，所有跨学科研究活动被划分到“数学与历史”“数学与语言”“数学与科学技术”“数学与美术”“数学与保健体育”五个类别当中．

“数学与历史”主题下的活动主要指数学史视角下的自由研究活动．法国数学家帕斯卡于1654年首次将二项式系数表称为“算法三角形”，并对其性质进行了系统研究[5]，该主题下的《帕斯卡三角形》这一活动就是以算法三角形为线索，进而引导学生从不同方向观察算法三角形，使学生探究算法三角形的各行数列与(a+b)2,(a+b)3展开式中各项系数的关系．“数学与语言”主要指数学与其他语言结合而成的自由研究活动．例如《试着读盲文》这一活动，学生需要经历归纳推理等活动，方可发现盲文的内部特征和认知规律，展现出数学与其他语言间的联系．“数学与科学技术”主要指数学与技术以及数学与物理、地理、化学等自然学科相结合而成的自由研究活动．例如在解决《思考汽车的死角》这一活动中的问题时，就需要运用物理学中的反射角知识，体现出数学与科学技术间的联系．“数学与美术”主要指将艺术作品作为数学的应用载体的自由研究活动．例如《挑战埃舍尔》以荷兰著名画家埃舍尔的作品为研究对象，使学生体会“平移”“旋转”“对称”等变换形式在绘画中的应用．“数学与保健体育”主要指与体育及身体保健有关的自由研究活动．《高尔夫球得分的表示方法》就是该主题下的典型案例，该活动将高尔夫比赛中高于标准杆的成绩记为正数、低于标准杆的成绩记为负数，学生以此为线索，进行“有理数加减法”的探究．

整体而言，这五类跨学科研究活动既是对数学课程内容自身的巩固与加深，也是数学在其他学科的广泛渗透应用的深刻体现，对于学生综合素质的提升具有重要意义．

3 自由研究活动的活动方式

活动方式即完成自由研究活动所运用的方法和手段[6]．通过对《新数学》系列教材中的23个自由研究活动进行分析，对具有类似特征的活动进行归类，可以将教材中预设的活动方式划分为数学探究型、文献查阅型、动手操作型三类．

3.1 数学探究型

数学探究型活动，主要指需先将研究活动抽象为数学问题(若无需数学抽象，则省略该步骤)，进而利用归纳、类比、联想等数学思想方法就能直接完成的自由研究活动．例如《使用图表思考》这一自由研究活动(图1)：

图1

思考下面的问题，尝试创造出新的问题，并利用方程或图表来思考和解决问题．

弟弟从家出发去了学校，4 min后，哥哥从家出发去追弟弟，假设弟弟的行走速度为50 m/min，哥哥的行走速度为70 m/min，那么哥哥从家走几分钟后能追上弟弟？

探究1 把原题中的“4 min后”改为“2 min后”，哥哥从家出发几分钟能追上弟弟呢？

探究2 把原题中的“4 min后”改为“7 min后”，哥哥要在距离家700 m的地方追上弟弟，那哥哥应该以什么速度行走？

探究3 自己创造问题思考一下吧！

该自由研究活动以贴近学生现实生活的“上学”为线索创设情境，将“追击相遇”问题以图表的形式呈现．学生要想解决该问题，需先明确图中两条直线交点的意义，进而将目标问题转化为求解两直线的交点．在探究1中，哥哥出发的时间改变，但速度不变，学生需以(2,0)为起点画出哥哥此时的行走示意图，进而找到两条直线此时的交点横坐标；在探究2中，哥哥的出发时间更改为了7 min后，由于要求两人在700 m处相遇，且弟弟到达700 m处的时间已知，故哥哥追赶弟弟的路程和时间都已知，速度显然可求．该活动的探究主要涉及数形结合、化归等数学思想方法的运用，属于数学探究型活动．

3.2 文献查阅型

3.3 动手操作型

动手操作型活动，主要指需要学生进行数学实验操作(既包括物理世界的实践操作，也包括虚拟世界的信息技术应用)才能完成的自由研究活动．例如《四边形的变身》这一自由研究活动(图2)：

图2

无论什么样的四边形，通过裁剪方式的改变都可以变成平行四边形，怎么剪最好呢？

探究1 思考一下，怎样剪四边形才是最好的？另外，确认剪完后的四边形能否重新组合成为平行四边形？

探究2 试着想一下，像探究1那样剪四边形并重新组合后，变成平行四边形的原因吧．

探究3 要变成长方形，应如何剪四边形呢？

这一活动是在学生已有的平行四边形相关知识经验的基础上设置的．学生要想完成该活动，需先动手尝试剪裁四边形，在不断尝试的过程中发现规律，即对任意四边形进行裁剪，得到四个小四边形，以裁剪所形成的四个角为顶角将四个小四边形进行重新组合就能构造成一个平行四边形．该活动既加深了学生对于平行四边形知识的理解，又将知识应用于具体的实践操作中，是数学理论与实践操作相结合的典型案例．

4 自由研究活动的研究报告

《新数学》系列教材在自由研究活动中设置了“撰写研究报告”这一栏目，要求学生选择感兴趣的课题，尝试把自己对于该课题的思考和探究过程以文字、图表和公式等形式总结成报告，并规定了研究报告撰写的基本要求和基本构成要素．其中，基本要求包括：(1)简要易懂地说明自己是如何思考的；(2)在研究报告中使用图、表、公式等容易让读者理解的方式呈现．研究报告的基本构成要素见表2．

表2 研究报告的基本构成要素

由表2可知，“动机与目的”重在引导学生回忆发现问题、提出问题的过程，在整个自由研究活动中起引领作用；“方法”与“结果”是对活动所应用的知识与方法的反思过程；而“考察”与“感想”则有助于培养学生的学习态度和情感等元认知体验．通过撰写研究报告，学生可以从多个角度对活动过程进行剖析和反思，这一过程对于学生元认知水平的提升具有重要意义．

5 启示

通过对日本《新数学》系列教材中自由研究活动的主题选择、活动方式、研究报告的归纳与分析，从中总结出综合与实践活动设置的日本经验．基于此，为我国综合与实践活动的设置提出以下三条建议．

5.1 同时关注“纵向”与“横向”类研究选题，开拓学生数学视野

通过综合与实践活动的开展拓宽学生的数学视野，引导学生多层次、多角度地认识数学，这是综合与实践活动的应有之义．选题是设置综合与实践活动的起始环节，主题类型的丰富性能够开拓学生的数学视野．在选题过程中，教师不仅可关注一般性研究活动，还可设置与历史、语言、美术、保健体育、科学技术等学科相融合的跨学科研究活动．一般性研究活动有利于促进学生数学视野的“纵向”发展，是解决活动内容去知识化和表层化实践的有效途径．而跨学科研究活动的设置则体现了数学的广泛应用性，重在促进学生数学视野的“横向”延伸．这样的活动主题设置对于学生体会数学应用价值、开拓数学视野具有重要意义．

5.2 重视探究、写作、动手等多元化活动方式，促进学生的高阶思维发展

高阶思维是一种综合性思维，常发生在元认知、问题解决、应用与创造性活动中[7]，包括批判性思维、创造性思维、问题解决能力和自我监控能力等．活动方式是学生思维的外部表现，多元化的活动方式对于学生的高阶思维发展具有重要意义．教师在预设综合与实践活动的活动方式时，可以参考自由研究活动的活动方式进行设置．首先，数学探究型活动的设置应对学生的数学抽象能力提出一定要求，还应在活动的探究过程中发展学生的逻辑推理能力．在设置文献查阅型活动时，教师要着重培养学生收集、整理、归纳、分析信息的能力，要引导学生针对目标问题进行文献的整理与分析，并将认知结构中的相关知识经验进行迁移与整合．在设置动手操作型活动时，应注重学生亲身参与动手操作，活动要具有一定的开放性，给学生更多的主动权，在学生的主动探索中培养学生的创造性思维．总之，在综合与实践活动的教学过程中，教师要有意识地预设多元化的活动方式供学生选择，这将有助于学生高阶思维的发展．

5.3 注重活动后研究报告撰写任务的设置，提高学生元认知水平

研究表明，对学生的反思能力进行针对性的培训后，学生的数学元认知水平有显著提高[8]，而撰写研究报告就是开展反思性学习的有效手段．自由研究活动规定了撰写研究报告的基本范式，由“动机与目的”“方法”“结果”“考察”和“感想”五个基本要素组成．在综合与实践活动完成后，教师可以基于综合与实践活动的具体特征，参考日本教材中的研究报告撰写范式，引导学生对活动的发现、提出、研究方法、研究结果以及活动所运用的知识等进行反思与评价．学生依据该范式对活动过程进行剖析，将自身的探究过程显性化，这可以使学生有意识地调节其认知加工过程，在对数学活动的不断反思中提高自身的数学元认知水平．