石志群

(江苏省泰州市教研室 225300)

一位数学学习成绩不好的学生问我：“学习数学有什么用？”我反问：“这就是你不喜欢数学的原因？”他诚实地回答：“是的．我父亲是医生，母亲是公务员，我从来没有看到他们生活、工作中用到函数、数列等数学知识．”

一位中考成绩相当不错的学生，进入高中后连续几次考试，数学成绩一次比一次差，于是失去了学习数学的兴趣．老师与她谈心时，她非常灰心地说道：“高中数学真的太难了，我不是学数学的料．”

袁隆平院士曾介绍：“我不喜欢数学，因为在学负数时搞不清为什么负负得正，去问老师，老师说：不要问为什么，记住就行；学几何时对一个定理有疑义，去问老师，老师给了同样的答复．我由此得出结论：数学不讲道理，于是不再理会，对数学兴趣不大，成绩不好．”

当然，历史上也有很多因为对数学的崭新认识进而爱上数学的案例．例如，爱因斯坦从一本书上看到一个结论“三角形的三条高交于一点”时感受到了巨大震动：“这怎么可能呢？这太神奇了！”从此他对数学产生了浓厚兴趣．英国哲学家霍布斯第一次从欧几里德《几何原本》上看到勾股定理时，他对自己说：“向上帝保证，那怎么可能呢？”为了满足自己的好奇心，他开始尝试证明……[1]

可以这么说，数学成绩不好的学生基本上对数学学科没有好感，一个重要的原因是对数学产生了误解，如袁隆平院士将以讲理为本质的数学视为“不讲理”．太多的例子都说明一个问题：学生对数学这门科学的认知(认识)影响了其对数学学习的态度，从而也就影响了数学学业成绩．本文是笔者对这个问题的初步探索．

1 学生对数学的认知及现状分析

所谓“对数学的认知”，本文是指对数学是什么、数学有什么用、数学的特点、数学科学的结构和体系、数学研究方法及数学学科的学习难度和方法等的认识．例如，美国的数学教育工作者曾经做过一个调查，发现美国学生中流行的一些观念：只有书呆子才会喜欢数学、数学是无意义的，与日常生活毫无联系、只有天才才能在数学中作出发明创造……[1]这些都是学生从不同层面对数学的认知．

1.1 对数学的认知维度

就影响数学学习的因素而言，学生对数学的认知主要表现在以下几个方面：

一是“数学是什么”．这既是一个认识论问题、观念问题，又是一个哲学问题，不同的数学家有着不同的表述，这些对于学生而言过于深奥，尤其是对中小学生来说，更是难于理解．尽管如此，数学教学也应该让学生对数学学科形成正确的认知，让学生知道，数学是一种研究客观世界的方式，数学是从现实世界抽象出来的；是一种特殊的语言，便于表述与交流．例如，如果没有1,2,3,…这些“数”(shù)，就无法表述量的多少，无法表示排名的次序，无法交流相关的信息；数学是一种思维方式，是以数学语言为基础，具有逻辑严密性的理性思维的方式；物理、化学这些“有用”的学科推动了数学科学的发展，数学科学又促进了物理、化学等学科的进步……当然，这些认知是在数学学习的过程中逐步形成的，是在潜移默化之中逐步感受、领悟的．

但现实是，不少学生将数学看成了具体的符号、公式、定理、概念、题目……没有对数学形成整体的认识．例如，从小学到中学，我们学习了大量的数学概念，学生知道概念对于数学的意义吗？知道建立数学概念的必要性吗？在某些学生看来，“数学是聪明人的智力游戏，就像围棋和智力测验”“数学是使人在学校遭受失败的最坏的课程”[1]，甚至认为凡是数学卷子上出的题目都是有答案的，于是出现了由绵羊、山羊的只数计算船长年龄的荒唐的事情．

二是数学具有广泛的应用性．数学是其他科学的基础，它推动科学的发展，改变我们的生活，促进社会进步．没有数学，我们就不会拥有手机、计算机和微波炉，也不会有收音机、电视、CT、GPS(全球卫星定位系统)．事实上，数学与现实世界之间的关系非常明确，恩格斯说：“数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学”，虽然这一观点相对于现代数学而言并不全面，但是它是对“数学是什么”的一种回答，道出了数学源于现实世界又反作用于现实世界的本质，说明数学内容都有着丰富的现实背景．尤其是数学发展最迅速、数学革命与创新成果最突出的16世纪到19世纪，以微积分为代表的大批数学新领域、新思想将数学与应用的紧密联系充分地凸显出来了．小平邦彦说：“数学被广泛应用于物理学、天文学等自然科学，简直起到了难以想象的作用，而且许多情况说明，自然科学理论中需要的数学在发现该理论之前，就由数学家预先准备好了，这是难以想象的现象．”[2]

伽利略曾说“自然之书是用数学的语言写成的”，中小学数学内容与现实世界、学生生活也有着自然而紧密的关系．比如，速度×时间=路程，单价×数量=总价，长×宽=面积……为使这些现实中的支配法则不仅适用于整数，也能适用于分数，故确定了分数×分数的规则．正如牛顿所注意到的那样，从自然数的乘法规则中，仅靠推理是导不出“分数×分数”的规则的．换句话说，如果在现实中不存在这样的法则，就没有必要特意来确定“分数×分数”的计算规则．“先乘除、后加减”的运算规则是大量现实的规律总结．[3]

现行数学教学中，数学源于现实体现得不够充分，数学的应用脱离学生生活实际，大量的应用问题含有太重的人为编制痕迹，远远落后于现代社会生活实际．数学教学视野太闭塞，学生所见就是高考题、中考题，很少见到蕴含丰富文化价值的历史名题，无法从中知道数学科学发展的外在推动力与内在生成力之间的相互作用，更难见到影响人类生活的重大科技发明背后的数学力量．长此以往，学生感到的是生活中没有三角函数，也没有解析几何，更没有微积分，学数学的意义在哪里？

三是数学的学科特点影响我们的思维方式、审美标准和价值观念．“数学是思维的科学”“数学是模式的科学”“数学是推理的科学”“数学的最高境界是‘美’”……数学的这些特点说明，学习数学可以促进优化思维方式、提升审美能力．例如，数学的本质是理性精神，是求真、求善、求美，数学学习当然能够培养学生善于质疑的严谨的科学精神，增强逻辑思辨能力，克服人云亦云、轻言轻信的无知与盲从．数学的辩证思维也会影响学生看待自然与社会的态度和认识方式，获得深刻、本质、科学的认知．而数学知识本身也为学生提供了认识世界的工具．综上所述，数学的学科特点使其教学能够让学生学会用数学的眼光看世界，用数学的思维思考世界．

现实的数学教学没能让学生感受到数学的这些特点，学生没有体验到理性的本质，没有爱因斯坦、霍布斯初见平面几何定理及证明时所产生的震撼．即使是证明、推理，也使学生认为只是对一些显然的事实进行的例行公事的程式，没有从中感受到逻辑的力量和数学的结构——公理化思想．正因为这些原因，数学学习没有让学生形成理性精神，没有学会数学的思维方式．

四是数学的学科特点影响世界观、价值观，是促使思想革命的武器．数学本身就是一种精神，一种探索精神.这种精神有两个要素，即对理性与完美的追求，千百年来对人们的世界观的革命性影响不容低估．数学由于其不可抗拒的逻辑说服力和无可争辩的计算准确性而往往成为思想解放的决定性武器．[4]数学中的非欧几何、群论、分形等就不必说了，就中小学数学而言，负数、无理数、复数，就蕴含了在理性精神下的数学观的跃迁因子，处理得当的话，可以让学生的数学思想、数学观念甚至世界观得到极大的提升，对数学本质的认识也就更加深刻．

1.2 影响对数学的认知的因素

毋庸置疑，对数学的认知主要是在数学学习、研究的过程中形成的，也受到相关的流行文化的影响．例如，有些教师在学生刚进入初中的第一节课上就渲染数学如何难；学生从亲友、媒体等获得有关数学学科的流行观点……从数学教学的角度看，需要我们通过数学学科的教学引导学生对数学形成正确的认知．为此，必须明确数学教学中影响学生对数学的认知的主要因素．

(1)数学内容与对数学的认知的关系

不同数学领域的内容会对个体产生不同的感知，前文述及的爱因斯坦、霍布斯均被欧氏几何激发起对数学的激情．无独有偶，撰写《用数学的语言看世界》的日本物理学家大栗博司回忆说：“在小学阶段并不那么喜欢‘算术’这门课，不过进入中学后，‘算术’演变成了‘数学’，我也渐渐爱上了这门学科．”[5]这些都说明数学的不同内容对认知个体在对数学的认知方面所起的作用不完全相同．这并不奇怪，因为数学的各个分支研究的对象不一样，思想方法不尽相同，与其相对应的现实原型也不一定一样，加之认知个体的认知风格、思维方式及其水平也有差异．也正由于这些原因，数学教学可以通过不同内容，不断丰富、完善学生对数学的认知，使其对数学的认知更加全面、科学．

相同的数学内容，教学的呈现形式、学习方式不同，学生对数学的认知效果也有很大差异．将数学知识直接灌输给学生的完全接受式学习，不揭示数学知识的现实背景、内在联系、广泛应用，不经历数学知识的形成过程来让学生体验必要性与合理性，知识学得再多，也不一定能理解数学的本质．

(2)学习过程与对数学的认知的关系

爱因斯坦对三角形高的性质的学习、霍布斯对勾股定理的学习都是自已看到结论，激发起好奇心，再试图弄清原委，进行自主探索，进而认识到了数学的功能与价值．

我们的学生对数学产生认知偏差，从而影响对数学学科的学习态度，一个重要的原因就是教学过程没有基于学生的认知基础，掩盖了问题的发现与提出过程，没有让学生感受到数学知识的有用性甚至必要性，数学推理的严谨性及由推理所得结论的可靠性、优美性，数学对象、结构、形式等的对称、简洁、和谐和深刻，数学思想、思维的深邃、奇妙，也就是没有让数学学习做到妙趣横生，让数学课堂引人入胜．特别是将数学学习变成了“法则加操作”的机械、枯燥的模式化套路，数学课堂就是由教师不断地向学生灌输大量现成的结论和题型，学生对数学就不可能产生好感，更不可能形成正确的数学认知体系．

尽管我们认为，数学内容的难易本身对学生认知数学的倾向没有确定性，对有的学生而言，富有挑战性的问题及其解决过程反而能进一步强化学生对数学的正向认知，但是，超过学生能力的问题过于集中、频繁，使得学生难以享受到成功的喜悦，就会在“习得性无助”心理效应下，使学生对数学产生负面的认知，从而弱化了自我效能感．

数学学习的后进生形成原因还有可能是其心智发育不成熟．除了智力发展的高度不同外，其发展速度也是不一样的，相同年龄的学生的智力发展水平不尽相同，达到同一高度的年龄有早有晚，一个时期的智力发展状态并不代表其终极发展水平的高低．同样地，相同年龄的学生对数学的认知程度肯定也有差异，而我们的学生基本是按年龄进行分级的，并且九年义务教育没有留级，要求同一年级的所有学生学习同样的内容，这不仅给数学学习后进生带来学习上的认知困难，也会给数学认知水平不高的学生带来数学学习上的动机、情感方面的障碍．

将数学学习演变为做数学题目，数学教学演变成解题技能、技巧的讲解，这样的数学学习过程必然会将学生对数学的认知引向错误的方向．诚然，解题是数学学科的重要特征，但正如著名数学家贝尔特拉米所说：“学生应该及早地像数学大师那样去追求和进行大量的创造性思考活动，而不要让学校里那种无休止的练习把自己的头脑弄得僵化和贫乏．实际上，沉溺在许多无益的练习之中，正好是一种无意义劳动掩盖之下的懒惰，这样做除了使人消磨意志之外别无其他作用．在伟大的前辈面前去努力创造会使人坚强．”[6]

1.3 学生对数学的认知的发展过程

对数学的认知也有其发展规律，随着数学内容的加深，内容本身对数学认知的深刻性也在增强．这并不是说简单、初始的算术内容对引导学生形成正确的数学认知不太重要，恰恰相反，越是低年级、越是基础内容，越要重视在其学习过程中发展学生对数学的认知的作用．我们不能让学生在很小的时候就失去对数学的兴趣．

例如，幼儿园的小朋友就开始识数了，从这时起他们就开始学习建构数学概念，认识数学模型了．从现状看，很多教师先写后读，用儿歌“1像小棒，2像小鸭子……”记忆写法，将数学概念教学变成了识字教学，能做到有层次地建构意义、读音、符号的课堂为数不多，能引导儿童从现实生活开始，感受需要区分多与少的必要性，再进行抽象，形成数字概念的更是少见．根据“认知的历史相似性”原理，我们的祖先形成数的概念的历史过程可以借鉴——社会生活需要记数，如何刻画现实中的物的量，第一次抽象：手指计数、结绳计数、算筹计数、算珠计数；第二次抽象：图形表示(竖线、横线、点)；第三次抽象：罗马数字，汉字的一、二、三等，再到阿伯数字．如果将其设计成游戏性的活动课程，既为幼儿所乐意，又让其经历真实的数学抽象过程，在活动中潜移默化地对数学产生初步的印象：有趣又有用．

皮亚杰指出：“儿童可能正确地完成一种活动，如做加法或乘法，但并未真正意识到其中的过程．对‘逻辑—数学’过程的意识可能落后于正确的动作操作达六年之久．”[7]他认为，“会做”与“理解”不是一回事，以斯金纳或加涅的联想或刺激—反应模式为基础完成学习任务的方法所体现的是“会做”而不是“理解”．因此，面对非标准问题时，他们常有很大的困难．这是一个值得充分重视的问题：不能理解数学，如何产生对数学的正确认知？

随着年龄的增长，对数学的认知会从感性逐步上升为理性，从有趣、有用作为评判标准，逐步上升为观念、精神层面的认识．例如，小学生多从实用性、奇妙性的角度认知数学的功能、价值与趣味；到了初中，除了保留上述特点外，应该逐步地感受数学的理趣，从用字母表示数的应用功能到其表述数学对象、数学规律的简洁美(如运算律a+b=b+a等)，从几何中的奇妙性质到数学推理、证明的逻辑之美；再到高中，数学对于变化、运动的精密刻画，解析几何的数形转换，源于物理又应用广泛的向量，特别是微积分的极限观点，以及与它们密切相关的医学、天文、生命科学……都蕴含着体现数学的观念美、思想美和应用美的基因；高中阶段及后续学习中的复数、非欧几何、群等内容，更是人类理性的精神创造，对帮助学生建立数学的模式观、结构观都是非常有益的．

对数学的认知的发展有几个关键的时段，这几个时段的教学内容影响到学生对数学本质特点、思想方法和价值观的认知，从而影响学生对数学学习的态度，因此，这些内容的学习通常会成为学生成绩分化的关键内容点和时间点．这几个时段的学习内容分别是：建立数的概念，第一次进行难度较大的数学抽象，从而建立算术思维；用字母表示数，从具体数到任意数，建立代数思维；平面几何，图形抽象、逻辑推理，建立理性思维方式；集合—函数思想，建立运动变化观，从静态到动态；函数的导数(微积分初步)，从宏观到微观，建立极限思想和无穷观念．

2 对数学的认知与学业成绩之间的关系

我们知道，影响学业成绩的因素很多，主要有以下几个方面：智力因素，表现为先天遗传基因决定的智力及后天习得的认知结构；情感态度，即兴趣、动机、自我效能感、成就归因方式等；策略因素，即学习习惯、学习方法等．所有这些因素最终都可能因为学习成绩不佳导致对数学学科产生偏见(错误的认知)，使学习的动力逐渐衰减．因此，考察对数学的认知与学业成绩之间的关系，主要就是考察对数学的认知是如何影响后天习得的认知结构的发展、情感态度的变化及学习策略的优化的．

2.1 对数学的认知与学习热情、学习态度

影响学习动机的因素很多，物质奖励、精神表扬、对教师的崇拜……这些因素都是非本质的，具有年龄、时间等局限性，长期使用就会逐渐失去功效．态度可能与先天的素质有关，也可以在后天习得，即由经历、行为导致．后天习得的态度又可以反过来影响其喜好与行为．[8]对一个渐渐成熟、理性的学生而言，学习数学的热情、态度主要取决于对学习内容的有用性、重要性，也就是价值的认可，只有当其觉得所学学科、内容对他将来的人生之路有价值，这种学习有必要的情况下，才能保持长久的兴趣与热情，反之，即使在学习也是被动的，缺少内在驱动力．在这种状态下，智力参与的效度会降低，从心理层面看，对数学缺少孜孜以求的精神投入．一旦开始憎恶一门学科，就会产生雪球效应．例如，假设一个小学生出于某种理由开始不喜欢数学了，那么他不仅不喜欢数学考试，而且对学习数学也没有兴趣，甚至讨厌、逃避上数学课．不学习新的数学知识将导致更加糟糕的数学成绩，进而又会增加厌恶感．对数学的认知经常成为学生对数学成绩不佳的一种归因，从而为不愿意学习数学寻找一种心理解释．

事实上，对研究内容的价值的认识在精神层面影响个体的重视度和持续研究的心理倾向，这从数学史上的许多案例中可以得到佐证：历史上的许多重大发现的幸运儿恰恰就是缘于其充分认识到了研究对象的巨大价值．例如，很多著名数学家都曾非常接近于微积分的发现，他们都曾创造了一些极其成功的富于启发性的方法，但始终没有在这些方法的启发下构思出真正属于微积分的概念．正如卡诺所说：“……如果想到其中有一个伟大的发现要完成的话，杰出的几何学家，尤其是笛卡尔、帕斯卡、费玛、惠更斯、巴罗、罗伯瓦尔、沃利斯，没有一个人做不出这个发现的”，问题是他们“看不到要完成的是一个伟大的发现而恰恰又正在完成它……”，自觉地意识到完成一个伟大的发现并实际去完成它的，是牛顿和莱布尼兹．[9]

2.2 对数学的认知与数学学习习惯、学习方法

对数学的认知包括对数学学科特征、数学知识结构、数学内在联系、数学发展规律等的认知，也包括数学知识生长、拓展的规律和数学研究的基本规范(套路)的认知，如果在这些方面形成了正确的认知，也就把握了数学学习的基本规律，这对形成好的数学学习方法是大有裨益的．

例如，认识到数学知识的生长规律、数学研究的基本套路，在提出背景性问题情境的情况下，就可以自主确定研究内容、研究方法和研究过程．具体地，在提出“我们已经研究了向量的加减法、数乘等运算，那么，向量可以相乘吗？”这个问题后，一个对数学知识体系、数学研究方法比较了解的学生，就会自己去找物理中具有向量乘法的结构特点的模型(因为前面学习的向量知识都是从物理模型中抽象出来的)，从而找到“功”这个研究原型，再由此进行抽象、概括，形成向量的数量积的概念；进而由数的运算、向量的加减运算、数乘运算的研究内容(知识结构)确定向量的数量积的研究内容和知识结构……

几乎可以这么说，对数学有深刻认知的学生的数学学习过程是有规律的，也是比较轻松的，数学在他们的眼里并不神秘，他们也从中获得了一次次成功的享受，而成功的尝试又使其更加乐于研究数学、建构数学和运用数学．

2.3 对数学的认知与数学思维策略

“像数学家一样思考”“用数学的思维思考世界”，这些都说明数学家们研究数学问题有一定的思维方式，解决数学问题的思维过程也有学科的特点.因此，对数学的认知必定包含对数学思维规律的认知，换言之，对数学有深刻认知的人就很容易掌握数学思维的规律：数学思想方法和思维策略．

数学家的思维总是求简单、求统一，结构简化、结构同化也就成为重要的数学思维策略．当我们面对问题“求函数y=x(x+1)(x+2)(x+3)的最小值”时，对于没有学习过导数的学生而言应该怎样思考呢？全部展开显然不可行，因为4次函数的最值没有一般的方法，但是，如果仔细审视函数结构就会发现，第1个因式与最后一个因式结合、第2和第3两个因式结合，都会出现共同的式子x2+3x，于是，原函数就是y=(x2+3x)2+2(x2+3x)；如果将x2+3x看成一个整体，用t表示，则原函数就简化为y=t2+2t的形式(下略)．到学习了导数知识后，再让学生研究这个问题，又会使学生产生新的震撼：一种更一般化的强大工具，进一步感受到了数学的力量．

心理学中有一术语“内隐推论”，是指学习和思维是在学习者自己对认知所持信念的背景下发生的，学生关于学习、思维、能力等问题的内隐推论，会影响他们对学习活动的参与方式，也影响他们对如何取得成功等问题的认识．有的学生把他们的能力视为一套能够通过学习来提高技能的基础，并最终影响学习和成绩．对数学的认知影响学习能力(学习技能、学习方法、学习习惯)，进而影响学业成绩正是对内隐推论的最好验证．[10]

3 数学教学如何引导学生认识数学，提高学业成绩？

从上文应该能够得到这样的结论：对数学的认知深度除了与智力发展的阶段性水平有关外，教学行为是主要成因，因此，数学教学应该将引导学生正确认识数学作为基本要求和目标，在教学设计和实施中予以关注，正如数学家基思·德夫林所说：“我们要纠正这些谣传(关于数学这门学科的错误观点)，为大家(学生)提供一个关于‘数学是什么’的概貌．”[11]

从前面的内容可以看出，要使学生形成良性的数学认知，就是要揭示数学本质，理解“数学是什么”；认识数学的价值与力量，包括现实应用价值、推动社会发展与进步的价值和对学生思维能力发展、价值观念提升、文化素养提高的育人价值，以及在数学发现中展现的逻辑的力量；感受数学精神：数学之理、数学之美；享受数学过程之乐：数学创造、解决数学问题时运用数学思想方法、思维策略获得成功后的精神愉悦等.

3.1 真实的任务情境，感受数学之用

教学中的数学之用有两种形式：一是学过知识后运用知识解决实际问题，二是在解决实际问题的过程中建构知识．我们通常比较重视前者而忽视后者．

重视前者时也要注意，用数学知识解决的问题的真实性、现实性及与学生的生活经历的相关性对认识数学应用价值也是有一定影响的.前面所举例子中，学生感到的就是数学在其自己、身边人的日常工作、生活中好像没有用，不像理、化、生等学科，油盐酱醋、生活起居都可能与之相关．

重视后者就是在新知识教学前先呈现真实的任务，通过提出问题、解决问题的过程建构新的知识体系．这种学习过程最有利于激发好奇心、求知欲，因为可使学生知道这个数学知识非常有用、十分重要．例如，学习方程和一元一次方程，就可以先呈现背景问题，如鸡兔同笼问题(当然也可以是学生更加熟悉的现实问题)，从算术思维向方程思想过渡：先介绍古人的妙法(所有鸡抬起一只脚……)，学生在感慨方法奇妙的同时会自叹弗如；再让学生自己想办法，基于初中生的思维形式和认知结构，可以用逐一尝试验证的方法；再从验证的若干式子的共同结构及符合条件时的约束关系，运用字母表示数的代数思想，建立起对应的方程；再通过对方程的结构、特点的分析建构方程、一元一次方程的概念．

情境应有挑战性，否则起不到激发起“数学有用”的认知的作用(当然，也应该是学生力所能及的，在最近发展区内的问题)．

贴近学生生活的情境是最适合的：用数学观察生活、解释生活是形成“数学有用”认知的目的所在．

3.2 完整的建构过程，理解数学本质

只有经历完整的发现、提出问题，分析、解决问题的过程，才能在得到知识的同时理解数学本质．从上面的例子可以看出，对学生而言，在经历了完整的问题解决过程后建构起的方程的概念，已经不是作为定义所表述的数学知识，而是理解了其本质的数学知识，知道了为什么要引入方程概念、方程的实质是什么(将要求的量用字母表示后得到的等式，由这个等式就可以解决问题)、方程方法好在什么地方(算术方法要奇巧；逐一尝试太麻烦；方程方法能普适)．有了这样的体验，怎么会不喜欢数学呢？

3.3 自然的思维过程，体验数学思想

“从天上掉下来的思路”会让学生觉得数学思维太难，需要智力与灵感，这其实是不正确的．我们完全可以让思维过程更显自然．

上题中探索解题思路的“特例分析”法是一种重要的数学思维策略，是特殊化思想方法的运用．有了这种自然的思路探索过程，学生就会产生这样的认知：数学解题的思维过程是有规律的、自然的．

3.4 隽永的数学经典，欣赏数学之美

中小学数学中的不少内容是数学的经典内容，其教学价值非常丰富．例如，勾股定理，源头在哪里？怎么想到的？为什么要证明？还能得到什么？所有这些问题都深刻影响着学生的数学观．

中国古代“勾三股四弦五”是构造“直”的工具．古埃及人测量土地需要研究几何图形，特别是最简单的三角形．三角形研究的就是其边、角关系．最简单的三角形之一是直角三角形．研究直角三角形有助于处理一般的三角形(转化)．直角三角形的边之间的关系(可以直接给出，因为其探索过程对学生来说难度过大)．探索证明这个关系对任意的直角三角形都成立．用勾股定理求得的边长为1的正方形的对角线的长不能写成两个整数之比．将勾股定理中的指数推广到大于2的自然数，就是著名的费玛大定理．依据这些素材可以设计出很精彩的课，能够回答上面提出的几个重要问题，并促使学生对数学本质、数学创造、数学审美得到充分的认识，同时，也能增强学生对数学的文化价值的体验．

事实上，好的数学教学就应该努力促进学生逐步提升对数学的认知，理解数学的意蕴，从而理解数学、理解数学学习，提升学习的内在动力，提高学习效果．