尹海燕，崔海波

（华侨大学 数学科学学院，福建 泉州 362021）

“概率论与数理统计”是一门有重要应用价值的数学课程，是经济、生物和管理等众多理工科专业学习的基础，对于培养学生的随机事件应对能力、理性处理事件的能力、数据分析处理与建模能力，以及提高学生的综合素质及思想政治水平等方面起着十分重要的作用。高校各专业都开设了这门课程，甚至在中学教学中也涉及概率统计相关知识。传统的课堂教学模式，如启发式、归纳类比式等教学模式，虽然能够使学生掌握一些数学概念、公式和方法，但已远远不能跟上新时代、新工科和新文科的步伐，也不能满足学生未来的学习需要，不能更好地提高学生的学习能力和解决问题能力。因此，在新时代、新工科和新文科背景下，课堂教学模式的改革是必然的，教师转变教学观念和方法十分必要。教师需设计新的教学模式以适应当前和未来的教育，在实践中创新教学方法、丰富课程内涵、优化教学设计、改进课堂管理，在教学中结合学生的专业知识，准确地把握这门课程与学生所学专业的结合点，不断地渗透该课程的思想方法，突出其应用性，不断增加并调整教学实例，将理论与实际问题相结合，培养学生用所学的知识解决具体实际问题的能力，提高教学效率，从而让学生从学习中获得乐趣。本文结合“概率论与数理统计”课程，讨论翻转课堂、数学建模和课程思政在该课程教学中的应用。

一、翻转课堂（颠倒课堂）在“概率论与数理统计”课程教学中的应用

在传统的教学模式中，由于该课程概念抽象且定义、公式和例子等知识点繁多、专业性强，所以采用传统的课程教学［1］，学生易产生枯燥感，失去主动学习和思考的能力及动力。特别是学生的自主思考能力完全受到限制，几乎没有兴趣更没有时间自我审视学习内容，从而学习比较盲目，缺乏主动性，方法单一。在新时代背景下，网络平台上的教学资源非常丰富，为教师、学生提供了各种方便。通过网络，学生可以轻松、方便地获取学习资源，教师分析和了解学生的学习行为也更加方便。翻转课堂是新时代的产物，颠覆了传统的教学模式，改变了以教师为中心“满堂灌”的方式，为新时代教学提供了一种发展思路，为学生提供了自我审视的机会和针对性的补强机会。

另外，“概率论与数理统计”课程使用翻转课堂具有重要的现实意义，学生在课前完成自主学习，按照教师布置的学习任务，通过观看教师提前布置的微课视频、网络讲座、播客、阅读功能强的电子书或课本，在网络上与其他同学讨论，能随时查阅所需材料，且把学习中遇到的难题记下来。

在课堂上，教师则采用讲授法和协作法以满足学生的需要并促成他们的个性化学习。例如，教师把学生分成若干小组，要求学生以小组讨论的形式讨论教师布置的任务及课前学习中遇到的问题，并及时把结果反馈给教师。在课后，学生把课堂知识和课前任务相结合，边看边琢磨复习课堂上的问题。翻转课堂可以让学生提前学习，自主规划学习内容、学习节奏、风格和呈现知识的方式，培养了学生的时间管理能力和自我控制能力，增强了学生的自主学习能力。例如，在《方差》这一节，如果仅依靠课堂的教学时间传授知识，那么很难在有限的时间把内容高效率地传达给学生，难以满足教学要求，并且不能兼顾所有学生的学习情况。为了增加这一节应用性和学生学习的主动性，教师可以采用翻转课堂的教学方式。如课前教师分组布置任务，提前精心准备微视频，要求学生查找文献，寻找并说明期望（中心位置）相同但集中程度不同的实际例子，并提出问题：（1）为什么使用X 和X 的期望之差的平方的期望，而不使用X 和X 的期望之差的期望？也不使用X 和X的期望绝对值之差的期望？（2）为什么又引入均方差，量纲的作用是什么？（3）如何计算离散型和连续型随机变量的方差？（4）方差和期望有什么区别和联系？再结合微课视频，学生可以随时随地地观看视频，还可以边看边琢磨这些问题；教师创新设置微课长度，课程内容要保证10～15分钟，不能照本宣科，内容要全面精致，质量要达到标准要求；设计附有详细答案解析的微课配套习题及难度不同的习题，引导学生课前预习微课视频和书本内容，收集遇到的难题。在课中，教师把学生分成若干小组，鼓励学生之间以小组讨论形式进行学习；教师和学生充分讨论课前学习中遇到的问题，再结合计算类的例子来说明方差在随机变量中的意义。教师就某一难题或该难题下若干问题进行分组，要求每组该一名学生上台讲授问题的解决方法，然后台下其他学生可以对该学生的讲授内容进行补充和点评，教师对所有学生的讲解做点评并给出解法。在这个实施过程中，由于学生需要自己查找资料，与同学互相讨论，与教师沟通交流，并且通过上台讲授可以感受教师的角色，所以在无形当中，学生查阅文献的能力、交际沟通能力、语言表达能力、分析问题和解决问题的能力等都会得到提高。最后，在作业设置环节，教师针对实际学习情况布置作业，让学生带着问题思考习题，完成作业，将这些作业作为问题驱动，从而促使学生更加深入地了解方差的知识点，与此同时，教师处于一种共同学习、共同思考的关系中，也参与了整个思考过程。

二、数学建模在“概率论与数理统计”课程中的应用

概率论与数理统计的模型化就是把所考虑的具体实际问题转化为数学问题，首先构建相应的数学模型，再通过数学模型进行分析研究，然后转化为概率统计问题，从而解决实际问题。数学建模是数学的三大思想之一［2，3］，是解决一些实际问题的重要工具。在“概率论与数理统计”课程中建立数学模型，是为了针对具体的实际问题，运用所学的概率统计知识进行科学合理的分析和计算。在授课时注重模型的引入，既提供了理论知识应用于实际问题的平台，又可以培养学生的数学建模思想，提高学生运用所学知识分析和解决问题的能力及创新意识，避免了学生“只见树木不见林”的短期效应及“学数学没有用途”的偏见。教师可以结合生活实例，运用“概率论与数理统计”课程知识，引导学生在建立数学模型的过程中，促进数学能力的提升与转移。实际问题中很大一部分可以用概率模型进行描述，如等可能概型（古典概型）、伯努利概型（二项分布）、泊松分布、均匀分布、正态分布等。根据所考虑的问题，构建抽象模型，反映考虑随机问题的内在规律，选择相应的数学工具对数学模型进行解答。“概率论与数理统计”教学应重视对概率模型的理解，并且淡化繁杂的计算，使学生感受从多个实例中概括具体概率模型的过程，体会这些实例的共同点，培养学生建立模型的能力，因此，探讨应用数学建模思想是十分必要的。

在《数学期望的应用》这一节，教师一般先引入例子或者通过引入期望的历史由来说明考虑期望的必要性。如果这一节仅依靠课堂的教学时间传授知识，那么很难在有限的时间把内容高效率地传达给学生，难以满足教学要求，并且不能兼顾所有学生的学习情况。为了增加这一节应用性和学生学习的主动性，教师可以采用考虑先引入一个具体的例子，如销售利润最大化问题。例如，某超市按季节出售的某种应时商品，每售出1kg获利6 元，如到季末尚有剩余商品，则每千克净亏损2元，设某商店在季节内这种商品的销售量X（以kg计）是一随机变量，X在区间（8，16）内服从均匀分布，问商店应进多少货，使商店所获利润最大？对于类似这样的问题，首先建立具体函数模型，即利润和进货量、销售量的函数关系，然后考虑利润最大。

三、课程思政元素在“概率论与数理统计”课程中的应用

习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上指出：“要坚持把立德树人作为中心环节，把思想政治工作贯穿教育教学全过程，实现全程育人、全方位育人，……其他各门课都要守好一段渠、种好责任田，使各类课程与思想政治理论课同向同行，形成协同效应。”［4］所以，立德树人是高校立身之本。课堂教学是育人主渠道［5-7］。在课程思政理念下，作为“概率论与数理统计”课程教师应从育人的本质要求出发，提高自身的育德意识和育德能力，围绕立德树人这一根本任务，充分发掘和运用“概率论与数理统计”课程中蕴含的思想政治教育资源，凸显其在知识传授、能力培养和品质塑造等方面的教育价值，通过融入社会主义核心价值观的精髓要义，引导学生树立正确的世界观、人生观、价值观，发挥思想政治教育作用。“概率论与数理统计”课程在开展课程思政教学上有得天独厚的优势，通过引入大量的生活常识与耳熟能详的谚语、搭建知识结构体系等教学方式，引导学生用概率的眼光解读未知的世界，用统计的方法指导工作与生活。在关注知识传授、能力培养、情感价值塑造的同时，将辩证唯物主义、科学精神、家国情怀、人生观及社会主义核心价值观等思政元素，润物细无声地融入“概率论与数理统计”课程教学，使知识传授与价值引领同频共振，最终实现“概率论与数理统计”课程立德树人的核心功能。通过丰富课堂案例，结合案例分析进行道德品质、人生观、价值观教育。挖掘案例中的德育内涵，诠释知识背后的价值取向和人文精神，起到育才与育人一举两得的效果。

1.通过博饼介绍闽南民俗文化，增加学生对随机数学的认识。投骰子试验在“概率论与数理统计”课程中多次出现。为了让学生能够切身体验投骰子试验，在第一堂课互动并介绍博饼（起源于福建厦门鼓浪屿，始于清初，是一种独特的中秋习俗），从而了解随机事件及概率。启发学生思考获得“对堂”和“三红”的概率有多大？随机包含两方面的含义：一方面，单一事件的不确定性和不可预见性；另一方面，事件在经历大量重复试验中表现出规律性。

2.二项分布问题。在教学中通过这样的例子让学生认识二项分布。假定某工厂有同型号纺织机80台，各台是否正常工作是相互独立的。每台纺织机发生故障的概率都是0.01。工厂有机器维修工4人。试求下面两种情况下纺织机发生故障来不及维修的概率，这里假定1台纺织机可由1 个人处理故障。（1）每人各自负责指定的20台纺织机；（2）4人共同负责80台纺织机。“纺织机发生故障来不及维修的概率”与同一时刻纺织机发生故障的台数有关，与具体是哪几台纺织机发生故障无关，把一台纺织机是否发生故障看成一次试验，假设服从伯努利试验，因此构建二项分布的概率模型。通过计算第一种情况各人来不及维修的概率是0.0169，第二种情况4个人来不及维修的概率是0.0013。由0.0013＜0.0169知，虽然第二种情况每人维修的数量也是20台，但整体工作效率却比第一种情况要高。所以在工作中应发扬团结互助精神。

3.《伊索寓言》中《孩子与狼》的故事。在教学中，我们可以以“故事中的村民对孩子的可信度是如何下降的”这个问题为先导，引导学生用概率语言表示故事中的事件，并进一步引导学生利用概率知识解决上述问题。首先设事件A为“小孩说谎”，事件B为“小孩可信”，再假设“可信的孩子说谎的概率为0.1，不可信的孩子说谎的概率为0.5”，即村民原来对这个孩子的印象是较为可信的，不妨设0.8是先验概率。在获得新的信息时（第一次村民上山打狼，发现狼没有来，即孩子说谎），村民对这个小孩的可信度进行了重新评估，利用贝叶斯公式可以计算出村民对孩子的可信度改变为0.444；当小孩第二次说谎后，在可信度为0.444的基础上，再一次用贝叶斯公式计算得村民对小孩的可信度变成了0.138。经过两次上当，村民对这个小孩的可信度已经从0.8下降到0.138，如此低的可信度，村民听到第三次呼叫时怎么会再上山打狼呢？故事诠释了诚信的重要性。