冯严冰

江苏城市职业学院，江苏常州 232001

0 前言

在过去几十年里，基于自然和生物学概念的种群优化算法被广泛地应用于科学领域的搜索和优化问题。常用的种群优化算法有粒子群优化算法（particle swarm optimization algorithm，PSO）[1]、布谷鸟搜索算法（cuckoo search，CS）[2]、萤火虫群优化算法（glowworm swarm optimization，GSO）[3]、引力搜索算法（gravity search algorithm，GSA）[4]和灰狼优化算法（gray wolf optimization algorithm，GWO）等[5-7]。其中，GWO算法的灵感主要是基于狼群的结构和内部的层次组织，组织使用4个层次，α代表最高级别，其次是β和δ，而ω代表种群的最低级别。PID控制器设计所涉及主要问题是对与比例、积分和微分分量相关的最优增益因子的选择[8]。本文提出了基于GWO算法进行比例、积分和微分（PID）控制器的设计，并与GSA和PSO算法进行了性能比较。

1 灰狼优化算法

灰狼优化算法于2013年提出，该算法模拟了野生环境中灰狼的社会等级分层和狩猎机制。GWO算法使用了4个层次：

（1）α狼作为领导者是占主导地位的狼，是主要的决策者；

（2）β狼在社会等级中排名第二，在决策过程中帮助α狼，并在α狼和较低层次狼之间建立桥梁；

（3）δ狼在社会等级中排名第三，被α狼和β狼领导，同时也领导着最低等级的ω狼；

（4）ω狼是这个群体中排名最低的狼，它必须服从于其他3个等级的狼。

该算法中，灰狼社会等级的数学模型及其包围、狩猎和攻击猎物的具体策略如下：GWO根据适应度确定了3个最佳的种群解决方案，第一适者的是α狼，第二适者是β狼，第三适者是δ狼，所有其余的种群成员都被认为是ω狼。3个等级较高的狼对猎物的包围由公式（1）来模拟[9]：

从式（3）、式（4）中可知，猎物的位置代表了对α、β和δ狼所获得的最佳适应度函数。所有狼的位置都使用以下平均公式进行更新：

为了便于对比，GWO算法、GSA[10]算法和PSO算法的流程如表1所示。

2 PID控制器数学模型

经典的单输入单输出反馈PID控制系统框图如图1所示。其中，r表示参考输入（设定值），u表示控制器输出，y表示系统输出，d表示负载扰动，Gc表示控制器，Gp表示控制系统或进程。控制设计2个主要目标是设定值跟踪SPT和负载干扰抑制LDR。SPT即找到最佳的PID控制器增益因子，使系统输出尽可能接近参考输入信号的变化，使控制系统的时间加权绝对误差积分（ITAE）最小。LDR在本研究中没有涉及。

本研究中考虑的控制器传递函数表示为：

其中，Kp、Ki和Kd分别表示比例、积分和微分增益；Tf表示滤波器的时间常数。

3 算法的实现

为了便于对GWO、GSA和PSO三种算法进行比较，需要说明在一些文献中被忽视的关键问题：

（1）种群初始化通常使用随机生成的PID控制器增益因子，这样会导致控制系统的不稳定。为了克服这一问题，本研究中先从稳定性的角度来检验解决方案，如果得到的控制系统是稳定的，才允许它们在初始种群中使用。在本文中，初始化时，3种算法GWO、GSA和PSO都使用相同的初始群体，每运行10次后将使用不同的个体补充。

（2）在表1中，GWO算法中的 在迭代过程中随着迭代次数由2线性减小至0；PSO中的ω随着迭代次数增加，从0.9线性减少到0.2；通过实验发现，GSA算法中最初提出的用来更新G的[11]表达式在 这个设计中不起作用，易导致过早收敛。因此，本研究中用式（8）中所示的线性衰减表达式来更新G：

其中，G0表示初始值，考虑到迭代次数较少，这里G0取0.9。

4 仿真结果与讨论

本研究使用了3种相关的工厂数学模型[11]来测试PID控制器，具有时滞的双滞后极点系统Gp1、非最小相位系统Gp2和具有多等极点的四阶系统Gp3，分别表示为：

在MATLAB/Simulink环境中进行仿真，3种算法的种群大小均取为m=15，步长间隔为0.1 s，每个算法运行10次，每次运行时迭代150次。PID控制器的增益因子Kp、Ki和Kd在时间间隔[0.1, 5]中发生变化。滤波器的时间常数Tf取决于系统噪声、过程时间常数和控制器采样时间，但是在实践中，它应取不会显著降低控制性能的最高值。本研究中，滤波器的时间常数Tf都设置为0.1 s。

每个仿真系统获得的结果如表2所示，其中粗体值表示所获得的最佳值。对于每个被测试算法（GWO、GSA和PSO）均给出了ITAE最优结果对应的PID增益因子。

表2还给出了10次运行中最终获得的ITAE的平均值，以及所有最佳结果的相应标准差。仿真结果表明，3个算法收敛于相同的控制器增益因子，每个系统均获得相同的ITAE值。这些结果显示其平均值与所获得的最佳值相同，所以可知，通过150次迭代足以使所有算法收敛。同时，表2的结果显示，对于PID控制器设计，虽然3种算法的收敛结果增益相同，性能相似，但3种算法在收敛速度方面有很大的不同。通过分析图2、3和4中所示的仿真结果可以看出收敛速度的差异。其中，图（a）表示10次运行中最佳值的平均值变化，图（b）表示10次运行中平均值的平均值变化图。在最佳值方面，这3种算法的仿真结果非常接近，但就平均值而言，仿真结果表明，收敛速度最快的算法是GWO，其次是GSA，最慢的是PSO算法。

表2 PID控制器增益因子和ITAE仿真结果

5 结束语

本文提出了针对设定点跟踪设计目标的基于GWO算法的PID控制器设计方法。将该方法应用于一组基准线性数学模型，并与粒子群优化和引力搜索算法得到的仿真结果进行了比较。在小种群规模和低迭代次数的测试条件下，这3种算法得到了结果相近的ITAE。因此，GWO的性能和PSO、GSA算法一样好。然而，在收敛性方面，3种测试算法仿真结果不同，GWO算法的最佳值总体略优于GSA和PSO；GWO算法是平均值收敛最快的，其次是GSA，最后是PSO。仿真结果表明，GWO算法的总体性能最优，但在其他PID控制器设计标准下，灰狼优化算法还需进一步探索。