陈铤

函数问题的考查形式多种多样，其命题方式也各不相同．其中，函数值域问题具有较强的综合性，侧重于考查函数的解析式、定义域、值域、图象、性质等．有些函数的值域问题较为复杂，其中含有根式、三角函数式、对数式，需采用换元法来求解．下面结合实例，重点探究一下如何运用换元法来求这三类函数的值域．

一、求含有根式的函数的值域

若函数的解析式中含有根式，我们通常无法直接根据基本初等函数的性质和复合函数的性质来求得函数的值域，需利用换元法，将根号下的式子用一个新变量替换，把函数式转化为关于新变量的函数式，根据函数的定义域求得新变量的取值范围，再根据基本初等函数的性质和复合函数的性质来求函数的值域．

解答本题，需通过三角换元去掉根号，将问题转化为三角函数最值问题来求解，可见，求含有根式的函数的值域，关键在于将根号下的式子合理换元，去掉根号，将问题转化为常规的函数最值问题来求解，这样才能化难为易．

二、求三角函数的值域

求三角函数的值域，常需用利用正弦、余弦、正切函数的单调性和有界性，而对于含有高次幂、同时含有不同函数名称的复杂三角函数值域问题，往往需要运用换元法来求解．通常需首先利用三角函数的诱导公式、两角的和差公式、辅助角公式、二倍角公式等将函数式化简；然后选取合适的部分进行换元，将问题转化为简单的正弦、余弦、正切函数的最值问题来求解，

该函数式中含有二次式，且函数名称不一致，需引入变量t，将其替换slnx，通过换元，将函数式简化为关于新元的二次函数式，以便利用一元二次函数的性质来解题．运用换元法解答三角函数值域问题，需仔细观察三角函数式的结构特点，选取合适的部分进行换元，通过求新函数的最值来求得原函数的值域，

三、求含有对数式的函数的值域

含有对数式的函数值域问题通常与复合函数有关，较为复杂，也需运用换元法求解．可对数式或真数用新变量替换，把问题转化为简单的基本初等函数或复合函数最值问题来求解，在求含有对数式的函数值域问题时，要注意：对數函数的定义域为（0，+∞），底数大于0，且不为1．

该函数中含有二次式，需令t=lnx，将函数式转化为关于￡的二次函数式，利用二次函数的性质来解题．在使用换元法时，要注意确保换元前后定义域的等价性．

该函数为复合函数，为了便于求解，需将对数函数的真数用新元替换，通过换元，将问题转化为简单的对数函数的单调性问题，这样便能快速求得问题的答案，求含有对数的函数值域问题时，需重点研究新旧函数的定义域，以确保能根据正确的定义域求得函数的值域，

通过上述分析可以发现，运用换元法求解函数的值域问题，需根据函数解析式的结构特点，选取合适的部分进行换元，然后通过恒等变换化简函数式，再将问题转化为熟悉的初等函数或简单的复合函数问题，就能利用初等函数和复合函数的性质，快速求得问题的答案．