黄文琴

求平面几何图形的面积问题比较常见．对于规则的平面几何图形，可以直接利用三角形、矩形、等腰梯形、圆等的面積公式来求解；而对于不规则的曲边平面图形，直接运用平面几何图形的面积公式往往很难求得，须利用定积分的几何意义求解．

定积分的几何意义是指被积函数与坐标轴围成的面积，即曲边图形的面积s=

，若被积函数的图象位于x轴上方，则函数的定积分为正；若位于x轴的下方，则函数的定积分为负，定积分与曲边梯形面积的关系，如下表所示，

利用定积分的几何意义求平面几何图形面积的步骤如下：

（1）根据题意画出平面几何图形；

（2）根据几何图形确定被积函数，求出图象与x轴、y轴的交点坐标，并求出积分的上、下限；

（3）把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；

（4）计算定积分．

例1．（1）求函数y=√4一X2在[-2，2]上的图象与x轴所围成的图形的面积；

（2）求函数y=smx在区间[-π，π]上的图象与x轴围成的图形的面积．

当被积函数的图象关于坐标轴或坐标原点对称时，比较容易求得几何图形的面积，直接利用定积分的几何意义和图形的对称性即可解题．

例2．求曲线y2= 2x与y=x-4所围成的图形的面积，

分析：题中的图形由两条曲线围成，很难快速求得问题的答案，需将图形分割，把问题转化为求两部分图形的面积的和或差，再根据定积分的几何意义来解题，

总之，若函数），y=f（x）的图象为不规则曲线，则需根据图形的特点进行合理的分割，将求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形的面积问题，利用定积分的几何意义来求解．对不同的图形，需采用不同的分割方法或选取不同的积分变量．