考虑轴力作用下盾构下穿引起既有隧道变形解析解

2022-11-27乔晓延齐晓强

铁道标准设计 2022年12期

乔晓延,齐晓强

(1.中交第二公路工程局有限公司,西安 710065； 2.青岛理工大学土木工程学院,青岛 266033)

引言

随着城市化进程的不断推进，城市地下空间发展已成为解决城市拥挤的一个重要途径。城市新建地铁线路很大程度上会对邻近结构物产生应力应变响应，也不可避免地下穿邻近既有运营线。对于如何合理评估隧道下穿既有线的影响已得到越来越多专家学者的青睐。

目前研究方法有实测分析[1-3]、有限元模拟[4-5]和室内实验[6-7]方法，但理论解析的方法更为简洁实用，可用来初步评估既有隧道在隧道下穿作用下的响应应答。该方法主要基于两阶段法，第一阶段Loganathan等[8]提出的能够估算隧道开挖引起周边土体位移场变化的土体自由位移公式；第二阶段将隧道简化成梁单元，搁置在地基模型上获得隧道变形控制方程；最后，解析方程获得隧道变形及其内力应答。王海涛等[9]基于修正Winkler地基模型[10]，采用两阶段法和傅里叶级数的解法获得新建隧道引起上覆管线变形矩阵解；李海丽等[11]基于Winkler地基模型和两阶段法，通过考虑土体模量对土与结构相互作用的影响获得下穿隧道对上覆既有管线变形的解析解；LIU等[12]考虑土体反力是非线性关系，并基于Winkler地基模型获得盾构下穿引起上方隧道变形解析解；梁荣柱等[13-14]用Euler-Bernoulli梁和Timoshenko梁模拟隧道单元，并将梁体搁置在Winkler地基模型上，分别获得下穿隧道引起上覆隧道变形解析解和简化计算方法；甘晓露等[15]采用两阶段法和Winkler地基模型，基于隧道开挖上浮效应获得既有隧道在盾构下穿时变形半解析解。由于Winkler地基模型缺乏考虑土与结构相互作用中土体剪切影响，使得解析理论结果与实测数据有所差别。为克服这一缺点，Pasternak提出了Pasternak弹性地基模型[16]来预测土与结构相互作用的力学理论；林存刚等[17]基于Pasternak地基模型和Euler-Bernoulli梁理论，获得下穿隧道引起上覆非连续性管线变形简化计算方法；管凌霄等[18]基于Timoshenko梁和Pasternak地基模型，解析获得隧道下穿引起上覆管线变形； LIANG等[19]引入非线性Pasternak地基模型，利用牛顿迭代法获得了非线性土体下，上覆隧道在盾构下穿作用下的简化计算方法；甘晓露等[20]基于Pasternak地基模型和两阶段法，获得新建双隧下穿施工引起上覆隧道沉降变形半解析解。综上所述，下穿隧道施工引起既有隧道变形响应的解析方法大多数停留在单参数Winkler和双参数Pasternak地基模型，较少有人考虑到精度更高的Kerr地基模型[21]，冯国辉等[22-23]与ZHANG等[24]均指出Kerr地基模型计算结果与实测数据吻合较好。

在已有研究基础上提出了一种新简化计算方法，采用Loganathan公式[8]获得隧道开挖引起上覆隧道轴线处的土体自由位移，将土体自由位移附加在既有隧道上，将既有隧道简化成无限长的Euler-Bernoulli梁搁置在三参数Kerr地基模型，并将既有隧道轴力纳入考虑的范围，结合两阶段法获得隧道变形响应的简化计算方法。通过与实测数据对比，本文方法计算结果较为符合；与本文方法退化解对比，本文方法的解析结果更具有优越性。随后系统分析了地层损失率、新建隧道埋深、新建隧道直径变化对既有隧道应力应变的影响。

1 分析过程

1.1 土体自由竖向位移场

1998年Loganathan提出盾构开挖引起邻近土体自由位移场的表达式如下

(1)

式中，R为隧道半径；H为隧道轴线深度；x为既有隧道到开挖隧道中心线的水平距离；z为距地表垂直距离；ε为等效地层损失比；υ为土体泊松比。

考虑到实际工程大部分盾构隧道与邻近隧道轴线不垂直的情况，如图1所示，当隧道轴线与旧隧道轴线存在夹角α时，式(1)可修正为

S(x，z)=ε0R2×

(2)

图1 新旧隧道相交示意

1.2 既有隧道受力控制方程建立

如图2所示，隧道与土体相互作用采用三参数Kerr地基模型，且隧道和周围土体共同变形。假定盾构下穿引起上覆隧道的附加应力为q，由Kerr地基模型特性可知，在该附加应力作用下既有隧道竖向挠度为

w=w1+w2

(3)

式中，w1为上层弹簧的变形量；w2为剪切层变形量。假设既有隧道及剪切层下侧的应力分别为

p1=cw1=c(w-w2)

(4)

p2=kw2

(5)

式中，c为上层弹簧刚度；k为下层弹簧刚度。对于剪切层[16]，有

(6)

式中，G为剪切层刚度。通过式(4)、式(6)，可以得到

(7)

将隧道简化成无限长的Euler-Bernoulli梁搁置在Kerr地基模型上，并将隧道二阶轴力效应纳入考虑的范围，可获得其微元段竖向力平衡控制方程为

(8)

式中，w为隧道位移；EI为既有隧道抗弯刚度；N为轴向压力；D为隧道直径；q为隧道受到的附加应力，其大小为

q=cS(x，z)

(9)

式中，c为Kerr地基模型上层弹簧刚度；S(x，z)可由式(2)得到，其中，z为既有隧道轴线埋深。

结合式(7)、式(8)可知

(10)

图2 Kerr地基下隧土相互作用模型

1.3 Kerr地基模型参数确定

Kerr地基模型参数的确定对于计算结果的正确性起到关键作用，根据简化弹性空间法可得

c=3k，k=4Es/3z，G=2Esz/9(1+ν)

(11)

式中，Es和ν分别为土体弹性模量和泊松比；z为既有隧道轴线埋置深度。然而，简化弹性空间法虽然操作简便，但由于引入较多假设，此时会造成计算精度并不高，故需调整各个参数的取值来满足实测要求。为得到更精确的计算结果，冯国辉等[23]提出了基于有限元方法验证得到的修正地基基床系数，即

c=7k，k=4Es/3z，G=2Esz/9(1+ν)

(12)

1.4 控制方程的求解

式(10)为6阶微分方程，由于其较难获得解析解，采用差分解获得其数值解。将既有隧道离散为m+7个点(其中两端存在6个虚点)，相邻虚点之间间距为l，且l=L/m，其中，L为既有隧道长度。隧道离散化如图3所示。

图3 既有隧道离散

此时，式(10)可简化成

t(6)+χ1t(4)+χ2t(2)+χ3t=χ4

(13)

式中，t(n)为w2的n阶导数；χ1、χ2、χ3、χ4分别为

(14)

根据实际两端边界条件进行简化，无限长隧道两端受下穿隧道开挖的影响很小，可将既有隧道两端简化成两个自由端，这样便可消去隧道两端6个虚拟单元，其矩阵形式为

(15)

式中{t}，[F]表示如下

(16)

[K]可表示为

(17)

此时，得到为w2(x)位移的半解析解，通过式(7)即可得到隧道纵向位移w(x)。同时，也可得到隧道弯矩和剪力如下

(18)

(19)

值得注意的是，当隧道轴力N=0时，本文解析将退化成只有附加应力作用下的既有隧道变形响应(EB-K模型)。当轴力N=0且Kerr地基模型中参数c=0时，隧道-土之间相互作用将退化成Pasternak地基模型(EB-P模型)。

2 算例验证

2.1 工程概况

JIN等[1]曾报道过深圳地铁9号线双线隧道下穿既有4号线隧道的工程案例。取9号线左线下穿既有隧道的实测数据与本文方法计算结果进行对比。如图4所示，新建隧道与既有隧道埋深分别为H=20.5 m和z=12.0 m，两隧道轴线夹角为α=83°，两隧道外径均为6 m，衬砌厚度为30 cm。由文献[20]可知，既有隧道抗弯模量为EI=1.17×108kN·m，新建隧道引起的地层损失率为ε=0.5%。其土体弹性模量为Es=62.5 MPa[20]，土体泊松比υ=0.3。考虑到既有隧道轴力的影响，根据文献[2]，可取既有隧道管片间拼装轴力为80 MN。

图4 两隧之间相对位置简化(单位：m)

2.2 计算结果分析与比较

图5为本文计算结果与工程监测数据的对比，其监测数据来自文献[1]。由图5可见，本文方法和本文方法退化解(EB-K模型和EB-P模型)与监测数据结果趋势一致。既有隧道竖向变形主要发生在距离隧道中轴线两侧40 m范围内，与监测数据分布规律相符合。采用本文方法计算得到隧道沉降位移为5.4 mm；本文退化EB-K模型(即不考虑本文提出的侧向土体作用时)计算结果稍微较大，其位移峰值为5.8 mm；EB-P模型(即将既有隧道简化成Euler-Bernoulli梁搁置在Pasternak地基模型上)计算结果明显偏大，隧道最大位移为7.1 mm。造成这一现象的原因在于本文提出的既有隧道轴力作用，使得隧道纵向长度上管片更加紧密，既有隧道抵抗变形的能力增强，显然会减小隧道沉降；此外，Pasternak地基模型未考虑多参数对隧道位移预测结果的影响，其计算数值也会偏大。与本文方法的退化解相比较，监测数据最大隧道位移为5.3 mm[1]，明显本文方法计算结果更加符合监测数据。在同等条件下，本文方法可作为一种快速评价盾构下穿对既有隧道影响的工具，对实际工程具有一定指导意义。

图5 隧道纵向计算、有限元及监测数据对比曲线

图6 隧道纵向内力分布对比曲线

图6为本文方法及其退化解计算得到的既有隧道纵向弯矩和剪力对比曲线。由图6可知，本文方法计算结果与本文退化解EB-K计算结果相近，但本文方法结果偏小，而EB-P模型计算结果明显偏大，这和Pasternak地基模型预测隧道变形步调一致，由于未能考虑到多参数因素对土与结构相互作用的影响。因此，本文方法及EB-K模型在预测土与结构相互作用时有很大优势，进一步说明本文方法的合理性。

此外，由图6还可以看出：隧道弯矩变化曲线沿隧道中心轴线成正对称分布，最大正弯矩(隧道下侧受拉)位于隧道中心点处，明显大于隧道最大负弯矩值；隧道剪力变化曲线沿隧道中心点成中心对称分布，最大剪力出现在离隧道中心点处4 m处。这些内力峰值出现的位置均为危险截面，在实际工程中需予以重视。

3 参数分析

为研究隧道应力应变与关键工程参数的关系，建立如下工程案例：既有隧道和开挖隧道直径均为D=D0=6 m，既有隧道和开挖隧道轴线埋深分别为z=10 m和H=20 m，土体泊松比为υ=0.3，新旧隧道平面夹角为α=90°，土体模量Es=60 MPa，既有隧道抗弯刚度为EI=1.17×108kN·m，新建隧道造成地层损失率为ε=1%。

3.1 地层损失率影响

图7、图8分别为不同地层损失率下对既有隧道纵向位移及弯矩影响曲线。由图7、图8可以看出，隧道纵向位移和弯矩变化曲线沿隧道轴线对称分布，当距离隧道中心线为0时，隧道纵向位移变形量和弯矩值最大；随着地层损失率增大，隧道纵向位移量和弯矩均会随之增大，说明地层损失率越大，盾构下穿既有隧道就越危险；同时，随着地层损失率的线性增大，隧道变形位移及其弯矩也会出现线性增大；笔者认为由于随着地层损失率的增大，既有隧道轴线处受到的附加应力呈线性增大，致使隧道每个位置处的下沉位移会与地层损失率线性相关。还可以看出，隧道中轴线的位移峰值和弯矩峰值最大的，因此，在实际工程中，应尽可能地减小盾构开挖对周边土体的扰动以减小地层损失率，从而从根本上保证既有隧道安全。

图7 不同地层损失率下隧道位移曲线

图8 不同地层损失率下隧道弯矩曲线

3.2 新建隧道轴线埋深影响

图9为不同隧道轴线埋深下隧道纵向最大位移wmax和最大弯矩Mmax变化曲线。由图9可以看出，新建隧道埋深由18 m增加至28 m过程中，既有隧道纵向位移从15.6 mm逐渐减小到10.3 mm，降幅接近34%，减小速率基本不变。还可以看出，增大新建隧道埋深时，隧道弯矩从6.7 MN·m逐渐减小至2.0 MN·m，弯矩降幅接近70%。随着新建隧道埋深增加，盾构开挖引起既有隧道轴线处的附加应力在土层中逐渐消散，导致隧道纵向位移变形及弯矩均大幅度减小。相比于隧道纵向位移变化，隧道弯矩变化更为敏感，但总的来说，新建隧道埋深变化是引起既有隧道受力变形的敏感参数，这对于指导实际工程具有一定意义，实际工程中可尽可能增加盾构开挖深度来降低对上覆既有隧道的影响。

图9 不同新建隧道轴线埋深下隧道最大位移和弯矩变化曲线

3.3 新建隧道直径影响

图10为不同隧道轴线埋深下隧道纵向最大位移wmax和最大剪力Qmax变化曲线。由图10可以看出，随着新建隧道直径增大，既有隧道纵向位移从14.6 mm逐渐增大到47.7 mm，增幅高达2.27倍，增速基本不变。还可以看出，新建隧道直径从6 m增加至11 m过程中，隧道剪力从0.61 MN逐渐增加至1.91 MN，剪力增幅高达2.13倍，增速基本不变。随着新建隧道开挖直径增大，盾构开挖引起既有隧道轴线处的附加应力也会逐渐增大，导致既有隧道纵向位移变形及剪力均大幅度增大，说明新建隧道开挖直径变化是引起既有隧道受力变形的敏感参数，在实际工程中可通过减小盾构开挖直径来保护既有上覆隧道应力应变的安全性。