陈益萍

江苏省南通市通州区姜灶中学 226300

数学概念包括了数学中的定理、法则、公式等等，是数量关系和空间形式在人脑中的一种本质反映.掌握数学概念的重要性不言而喻，所有的数学知识和数学技能都要以掌握数学概念为前提，但是究竟如何进行数学概念的教学，要求学生记忆就可以了吗？在教学中我们发现学生靠记忆数学概念而没有理解其内涵会严重制约数学知识的掌握，更谈不上提升数学的核心素养.本文以“一元二次方程”的教学设计为例，与大家探讨如何进行概念教学.

原教学设计

（一）创设情境，激趣导入

有一张长30 cm，宽20 cm的矩形纸片，在它的四个角各切去一个同样大小的正方形，然后把四周剩下突出的部分折起来，就能制作成一个无盖的纸盒.若制作的无盖纸盒的底面积是100 cm2，那么你知道裁掉的四个角的正方形的边长是多少吗？

（二）合作探究

1.观察整理后的方程，思考：

（1）新列的方程与以前学过的方程有什么不同之处？

（2）怎样给这个新列的方程下定义？

2.归纳概念

定义：当一个等式只含有一个未知数，并且这个未知数的最高次数是2，这样的方程叫一元二次方程.

3.练习巩固：下列方程中哪些是一元二次方程？

（1）3x+2=0；（2）y2=1；（3）x－+1=0；（4）x2+x=x2+1；（5）3x2=5x－1；（6）ax2+2x+3=0.

4.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）.

（1）为什么a不能等于0？

（2）如何定义一次项和一次项系数，二次项和二次项系数以及常数项？

（三）举例示范，感悟升华

案例：将方程3x（x－1）=5（x+2）转化为一般形式的一元二次方程，并分别写出其中的一次项系数、二次项系数和常数项.

练习巩固：将下列一元二次方程转化为一般形式，并分别写出其中的一次项系数、二次项系数和常数项.

（1）3x（x－1）=5（x－2）；（2）x2=2；

（3）x（3－x）=0.

（四）思维拓展

当k分别满足什么条件时，方程（k2－1）x2－（k+1）x－4=0（1）是一元一次方程；（2）是一元二次方程？

反思建议

这是一节讲授一元二次方程及其概念的数学概念课，总体的教学设计框架非常清晰，逻辑也非常清楚，但是节奏过快，每一环节只是点到为止，学生的学习效果不佳.

1.定义概念过快

学生在已经学习了一元一次方程的基础上继续学习一元二次方程，那么两者之间的区别和联系是什么，教学设计中采用学生自主探究的方式进行，这是比较好的方式.但是比较的过程不是一蹴而就的，应该通过多样的例子让学生找出其相同点和不同点进行归纳，而上述教案中只通过一个例子，就直接得出一元二次方程的概念，很明显是不够的.这样的概念定义其实是强行塞给学生的，学生并未真正理解，只是有了一个模糊的认识.

2.解读概念过快

教学中对于什么是一元二次方程，教案没有进行细致的解读，仅仅只是解释了最基本的一元二次方程的概念和特征，对于其外延没有讲解，那么学生自己在认知的时候很明显会发生错误.一元二次方程除了其本质的“二次”需要注意，还要注意它的一些特殊形式，这样学生在遇到特殊的一元二次方程时才能进行辨析，如需要列举一元二次方程的四种形式：

ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0，b≠0，c≠0）；

ax2+bx=0（a、b是常数，且a≠0，b≠0）；

ax2+c=0（a、c是常数，且a≠0，c≠0）；

ax2=0（a是常数，且a≠0）.

由于教案中没有将一元二次方程的所有形式进行列举和讲解，学生对于一元二次方程的概念的认知肯定是不全的，也就影响了后面进一步的深入学习.

3.辨析概念过快

新知识的学习过程中，第一印象往往是最深刻的，所以才会有做题时一错再错的现象，形成第一印象再纠正就变得非常困难，所以在一开始就形成正确的认识非常重要.教案中当学习了一元二次方程的概念之后，首先设计的练习环节是判断题，这实际上容易让学生产生误区，因为学生对一元二次方程的认识还不够牢固，一下子进行辨认非常困难，反而容易造成错误的印象.学习完概念之后的巩固练习可以安排一元二次方程的运用，强化正确概念，达到正向迁移，巩固概念.

4.运用概念太快

初步认识概念之后，运用概念可以进一步巩固对概念的理解，但是学生在本课的重点是理解一元二次方程的概念，至于运用一元二次方程解决问题应该放到下一节课，本课过多地讲解应用并拓展，偏离了本课的核心目标，不仅达不到巩固知识的目的，反而会弱化学生对概念的理解.一元二次方程在实际生活中的应用非常广泛，教师可以联系生活，创设情境，让学生感受数学与生活的紧密联系.

完善后的教学设计

（一）创设情境，激趣导入

1.有一张长30 cm，宽20 cm的矩形纸片，在它的四个角各切去一个同样大小的正方形，然后把四周剩下突出的部分折起来，就能制作成一个无盖的纸盒.若制作的无盖纸盒的底面积是100 cm2，那么你知道裁掉的四个角的正方形的边长是多少吗？设切去的正方形的边长为x cm，可以列方程为_____________.

2.2020年新年的时候，八年级（4）班的同学互相赠送贺卡（每名同学向其他同学各赠送一张），一共赠送贺卡45张.设八年级（4）班共有x名同学，可以列方程为_______________.

3.将一根长为28 m的带子围成一个长方形，若要求围成的长方形的面积是32 m2.设一边长为x m，可以列方程为________________.

（二）合作交流，探究新知

1.观察整理后的方程，探究：

（1）刚刚列的方程与之前学过的一元一次方程有什么不同点？

（2）怎样给新的方程下定义？

2.归纳概念

（1）一元二次方程的基本概念和一般形式是什么？

（2）一元二次方程有什么基本特征？

（3）一元二次方程的基本形式是怎样的？

思考：①为什么要规定a≠0？

②分别说一说一次项和一次项系数，二次项和二次项系数以及常数项是什么.

（4）请你根据定义，写一写一元二次方程有哪些基本形式.

①若b≠0，c=0；②若b=0，c≠0；③若b=c=0.

（三）引领示范，感悟新知

案例：将方程3x（x－1）=5（x+2）转化为一般形式的一元二次方程.

练习巩固：将一元二次方程转化为一般形式.

（1）3x（x－1）=5（x－2）；（2）x2=2；（3）x（3－x）=0.

（四）巩固拓展，运用新知

练习巩固：1.根据问题列方程，并将所列方程转化成一元二次方程的一般形式.

（1）若有4个完全相同的正方形，它们的面积之和为25，请问正方形的边长是多少？

（2）有一个直角三角形的两条直角边相差3 cm，这个直角三角形的面积是9 cm2，请问这个直角三角形较长的那条直角边长多少？

（3）班级活动中，每位同学和全班其他同学搭档组合一次，一共组合了55次，请问这个班有多少人？

2.请问下列哪些数是方程x2+x－12=0的根？

－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.

结束语

教学不是匆匆忙忙地完成几个教学环节就达成了教学目标，完成了教学任务，教学中要思考学生的需求是什么，学生的认知规律是什么，学生感兴趣的是什么，这个知识点的学习对学生的作用是什么.当教师多去从学生的角度思考问题，自然我们就可以把教学的脚步放得慢一点，不会埋怨学生没有跟上教师的步伐，可以师生同步，更好地实现互动课堂，共同遨游在知识的海洋.

教学中的“慢工出细活”不是浪费时间，恰恰是教师对教学的精细推敲和深入研究所展现出的娴熟的教学基本功.教学中的“慢”是教师根据教学目标对课堂节奏的精准把控，在需要深入探究的教学环节“慢一点”，可以让学生真正理解知识，通过对数学概念理解的基础上，学生才能实现对知识技能的运用和对数学知识的感悟.

总之，数学概念的教学不能急躁和激进，教师要给学生保留足够的思考空间和时间，让学生真正感受学习正在发生，去主动探究和交流合作，提升思维能力.让我们的教学活动慢一点、细一点、实一点，通过学习感受数学之美，体会数学之神奇，在慢节奏的数学学习中提升学生的数学核心素养.