童益民

(效实中学，浙江 宁波 315012)

1 原题呈现与分析

例1已知等差数列{an}的首项a1=-1，公差d>1，记{an}的前n项和为Sn(其中n∈N*).

1)若S4-2a2a3+6=0，求Sn；

2)若对每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列，求d的取值范围.

(2022年浙江省数学高考试题第20题)

分析该题以等差数列为背景，第1)小题主要考查了等差数列的通项公式与前n项和公式，属于简单题；第2)小题主要考查了方程有解问题与不等式恒成立问题，有一定的灵活性，运算上有一定的复杂性，理解上有一定的综合性，属于中档偏难的题目.接下来对第2)小题进行分析与研究.

2 解题思路与分析

根据题意，对每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列，即对每个n∈N*，存在实数cn，使

(an+cn)(an+2+15cn)=(an+1+4cn)2

成立，即对每个n∈N*，关于cn的二次方程

有解，即对每个n∈N*，

(1)

恒成立.

分析1第2)小题的题意是双重有解与恒成立问题，结构是“对任意n∈N*，存在cn,使得p(n,cn)条件成立”.这里需要注意的是处理顺序上应先处理靠近条件p(n,cn)的量词，即先处理存在实数cn，使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列；再处理远离条件p(n,cn)的量词，即再处理对每个n∈N*，式(1)恒成立，处理顺序上不能调换，可参考文献[1].

因为首项a1=-1，要求d的取值范围，所以用d来表示式(1).

方法1式(1)可化为

Δ={8(-1+nd)-15[-1+(n-1)d]-[-1+(n+1)d]}2-4{(-1+nd)2-[-1+(n-1)d][-1+(n+1)d]}≥0,

即

Δ=(-8nd+14d+8)2-4d2≥0,

亦即

(nd-2d-1)(2nd-3d-2)≥0.

(2)

方法2式(1)可化为

即

Δ=(-8an+1+14d)2-4d2≥0,

亦即

(an+1-2d)(2an+1-3d)≥0,

亦即

(nd-2d-1)(2nd-3d-2)≥0.

分析2在对式(1)的处理上，方法1与方法2殊途同归，方法1直接通过首项a1与公差d运算，方法2通过第n+1项an+1与公差d运算.相比较而言，方法1比方法2在运算上稍显复杂.

接下来再继续处理对每个n∈N*，式(2)恒成立.

方法1用特殊值代入法.

当n=1时，(d-2d-1)(2d-3d-2)≥0，即

(d+1)(d+2)≥0.

当n=2时，(2d-2d-1)(4d-3d-2)≥0，即

d≤2，

从而

1

当n≥3时，因为

nd-2d-1≥3d-2d-1=d-1>0，

2nd-3d-2≥6d-3d-2=3d-2>0,

所以

(nd-2d-1)(2nd-3d-2)≥0.

综上所述，1

方法2用函数图像法.

令f(n)=(nd-2d-1)(2nd-3d-2)

则f(n)≥0对n∈N*恒成立.因为d>1，所以

根据f(n)的图像(如图1)，可得

图1

解得

0

从而

1

方法3用参数分离法.

式(2)可化为

[d(n-2)-1][d(2n-3)-2]≥0.

当n=2时，d≤2.

当n≠2时，

因为(n-2)(2n-3)>0，所以

即

图2 图3

综上所述，1

方法4用集合思想.

式(2)可化为

3 拓展应用

(2022年宁波效实中学高三数学模拟卷第17题)

[3x(t-1)-1]·[log3(4x-1)-log3(4t)]≥0

对任意的正整数x恒成立，即不等式

[3x(t-1)-1]·(4x-1-4t)≥0(其中t>0)

对任意的正整数x恒成立.

当x=1时，[3(t-1)-1]·(4-1-4t)≥0，从而

当x=2时，[9(t-1)-1]·(8-1-4t)≥0，即

从而

当x≥3时，

故[3x(t-1)-1]·(4x-1-4t)≥0恒成立.

(2022年杭州高级中学高三数学模拟卷第17题)

图4

根据平面区域，当最大时，伞环与线段AB相切位置，设切点为D，则

从而

故

(a·b)min=|OA|·|OB|cos∠AOB

当较小，直到=0时，M⊆N都成立，故

4 回顾总结

例1中出现的字母较多，还涉及双重有解与恒成立问题，并且计算较复杂，对学生来说还是有一定的难度.需要学生能理解问题的本质，有较强的计算能力，能熟练处理有解与恒成立问题.这需要在平时的教学中，进一步发展学生的数学运算能力，对于有解与恒成立等基本问题，能够系统全面地掌握，形成规范化思考问题的品质.例2和例3得分较低，主要体现在学生不能找到处理恒成立问题的有效方法，习惯于用参数分离法、图像法和最值法处理恒成立问题，而例2用特殊值法先求必要条件再证充分性的思想让学生耳目一新，例3更是把一维的数集推广到二维的点集，用集合的思想方法让学生如雷贯耳，正如在黑暗中出现的一道闪电，让学生豁然开朗.基于对学生数学核心素养的培养，教师可从高考题中发现基本问题，再进行拓展研究，以此强化学生的“四基”，提高学生的“四能”，切实落实好课程目标.