李嘉伟 （南京大学建筑与城市规划学院，江苏 南京 210093）

1 背景

在计算机辅助建筑设计的研究中，用计算机来进行生成式的设计是比较热门的话题。基于生成式的设计方法，建筑师可以借助计算机，通过间接的修改设计策略而非直接的修改设计结果的方式，快速大量地获得建筑设计方案，实现对多种方案的寻优和比较。生成设计工具作为建筑生成设计方法的外在表现，能够反映生成设计方法的逻辑、操作和结果，也是研究中最重要的部分。生成设计工具通过算法手段，为一类建筑设计问题提供一套固定的求解方法，成为有力的设计辅助工具，助力建筑师在方案设计前期进行方案的快速推敲与筛选，提高设计阶段的质量和效率，有效降低设计阶段的成本。

图（Graph）是数学中图论领域的主要研究对象。图是由若干给定的顶点及连接两顶点的边所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系。顶点用于代表事物，连接两顶点的边则用于表示两个事物间具有这种关系。

拓扑关系常被建筑师用作表示建筑设计中各个元素之间的关系。例如，功能拓扑关系图被用来描述建筑内部功能单元的连接关系。拓扑关系常常以图作为可视化的载体，我们可以通过图来研究建筑设计中的拓扑关系问题，进而从这一角度归纳总结形成相关的建筑生成方法。

2 图与拓扑关系在建筑生成方法中的应用

图（Graph）源自于图论，图论中的图（G）是由若干给定的节点（V）及连接两点的边（E）所构成的一个二元组G=〈V，E〉。可以用图结构来存储和使用图，如图1。图结构是一种计算机算法设计中的常用数据结构。它与其他计算机编程中的数据结构（Data Structure）一样（如链表、堆栈、树结构等），是按照某种顺序，对一堆基本数据的封装方式。

图1 图结构与对偶图（图片来源：作者自绘）

对偶图（Dual Graph）是一类特殊的图，如图1。它的生成方法是：对于给定平面图G=〈V，E〉，设G的面为F₁，F₂，…，Fₑ，当图G*满足如下条件时，则图G*=〈V*,E*〉称为G的对偶图。

①对G的每个面Fₒ，内部任选一点v*ₒ∈V*；

②对Fₒ，Fₓ的每一条公共边界eₔ，vₒ*与vₓ*间有一条边eₔ*，并且eₔ*与eₔ交于一点；

③当且仅当eₔ仅是一个面Fₒ的边界时，vₒ*有一个环（自回路），eₒ*与eₔ相交。

在建筑设计领域中最早开始图相关的研究是1964年Levin[1]指出了建筑平面布局与图论两者之间的关联。自此之后相关研究逐渐丰富起来。Roth[2]在1988总结了相关研究，将相关研究分类为将图结构视为关系图，以及将图结构视为关系图的对偶图这两个不同的视角。

在建筑设计中，设计师也经常运用泡泡图来表示建筑各部分之间的关系，可以用图论中的节点和边来进行表示，这种类型的图是属于将图结构视为关系图的视角。在图结构视为关系图的视角中，图结构中的顶点是被视为房间，区域或者是实体，而图结构中的边则被视为是房间，区域或者是实体之间的连接关系。

建筑师所常用的平面图，在简化掉标注等信息后，也可以在抽象层面上把它视为是一个图结构。此时这种类型的图是属于将图结构视为关系图的对偶图的视角。作为对偶图，平面图上墙体或边界之间的交点被视为是图结构中的顶点，墙体或边界则被视为是图结构中的边。这个对偶图所对应的关系图，就是各个房间或者区域之间的拓扑关系。

基于图结构进行建筑生成设计的路径，可以具体分为两个阶段，拓扑阶段和几何阶段。在拓扑阶段中，主要包括图结构的整理、复杂图结构的拆解以及图结构的二维平面展开这三方面；在几何阶段中，主要是对于抽象图结构的几何信息赋予。

2.1 从关系图视角出发的研究

从关系图出发的视角，在研究过程中，主要是以图结构中的节点作为切入，主要需要处理的问题是在几何阶段中，如何在维持现有拓扑关系的情况下，合理的布置节点所代表的房间或区域，同时维持房间或区域的面积属性。

从关系图的视角出发的相关研究，思路和方法同质化比较严重，基本不会运用图论相关知识与算法，从关系图的视角出发的相关研究关注点大多在于对力导向法及其变体形态的发展和优化。

首先是Ruch[3]在1978年，将图结构中节点的面积作为权值，形成了面积加权的连接图，并利用这个连接图，将之转化为正方形的布局，如图2所示。这成为了后续从关系图的视角出发的相关研究的思维起点。

图2 由关系图到正方形布局（图片来源：RUCH J，1978）

Nourian[4]等人参考了 Mitchell[5]的做法，将包含东南西北方位的边界节点融入原有的只包含房间或区域节点的图结构的计算，从而得以更好的控制生成结果的朝向。他还使用图论中的Tutte嵌入（TutteEmbeding）算法[6]，实现了快速将随意绘制的平面图进行二维展开，还使用三角剖分的方式穷尽了所有在输入时没有明确定义的拓扑连接，拓展探索了隐藏的拓扑解空间。最后基于力导向的结果，如图3，对图结构中代表房间的顶点的布置，随后用Voronoi图形的原理将房间填满整个边界并做了正交规整化的处理，如图4。Nourian的工作整理和完善整个从关系图视角的生成方法，并且基于他的工作，开发了Grass⁃hopper平台下的SYNTACTIC插件。

图3 运用力导向法求解功能区的布局（图片来源：NOURIAN P，2016）

图4 引入边界节点的SYNTACTIC插件计算流程（图片来源：NOURIAN P，2016）

由于图结构模型数据结构较为复杂，每个顶点与边之间相关的关联关系较难以控制，导致在构建、使用和修改图结构模型时较为繁琐，郭梓峰[7]基于图结构与连接矩阵在数据结构上可以相互转换，选择使用连接矩阵来构建和修改图结构，提高了计算效率。郭梓峰也将基于多智能体的图结构生成方法与格网模型做了结合，从而得到了较为规整化的生成结果。基于三维格网，做了三维空间拓扑关系生成的尝试。并将生成结果转化为基于格网的模型，如图5。

图5 三维空间拓扑关系生成及形体转化（图片来源：郭梓峰，2017）

Egor[8]等人提出的Magneitizing算法，并基于这一算法开发了Grasshop⁃per平台下的MAGNETIZING FLOOR PLAN GENERATOR插件。他们不再尝试以圆形或球体来代表房间或区域节点所占据的空间来参与粒子－弹簧系统的计算，而是改用矩形，如图6，并且基于格网系统来进行计算，这样更能满足生成结果的使用需求。他们也开发了一个基于粒子－弹簧系统生成结果的交通空间生成算法，大大提高了生成结果的可用性。

图6 MAGNETIZING FLOOR PLAN GEN⁃ERATOR插件的生成结果（图片来源：EGOR G等人，2020）

2.2 从对偶图视角出发的研究

在研究过程中，主要是以图结构中的边作为切入，核心要处理的问题是在几何阶段中，如何将只带有拓扑信息对偶图的关系与实际地块或区域形状相结合。

从对偶图的视角出发的相关研究，思路和方法相较于从关系图出发的视角要丰富很多，也没有形成较为成熟的方法路径。从对偶图视角出发的相关研究，大多是通过借鉴图论方面的研究成果，针对建筑领域中图结构的应用，提出适合建筑领域要求的特异性方法。

Grason[9]首先将NEWS节点融入到图结构的计算中去，并且将拆解图结构形成子图的思路应用在对于对偶图的计算当中。研究通过将无方向图结构中的边赋予两种不同的方向，并计算每个节点所接收和发出的边，由此将图结构的拆解成x和y方向上的两个子图。进而将对偶图映射成正交矩形剖分如图7。

图7 图结构的拆解与节点所接收和发出的边的计算（图片来源：GRASON J，1971）

Roth[10]借鉴和发展了Grason的思路，对于不是完全图的输入，利用剖分算法变为完全图，解决了Grason算法不能处理的情况。然后利用图结构中的边，实际上表示与这条边相关联的节点在实际几何图形中的一个边缘这个原理，将两个子图分别对应成x轴和y轴方向上的墙体，墙体的长度由边的权重进行定义，进而将完全图映射成正交式的四边形房间，从而将可平面图（a planar graph）转化为建筑平面轮廓。同时图中边带有长度属性，可以作为四边形房间墙体的长度，如图8。

图8 X和Y方向的子图以及对应边的计算（图片来源：ROTH J等人，1982）

Shekhawat[11]将图结构中的节点转变为矩形，从第一个节点开始与后面的节点进行连接，如果一个节点需要连接两个或以上的其他节点，那么就将这个节点对应的矩形进行水平或者垂直方向上的扩展，直到最终绘制完全部的节点后，再对图中空缺的部分，进行额外的填充。这种方法可以看作是对J Roth方法实现的一种变体，如图9。

图9 水平或垂直扩展的示意图（图片来源：SHEKHAWAT K等人，2020）

3 结语

对于上述提到的两种视角，可以做出如下总结，如下表所示。

从关系图出发的视角，因为关系图与建筑师常用的平面功能泡泡图的天然对应关系，所以其实现过程可以很容易被建筑师和使用者理解和想象，从规则复杂程度上来说，较为直观且不复杂。因此，导致这种视角指导下的具体实现路径也较为清晰，从一定程度上来说比较单一。由于其求解过程中的迭代属性，从关系图出发的视角方法在处理复杂约束条件的情况时（如参与拓扑关系计算的对象变多时），其求解速度下降较为明显，并且求解结果有时会出现难以收敛的情况。另外，由于代表关系图中点的元素（如圆形、矩形）的初始位置常常是随机布置的，所以在对于解空间的搜索效率并不高。最后从泛用性的角度来看，由于过程中许多参数（如吸引排斥力的强度等）常常是需要反复调整的，并且是针对特定约束条件的，导致整个系统的泛用性较差。

对于从对偶图出发的视角，因为存在从关系图到对偶图的转换过程，常常导致从对偶图出发的思路相对来说不容易直接进行想象和理解。从规则的复杂程度上来说，相较于关系图视角下只需要布置顶点这一要素，对偶图视角需要同时考虑顶点要素和边要素的布置，因此在规则的复杂程度上较高。在计算的过程中，从对偶图出发的思路常常会选择对原本的复杂图结构进行拆解，降低复杂程度，因此在处理复杂约束条件表现更好。另外因为其很少需要对布局位置进行精确确定，只需确定大概的方位和范围，所以从效率的角度上来说相对较高，整体的生成过程泛用性也较好，但是从结果的角度看，不确定也导致了结果的均质性。

总的来看，关系图视角下的探索已经处于较为完善和成熟的状态，具体的技术实现路径也基本上大同小异，缺乏本质上的区别。基本实现了从概念原型的开发到实际案例应用的整个流程。并且从关系图视角出发的前提假设是房间或建筑体量是可以被视为均质的圆形或矩形的，但这个假设本身是否合理值得商榷。而对偶图视角下的探索还不是十分完善，目前已有的研究是比较偏概念原型方面的研究，缺乏针对实际案例的应用。具体的技术实现路径上也差异较多，但都受限于对偶图本身几何信息的匮乏，导致从结果上看，基本局限于矩形和正交体系。因此，从对偶图出发的视角要解决的关键问题是如何实现抽象拓扑图映射到实际几何对象，在这个过程中要丰富和完善缺失的几何信息。

图结构与拓扑关系相关研究的两种思路的分析对比表（表格来源：作者自绘）