◎马明玥 张万龙

(首钢工学院基础学院，北京 100144)

一、引言

如果根据两个变量的一组观测值(x1,y1),(x2,y2),……,(xn,yn)，估计其附近其他点的情况一般有两种办法，一种是插值法，另外一种即为拟合法.

插值法是通过在已知的离散数据点的基础上插入连续函数，这个连续函数所对应的曲线能经过所有已知的离散数据点.较著名的插值方法有多项式、埃尔米特、分段、三角函数插值等.观测点的不断增加，一方面会导致计算量快速增大，另一方面如多项式插值会产生龙格(蝴蝶)效应.

数据拟合又称曲线拟合，俗称拉曲线，是可以将已知的数据通过数学方法来代入数式的表示方式.工程或科学技术领域中涉及的实际问题可以通过不同的方法获得若干离散数据，如采样、实验等.借助这些获得的离散数据，我们往往希望得到一个连续的函数(也就是连续曲线)或者更加密集的离散方程可以与已知数据相吻合，这种方法就是拟合(fitting).

插值与拟合都可以借助计算机软件进行辅助计算以减少计算的压力，如Excel、Mathematical、Matlab等数学软件.这些软件还可计算在集成环境下得到除函数表达式之外的一系列分析结果，用于分析插值与拟合的效果，但所有操作对用户都是透明的.线性插值与拟合原理非常简单，计算量基本都在可承受范围内，还可以满足一些特殊需求.本文重点讨论线性最小二乘法拟合，除了传统的纵坐标距离平方和最小外，还讨论横坐标及法向平方和达到最小的情况，同时引入了新的符号表示系统.

图1 最小二乘法线性拟合示意图

二、线性最小二乘法参数计算

三、误差估计

将(5)代入(12),

将(7)代入(13),

发现(15)与(16)完全相同！借助Mathematica软件计算，

Mathematica软件求解见图2.

图2 Mathematica部分计算程序

四、应用实例

表1为某刀具随用时磨损程度表，分别使用垂直、水平、法向最小二乘法线性拟合.

表1 某刀具随用时磨损程度表

对数据的计算见图3，对数据的拟合见图4.

图3 Excel计算

图4 Excel拟合

将Excel分析数据整理得到表2.

表2 拟合所需中间数据表

将表2中数据分别代入(5)(7)(11)得到直线方程，

Ly:y=-0.30357x+27.125，

Lx:y=-0.31206x+27.15471，

L⊥:y=-0.30429x+27.12751，误差均方和均为0.0135.

用Excel拟合功能拟合Ly如图4，拟合结果和计算结果高度一致.

三种拟合对比图见图5.

图5 拟合效果对比图