陆 珺

(苏州大学数学科学学院 215006)

新加坡学生在TIMSS和PISA测试中始终名列前茅[1-5]，这不仅是出色的数学教学工作的成果，更是优质的数学教师教育的成就．分析新加坡数学教师教育之教材，尤其是关乎教学素养养成的数学教育学教材，有助于学习与借鉴新加坡在教材建设、教师教育乃至数学教学方面的诸多良策．

1 概况

《中学数学教学资源手册》(Teaching Secondary School Mathematics:A Resource Book[6]，下文简称《资源手册》)是新加坡南洋理工大学国立教育学院数学与数学教育学术组(Mathematics and Mathematics Academic Group，简称MME)在为职前数学教师开设的数学教育学课程教学中使用的主要教材．与学生在其余数学课程学习中没有指定教材亦无需个人购置教材不同，该书是修课的必备书籍，足见其在数学教师教育中的分量之重．其初稿诞生于1997年，之后数年间在被印刷用作内部教学讲义(图1)的同时经历持续修改，并于2003和2004年两度在讲义基础上被装订成册，直到2005年正式出版，再于2007年由来自MME(在职18人，退休2人)和新加坡教育部(1人)的21位作者参与修订后再版(图2)．因此，新加坡一流数学教研团队的十年心血与倾力合作，使这部教材十几年来经久不衰，并陆续为他国教师教育所采用．

图1 图2

该教材(2007版)共438页，由主题教学(288页，约占2/3课时)和阅读材料(124页，约占1/3课时)两大版块构成内容主体(图3)．不同于国内同类教材多以数学教学理论为线索呈现内容，“主题教学”版块作为该教材的核心内容，其15个单元分别以新加坡中学数学课程所涉及的具体知识块的教学为载体而展开．作为理论补给的“阅读材料”版块，其7个单元均无长篇累牍的理论阐述，而是以大量表格、图示、实例及图片为理论作概括、提炼、梳理与解释．

图3

2 “主题教学”版块

该教材第1版主编和第2版第一主编李秉彝(Lee Peng Yee)教授，曾专门撰文[7]探讨数学教师教育中的学科知识(subject knowledge，简称SK)到底应取教学所需还是教师所需．若取前者，那么仅需框定中/小学数学课程的几个主题；而取后者，则应超越中/小学数学课程内容，要求数学教师不仅要掌握授课内容，还要学习更多的数学知识以使自己在教学中更加自信．多年来，关于SK课程该教什么，怎样去教以及由谁来教的讨论使其成为一门有些争议的科目．尽管国立教育学院的SK课程已定位于教师需要的数学，但是，仍有不少数学家和数学教育专家指出，SK课程的数学内容不应只关注是否超越了中/小学数学课程内容，更要关注其是否与中/小学数学课程内容相联系[7]．李秉彝认为，取教师所需的SK课程教学的关键在于确保其数学既“严谨”又“振奋人心”，对此可行的方法便是在数学和教学之间建立紧密联系[7]．由此不难理解该教材对于“主题教学”版块的设置与构思，为何对中学数学课程内容既重视基础又有所超越，又为何能够在数学主题与教学论述间切换自如．该教材能够在同类教材中独树一帜，基本可归因于其“主题教学”版块特色鲜明，具体包含以下几点．

2.1 追溯知识历史

不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构．[8]这一理解必然要与学科知识的来龙去脉相联系．15个主题教学单元的写作无一例外地对主题知识进行了追根溯源，部分还介绍了该主题下的学科分支的发展概况．譬如“代数的教学”，尽管作为中学数学的大比重内容，一页多篇幅的开篇阐述与其他单元的开篇相比已属重量级，但读来毫无杂乱之感．作者写道，“代数学的产生源于对求解方程的一般方法的研究．作为一种符号体系的代数学的历史发展可为教师提供有益的教学借鉴．关于代数学的历史有大量的阅读材料，如……(网址)”．随后，作者就“什么是代数”的问题，先逐年递进地列举几位数学家的观点，后以Usiskin提出的代数学的4个定义作总结，并为每个定义给出简单的解释和举例．再如“统计的教学”，作者用第一段讲述“统计是收集、组织、展示和解释被称为‘数据’的‘数值的事实’的科学．‘统计’这一术语源于拉丁文中指代国家的status一词，由18世纪中叶德国学者Gottfried Achenwall将其改造为statistics，意为国家对数据的收集、处理和使用．”而后作者用三个段落描绘了一段统计学发展简史，从统计分析的先驱及其贡献到另两位早期研究者的主要工作，再到进入统计被用于在不确定下作决断的19世纪时，某位统计学家的开拓性工作，最后阐述20世纪四位杰出的统计学家的工作．

2.2 梳理数学概念

对相应主题涉及的数学概念进行梳理，其处理方式中绝大多数是介绍核心概念，有个别是介绍课程中的概念变化，篇幅因主题内容多寡而或长或短．如在“算术的教学”中，作者先列出新加坡义务教育阶段数学教学大纲规定的7个算术教学主题：实数，近似和估计，科学记数法，比、比率和比例，百分数，速度，日常数学，再列出小学数学新教学大纲在算术教学中不再涵盖的主题或概念，包括大于107的整数，不等号<,>,≤,≥的使用，最小公倍数和最大公约数等13个条目，由此帮助职前数学教师把握教学任务的即时变化和中学新生的认知基础．另外，对于几个内容较多难度较大的主题，如函数图象、几何、三角学等，在梳理概念时不乏表格、流程图、思维导图等辅助表征形式．

2.3 分析学习困难

分析学习困难属于确定教学方法和设计师生活动的奠基性工作，是各位作者在阐述主题教学时比较浓墨重彩的部分．如“代数的教学”，作者用一页半篇幅分析学生学习代数的三个困难：不熟悉代数的句法结构，混淆字母的不同使用以及对代数感觉抽象，而后配以多个实例来说明其具体表现形式和针对性教学方法．其中对于第一个困难，给出了两个教学方法建议：第一，多给学生提供代数表达式或方程与口语间的互化练习；第二，教学中叙述代数表达式或方程时，应使用口语，例如应把方程2x-1=11念作“一个数的两倍减去1，得到的结果是11”．作者还进一步指出，对于学生来说，尤为困难的是转化前后不连贯的口语表达．为此其引用了Koay在1994年的一项研究中的例子加以解释，即当学生回答不连贯的“Jack的年龄是Mark的5倍．若Jack今年x岁，那么Mark几岁？”时，要比回答连贯的“Jack的年龄是Mark的5倍．若Mark今年x岁，那么Jack几岁？”困难得多．

2.4 阐释教学方法

教学方法是主题教学各单元的核心内容．此处方法所指非讲授法、讨论法、发现引导法等高度概括的教学论名词，而是不乏操作指导的教学策略层面的具体阐述．如在“代数的教学”中，作者在分析代数的学习困难后提出6项教学策略，包括利用算术搭建通往代数的桥梁，强调一般化策略，强调关系性理解，使用具象的材料，强调与模型方法的联系和在训练、实践中提供变式，每一项策略后附有解释性说明的数行文字，显得言简意赅．又如在“几何的教学”中，继四页半的范希尔理论介绍之后，作者就多边形内角和公式(n-2)×180°的教学，按思维方式的差异划分为直观教学、演绎推理、合情(归纳)推理与猜想、基于问题的教学、以现实世界为背景的方法、利用动态几何软件等6种教学方法，并为每种方法设计3～5步不等的教学程序，辅之以必要的图形或表格说明．作者认为，各种方法可能给人以迥异的印象，但是实际的课堂教学，往往需要不止一种方法．

2.5 设计活动样例

无论从教材的定位而论，还是从实际的篇幅来看，活动样例的设计都是各单元的重头戏．这里包括职前数学教师在专业训练中需要经历的两类活动，一类属于学习活动，促进其对数学知识和教学方法的理解；另一类属于教学活动，给予其教学实践和日后教学工作的建议，着眼于促进中学生对数学知识的理解．

学习活动的样例是极其丰富的．如“三角学的教学”就由易到难地提供了9个样例．第1个要求职前数学教师学习该单元在核心概念部分描绘的“中学三角学主题知识图”并讨论其呈现的教学顺序，而后选择其中一个主题写出具体的教学目标；第9个要求职前数学教师设计一些有助于了解中学生如何进行三角学问题解决的访谈问题，如“你是如何知道的”“你从这个图形中看出了什么”，并尝试去访谈一些中学生，最后在班里汇报访谈结果．

教学活动样例的丰富程度亦不相上下，且 融合了其他主题知识，形式新颖有趣．如“测量的教学”中有一个探究七巧板的教学活动方案：若七巧板中的小正方形面积为1，取出所有或部分进行重新拼接，使之满足以下要求：(1)面积分别为2,4,8的三角形；(2)面积分别为2,4,8的正方形；(3)面积分别为2,3,6的长方形(非正方形)；(4)面积分别为2,4,6,8的平行四边形(非长方形或正方形)．

2.6 推荐学习资源

作为一本资源手册，指向明确的教学方法和活动样例当属课程学习的主体性资源，但并非全部，课外学习资源的推荐亦是不容忽视．对此最为显眼的便是单元末尾的拓展阅读栏目，其中列出了若干与其主题知识和教学相关的专业书籍或期刊文章的详细信息，供职前数学教师进行拓展学习．如内容较多的“几何的教学”，按活动、教学、范希尔理论、几何画板资源、其他等5个类别对20余个条目作了区分，以方便读者查找．此外，还有散布在字里行间的众多网站地址(如学习欧几里得几何的网站)和以附录形式呈现的各种补充材料(如包含31种数位的美、欧名称的大数列表，四种绘图软件的下载网址、开发团队、使用特点与教学建议)，也是不可多得的资源储备．

3 “阅读材料”版块

1997年，新加坡教育部长在题为“思考的学校，学习的国家”的关于未来教育制度展望的演讲中，提出了三项新的举措：国民教育，信息技术和思考技能．其中的“思考”，意味着多学少教．对应到数学课程，即希望学生在学习过程中能有更多的主动性，能更关注学习的过程，而且尽可能地在情境中学习数学[9]．这些想法似乎被一脉相承地迁移至数学教育学课程，因为在“阅读材料”版块中，“主动性”“关注过程”“情境”等要素得以落实，这于教学理论的写作而言颇为难得．再从内容选取来看，诚然7个主题只是数学教学理论的冰山一角，但却是国家特色、研究优势或时代需要的典型代表．譬如，自1990年新加坡教育部发布数学课程框架以来，数学问题解决一直处于新加坡数学课程的核心地位；模型法自20世纪80年代在CDIS教科书中出现后，即在第四届东南亚数学教育会议上被推广，成为新加坡学校数学的一个显著性的标志[10-11]；信息技术既是国家层面的改革举措之一[9]，亦是教育现代化发展的必然趋势；改变教学方法的时候，需要同时改变评价方式[9]，等等．总之，《资源手册》在该版块中呈现的新意可归纳为以下三个方面．

3.1 列举实例

该版块的理论阐述因有大量实例辅助而免于空洞与枯燥．其举例并非呈现寥寥数言的事例，而是描述生动具体的且动辄占据了一两个页面的教学情境，或是呈现加工成板书形式的文本框，又或是附上学生作业的扫描图像等．如在阐述数学教育的6个学习理论时，作者将其中5个都置于一个特定的、具体的教学情境中，对此解释为“以便对理论的应用更具说服力和现实意义”．又如在探讨关于问题解决教学的3种认识时，作者分别用“探索多边形的内角和”“使用模型法解代数题”以及向量中的“苍蝇和蜘蛛问题”(苍蝇和蜘蛛分别在不同起点以不同方向和速度爬行，要求计算蜘蛛抓到苍蝇时的位移)的教学来描述什么是通过问题解决来教学，什么是关于问题解决的教学和什么是为问题解决而教学．

3.2 构思问题

尽管没有像主题教学中的活动样例一样占据突出位置，但阅读材料若干单元内的讨论题，实为留待职前数学教师主动探究的良好素材．如作者在“数学教育的学习理论”单元构思了8个讨论题，其中第2题要求设想在教学一个特定的数学主题时，如何安排举例、问题解决、反例、规则(定理)、概念、技能、定义、应用等项目的教学顺序，若有需要，还可加入自己定义的项目，然后与同伴分享各自设计的教学顺序；第3题为：“上述所有的理论都由西方人发明，但是一些西方国家的学生的数学成绩并不出众．我们需要东方的数学学习理论吗？如果答案是肯定的，那么东方的学习理论该是什么样子的？”不得不说，这些立意高远、思想深刻的问题值得认真思考，甚至颇费一番心力去探索．

3.3 提供资源

该版块延续作为资源手册的教材特征，除推荐阅读材料和学习网站外，更直接呈现大量潜在的教育资源．如“中学课堂中的数学问题解决”单元，设有拓展阅读栏目，列出了包括Schoenfeld代表作在内的10余部相关著作．而后的附录中，更是收集了45道适用于问题解决教学的数学题．再如作者用多达12页的篇幅在“工作规划与课程计划”单元呈现详细的样例，这对于职前数学教师无疑具有明确的实操指导意义．另外在为阐释理论而列举的大量实例中，不乏可转化为教学资源的内容．如阐述测试项目的设计策略时所列举的诸多创意数学题，不仅有助于当下的理论消化，还给职前数学教师以启发，供其直接或间接地用于日后教学．

4 启示

4.1 教材建设层面

从《资源手册》十年磨一剑的出版历程可知，品质上乘的教材必然离不开时间的打磨与沉淀，且往往是集体智慧的结晶，即便是在知识日新月异的信息时代，照样经得起岁月的淬炼．因此，与其在教材建设中不断推陈出新，不如宁静致远，力争精品佳作的问世．另外，该教材落脚于“资源手册”，处处是对症下药地指点迷津，而未见繁杂冗长的理论堆砌，这在同类教材中似一股清流．事实上，一部教材的知识承载量有限，一门课程的课时数亦有限，摒弃洋洋洒洒面面俱到的套路，转向为师生打通获取信息资源的渠道，让教材成为教师教学与学生学习的向导，方显难能可贵．

4.2 教师教育层面

脱离具体学科知识的学科教育学课程，易导致内容空洞、收效甚微，使得学生的职初实践可能成为其曾经教师的影射，或陷于教条主义，过分依赖教参．曾有国内学者指出，“传统职前《数学教学论》课堂教学多是‘教学论+数学例子’，没能实现教学实践性知识与教学理论性知识的结合，也没有实现数学知识与教学法知识的真正融合，也就谈不上数学教学知识的发展了．”[12]而《资源手册》中15个主题教学单元，先就特定数学内容的学习困难予以条分缕析，再提出具体入微的教学指导和匠心独具的教学活动，这既像升级版的教学参考书，又像简缩版的实操指导手册．因而，其指导下的数学教育学课程教学，像是在数学教师的职前阶段便施以我们国内职初阶段才有的训练，这为我们改进职前教师教育提供了新的视角．同时，其对知识历史的考究与对数学概念的重视，还有在学习活动样例中强调对数学知识的深刻理解等，正是对“高观点”思想的生动实践．

4.3 数学教学层面

新加坡的数学教育早已引起世界关注．美国中西部的许多中小学纷纷引进新加坡的数学教材，以期利用其教学模式来提高美国学生的数学成绩[13]．尽管《资源手册》无法直接为中学生所用，但其丰富资源可启发教师创设一些与时俱进的教学举措．如讲授如何在Excel中制作表格与编辑公式，从而生成斐波那契数列；布置网络学习任务，要求上网自学寻找素数的方法，而后作答相应的问题；发放用以引导学生通过操作几何画板而求解问题的学习任务单，等等．相当部分的教学活动样例需要信息技术的支持，其开展是在进行数学教学任务的同时渗透信息意识和计算思维等信息技术的核心素养，这为不同学科间核心素养的协同培育作出示范．又如，在阅读材料论及替代性评估的部分，多达10种替代性评估方法的列表分析，有助于我们跳出传统纸笔测试的束缚，用更开放的视界与更理性的心态来改进数学教学评估．

致谢：新加坡南洋理工大学国立教育学院李秉彝(第1版主编，第2版第一主编)和Toh Tin Lam(第1版、第2版作者之一)两位教授在本文写作中提供资料并接受作者访谈，在此表示诚挚谢意．