00080 华东师范大学第一附属初级中学 李建华

数学是思维的体操，高阶思维是数学核心素养的重要内容.“思维着的教学活动决定着学习的质量.因此必须重视人的思维教育，对于数学教育而言，思维教育日益处于核心地位”[1].但是，纵观目前的数学课堂，仍然存在学生数学思维僵化，尤其是学生的高阶思维还没有得到充分发展的现象.究其原因，主要是部分教师的灌输式教学使学生的思维缺乏适应性，在教学过程中过分强调套路和模式，减少了学生思索问题的机会，导致学生在很大程度上只是通过套用模式和模仿解决问题，机械地使用教材(例如教材中反映概念的图形通常以标准形式呈现，忽略了标准图形的特殊性和有限性)，容易形成机械记忆.

实践证明，变式教学是数学教学的一种重要方法.通过创建“含英咀华、披沙拣金、循序渐进、‘小题大做’”的变式训练，可以指导学生以驱动性问题为线索，从多个方向、多个角度加以思考，并引导学生通过现象把握数学及其学习本质.它能优化学生思维结构，是提升思维品质的利器，并且易于渗透到日常数学教学中，是与教学无缝衔接的一种有效方法.

1 变式教学及其对高阶思维培养的价值

1.1 变式教学的内涵解读

《中国教育百科全书》把“变式”界定为“从各个不同的角度抓住事物的主要特殊属性，概括出事物的一般属性的思维方式”[2].在数学教学中，“变式”是指相对于一种固定范式的变化形式，即不断改变问题情境或改变思维角度的变化模式，使事物的非本质属性在保持事物本质不变的前提下不断迁移，在数学教材中具体表现为数学思维结果.

“变式教学”是运用变式原理突出学科的概念、规律和本质特征的教学，是一种指向高阶思维培养的教学策略.它是重要的数学教学思想，也是思维训练的重要途径.它要求数学课程开发和教学实施通过不同性质和类别的变式展示知识发生、发展和形成的完整认知过程，凸显思维过程.通过运用不同的知识和方法，从不同的角度、不同的层次、不同的情境、不同的背景对数学问题进行变式研究，有意识地引导学生从“变化”现象中发现“不变”的本质，从“不变”中寻求“变化”规律，培养数学学科核心素养.它有助于培养学生透过现象认识数学问题本质的批判型思维，以及求异、思变的创新型思维.

1.2 数学高阶思维——一种复杂思维

高阶思维是一个相对的概念.目前，关于高阶思维的定义在学术和实践领域尚无普遍共识，但是从现有文献中可以找到高阶思维的一些共同特征，即高阶思维是一种复杂思维，不是预先给定的程序，具有多种解决方案、多种标准，是一种基于情境的、充满不确定性且过程复杂的问题解决过程，需要付出更多的努力，高阶思维的结果往往具有建设性的意义.发展高阶思维是当今社会对人才培养提出的新要求，是学生未来适应社会所必备的能力，也即学生发展的核心素养.

数学高阶思维，指学生在数学学习领域所表现出的高认知水平和认知能力，是一种指向元认知的思维方式.基于文献研究和课堂实践，笔者发现，数学高阶思维是面对教师提供的数学学习任务，学生在数学学习活动中为完成任务提出的学习要求所表现出来的高水平心智活动，突出表现为策略型思维、批判型思维、创新型思维.

1.3 变式教学和数学高阶思维培养的内在契合性

研究表明，数学高阶思维通常构思于复杂的问题情境中，在问题分析和解决活动中发展，可以通过有效的、基于情境的训练来实现.而变式教学是数学教学的重要教学理念，可以作为帮助学生巩固数学基础、形成数学能力、提高思维品质的最直接最有效的训练方式.

一方面，变式教学能有效地培养学生的数学批判型思维和创新型思维.数学学习中的思维方式通常分为收敛思维和发散思维.收敛思维是深入理解数学概念、全面把握数学知识体系的重要思维方式，也是数学批判型思维的重要组成部分.在数学变式教学中，主要通过“一题多问”或“多题归一”的辩证过程，凸显思维发展历程，引导学生将新问题与已解决的同类问题联系起来，比较和识别其特点，将新问题转化为旧问题，或运用解决旧问题的经验方法，培养学生的收敛思维.发散思维不局限于一种方式或一种理解，而是倾向于多方向延伸，通过多维度思考各种可能的解决问题方法，属于创造型思维.在数学变式教学中，主要通过“一题多解”或“一题多变”促进学生思维多向拓展，引导学生从不同角度思考问题，寻求最佳解决方案，培养学生发散思维.变式教学可以整合“收敛”和“发散”两种相反的思维模式的优势，培养学生的批判型思维和创新型思维，促进学生思维结构的不断完善、优化.

另一方面，变式教学可以使学生在判断、比较和选择各种变式时发展自己的策略型思维.它鼓励学生使用多种方法和策略来解决真实问题，学生需要结合具体的问题情况，发掘潜在条件，提出一些假设和解决问题的路径，并从众多解决方案中选择更佳、更简单的方法以及最有效的路径和步骤等.这一过程是学生运用策略型思维的体现.

简而言之，变式教学是学生高阶思维发生的助推器，顺应了学生思维发展规律和新时期数学核心素养培养的新趋势.

2 指向学生数学高阶思维发展的变式教学的路径

数学高阶思维的发展需要高阶学习的支持.高阶学习是要求学习者运用数学高阶思维的学习活动.实践表明，“一题多解”“多题归一”“一题多问”“一题多变”等变式训练方法有利于学生数学高阶思维的发展.基于此，笔者对数学高阶思维培养的变式教学发展路径展开了积极探索.

2.1 从“一维”走向“多维”:让策略型思维在变式教学中架构

策略型思维是指学生在学习数学概念、定理、公式或解决数学问题的过程中进行提炼、变通、优选或迁移的行为.它具有抽象性、多样性、择优性和迁移性的典型特征，属于数学高阶思维范畴.

2.1.1 一题多解，拓广思路

在教学中，面对同一素材来源，引导学生非常规、全面、多角度地思考问题，探索不同的解决方法.例如，在讲解例题时，不局限于教材中已有的解决方案，引导学生探索其他解决方案，克服静态孤立的思维习惯，实现方法的灵活变通和优选优化.

案例1列方程解应用题(一题多解)

例题请用三种方法解答下面的实际情境应用题.

某电脑公司2021年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为800万元，占全年经营总收入的40%．该公司预计2023年经营总收入要达到2880万元，且计划从2021年到2023年，每年经营总收入的年增长率相同，问2022年预计经营总收入为多少万元?

如何求解这道实际情境数学应用题？首先，逐句读题，厘清题中涉及的量及它们之间的关系.通过审读发现本题主要条件有三句话，根据这三句话可得到的数量关系为“三个相等关系”，具体如下.

①2021年电脑配件收入800万元÷40%=2021年全年经营总收入.

②2023年经营总收入=2880万元.

③2021年—2022年的年经营总收入增长率=2022年—2023年的年经营总收入增长率.

然后，选择其中的一个相等关系进行“转译”，并根据转译相等关系时出现的未知量设未知数，列出方程求解.根据这三个相等关系，依次可以列出三个不同的方程解答该实际情境数学应用题，具体如下.

方法1：利用相等关系①

答：该电脑公司2022年预计经营总收入为2400万元.

方法2：利用相等关系②

解法2：设该电脑公司每年经营总收入的年增长率为x，根据题意，得(800÷40%)(1+x)2=2880，解得x1=0.2，x2=-2.2(不合题意，舍去).故将x=0.2代入(800÷40%)(1+x)得(800÷40%)(1+0.2)=2400(万元).

答：该电脑公司2022年预计经营总收入为2400万元.

方法3：利用相等关系③

解法3：设该电脑公司2022年预计经营总收入为x万元，根据题意，得x2=(800÷40%)×2880，解得x1=2400，x2=-2400(不合题意，舍去).

答：该电脑公司2022年预计经营总收入为2400万元.

在学生自主探索的过程中，教师要主动巡视指导，提供必要的支架和帮助，鼓励学生以不同的方式进行探索和尝试,并根据学生的具体情况及时进行调控.同时，教师向学生展示各种方法，进行适当点拨.

2.1.2 多题归一，透“表”求“里”

学生解决数学问题的实践中存在许多同一类型问题，因此，可以使用相同的思维方式或方法来解决问题，即多题归一或一法多用.在解决问题的过程中，为强化一种解决问题的方法，可以将不同内容的练习有机地整合在一起，编成一组，引导学生观察和对比，让学生明确问题实质，用同样的方法解决问题.此外，教材中的许多例题(习题)在解法上是相同的，复习时可以将其归为一类，引导学生用同样的方法解决问题，使学生不沉迷于表面现象，而是透“表”求“里”，自觉认识同一问题的本质，然后提炼出规律、方法，比较分类，由一个问题认识一个类别.

案例2解直角三角形的应用(多题归一)

例题某市正在对城区河段进行区域性景观打造，某施工单位需要测得某河段的宽度，如图1-1，测量员先在河对岸岸边取一点A，再沿河边取两点B，C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在点C处测得点A在西北方向上，量得BC长为200米.求小河的宽度(结果保留根号).

图1-1

其实例题与变式题是“形异质同”的两个问题，因为它们的基本结构是相同的，其实质都是“已知两个锐角α，β和一边长m(如图1-3所示)，求高x”.它们均可利用解直角三角形的方法，列出形式完全相同的方程求解，即在例题与变式题中，若分别设小河的宽度、居民楼与大厦的距离为x，则根据题意所列出的方程分别是xcot60°+xcot45°=200(例题)，xcot53°+xcot42°=80(变式).

图1-2图1-3

2.1.3 设计题组，应变思索

设计由浅到深的变式题组，根据建构主义思想，引导学生进行巧妙转换.学生在由易到难的探究中，通过观察比较、把握特点，提高举一反三、触类旁通的能力，即综合思维品质.

通过变式教学，可以有效地指导学生从多个知识领域和知识的各个方面进行广泛联想，多角度、多层次、多维观察和思考.在广泛寻求解决方案和全面研究问题的过程中，有利于学生保持多维思维，探索新的最优状态，从而不断地培养和完善其策略型思维.

2.2 从“应答”走向“质疑”：让批判型思维在变式教学中唤醒

批判型思维是指在数学学习活动中，学习者自觉地对自己或别人的思维过程和结果进行辨别分析、自我评价和自我调整的一种思维品质[3].通常，学习者表现出质疑、求异或聚合的行为，具有质疑性、解构性和建构性的典型特征，属于数学高阶思维.

2.2.1 变式举例，辨析质疑

在数学教学中，运用变形设疑，有意识地设置陷阱，引导学生运用已有知识进行辨别和比较，提高其识别能力.例如，在数学概念教学中，学生通常基于已有的视觉形象和感性经验，通过合理的抽象，建立相应数学概念的形式化定义.然而，由于视觉形象和经验的具体性和特殊性，在概念理解上容易产生偏差和片面性，因此，教师应通过正、反两方面的是非辨析或变式举例等，帮助学生完成从具体思维到抽象思维的过渡，引导学生在辨析中深入理解、全面思考，在思辨中阐明概念的本质特征.

案例3一元一次方程的概念(辨析举例)

在得出了一元一次方程的概念后，教师设计了如下例题与变式题.

例题判断下列式子是不是一元一次方程，为什么？

(1)7x+5=9；(2)2x+7；(3)2x2-4x=5；

(4)2y+3=-6； (5)x-7y=5；(6)2a>9．

变式1请与同桌互相举出一元一次方程的例子，并互相进行评价.

变式2设计一道以“2019年进博会”为实际背景的可列出一元一次方程的应用题，并进行交流.

本例的六个式子中，有的不是方程，有的虽是方程但未知数的个数多于1或未知数的指数大于1.通过概念辨析，可以帮助学生巩固一元一次方程的概念，掌握概念的本质.变式1和变式2都是开放式问题，能使学生敞开思路，充分发挥想象力和创造力.本例采取小组合作方式，小组间的交流也可以培养学生的合作意识.

2.2.2 一题多问，评价反思

在数学教学中采用一题多问，引导学生在已有知识或经验的基础上对问题、解法、观点、思考过程等主动提出疑问.教师引导学生对思考过程、所涉及的知识、解决问题的方法和策略以及得到的结果进行反思，增强质疑求异的自觉性，有利于学生吸取教训，调整错误的思维结构，鼓励学生调节自己的行为，改善认知结构，并提高数学思维品质.

案例4探索图表的规律(一题多问)

例题如图2所示是某年某月的日历，根据该日历回答下面的问题.

图2

(1)日历图灰色方框中的九个数字之和与该方框正中间的数有什么关系？

(2)这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？

九个数之和为90，是正中间数10的9倍，学生可能得出其他关系，可让学生再找几个方框检验自己得出的规律是否成立.若用a表示中间的数，这九个数的和等于9a.

(3)此关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？

(4)你还能发现这样的方框中九个数之间的其他关系吗？用代数式表示.

小问(3)、小问(4)通过符号表示数，学生体会符号运算可以验证所发现的规律.

(5)你还能提出哪些问题？

比解决问题更高明的是提出问题，鼓励学生提出问题，并与同伴互相交流评价.

通过变式教学，有效地引导学生有目的、有意识地对已有的数学表达式、数学思维过程和结果进行分析、判断、推理、解释和调整，从而加深学生对知识的理解，提高思维灵活性.对因果关系、问题解决方法、错误根源、分类总结等进行不同方面、不同层次的思维过程评价、分析和总结，有利于学生的思维始终处于反思质疑、自觉调控的最佳状态，不断培养和提高学生的批判型思维.

2.3 从“摹拟”走向“创新”：让创造型思维在变式教学中催生

创造型思维是指在解决问题时，学习者调动已有的数学知识和经验以及相应资源而获得独特、新颖、有意义的处理方法或者结果的一种思维品质[4].主要表征为学生对问题的延伸、发散或生成具有发展性、发散性或生成性的典型特征，属于数学高阶思维.

2.3.1 一题多变，标新立异

在数学教学中，通过对例题(习题)的多角度、多方向的探索，如条件变化、结论探索、引申扩展、推广应用等，激活学生的主体作用，让学生积极参与学习研究过程，并借助探索和发现，培养其发现新知识、总结新方法和新规律的能力，达到举一反三、触类旁通、凝练系统思维结构的目标.

案例5三角形的外角及其性质(一题多变)

例题如图3-1，在△ABC中，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，如果∠A=60°，试求∠DBC+∠ECB的大小.

变式1如图3-2，在△ABC中，BP，CP分别平分外角∠DBC，∠ECB，∠P与∠A有怎样的数量关系?为什么?

变式2如图3-3，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，∠P与∠A+∠D有怎样的数量关系?为什么?

变式3如图3-4，在五边形ABCDE中，BP，CP分别平分外角∠NBC，∠MCB，∠P与∠A+∠D+∠E有怎样的数量关系?为什么?

图3-1图3-2

图3-3图3-4

2.3.2 不循常规，寻求变异

在数学教学中，通过比较直接与间接、正向与反向、封闭与开放在各种情况下的变化和形式，引导学生寻找其中蕴含的内在关系，逐步提炼数学的精粹，建构体系化的思维结构，促进学生思维品质的不断优化.非欧几何的诞生告诉我们，顺推不行时，考虑逆推；不能直接求解时，想办法通过间接求解；原命题研究完后，再研究逆命题；在探索可能性出现困难时，考虑探索不可能性.数学教学的结果表明，许多学生学习水平较低的重要原因之一是逆向思维能力较弱，这主要表现在对公式、定理的简单认识和死板套用，缺乏创造力、观察力、分析能力和开拓精神.学生从正向思维向逆向思维快速、自然地转变，是数学能力增强的标志.因此，在数学教学中，要加强对学生逆向思维的训练，强化反证法价值，引导学生敢于“反其道而思之”，从反面进行深入探究，促进学生发展创新型思维.

案例6数学综合实践活动(不循常规)

例题(1)阅读材料:商品条形码是商品的“身份证”.我国使用EAN条码，常见的为13位，即EAN-13条码.它是由12位数字和校验码构成的，分别代表国家代码、厂商代码、产品代码和校验码(如图4-1所示).其中，校验码用来校验前12位数字代码的正确性，校验码的编制是按照特定算法得来的，其算法如图4-2所示.

图4-1

图4-2

(2)小组实践:某校数学课外活动兴趣小组按照下面的五个步骤编制校验码.

步骤1 计算前12位数字中偶数位数字的和a.如a=9+1+3+5+7+9=34.

步骤2 计算前12位数字中奇数位数字的和b.如b=6+0+2+4+6+8=26.

步骤3 计算3a与b的和c.如3a+b=3×34+26=128.

步骤4 取大于或等于c的最小整数d，且10|d.如d=130.

步骤5 计算d与c的差，就是校验码X，即X=130-128=2.

(3)问题解决:某一商品的校验码被阴影遮挡(如图4-3所示)，你能够依据上面的信息求出该条形码的校验码吗？

变式1如图4-4，某商品条形码中的某个数字看不清楚了，你能够依据所学习的知识判别这个数字吗？

变式2假如某商品的条形码“6919■21■23459”中被阴影遮挡住的两个数字的和为5，你可以利用已有的信息判断出这两个数字吗？

图4-3图4-4

解法1：按照从左到右的顺序，设被遮挡的数字分别为x与5-x.a=9+9+2+(5-x)+3+5=33-x，b=6+1+x+1+2+4=14+x，c=3a+b=3(33-x)+(14+x)=113-2x，又因为0≤x≤5，所以0≤2x≤10.故103≤c≤113.当103≤c≤110时，d=110，即110-(113-2x)=9，解得x=6(不合题意，舍去).当110

答：按照从左到右的顺序，这两个数字分别是1和4.

解法2：按照从左到右的顺序，设被遮挡的数字分别为x与5-x.a=9+9+2+(5-x)+3+5=33-x，b=6+1+x+1+2+4=14+x，c=3a+b=3(33-x)+(14+x)=113-2x，e=9，由e=d-c可以得到d=c+e=122-2x.又因为0≤x≤5，所以0≤2x≤10.故112≤122-2x≤122.因为122-2x还需要是10的倍数，所以122-2x=120.解得x=1.当x=1时，5-x=4.

答：按照从左到右的顺序，这两个数字分别是1和4.

解法3：按照从左到右的顺序，设被遮挡的数字分别为x与5-x.a=9+9+2+(5-x)+3+5=33-x，b=6+1+x+1+2+4=14+x，c=3a+b=3(33-x)+(14+x)=113-2x，由e=d-c，得c=d-e.又因为d是10的倍数，e=9，所以c的个位数字为1，故3-2x=1，或13-2x=1.解得x=1或x=6(不合题意，舍去).当x=1时，5-x=4.

答：按照从左到右的顺序，这两个数字分别是1和4.

变式3请提出一个数学问题，并与同学互相评价、交流.

通过变式教学，可以有效地引导学生打破常规或经验，摆脱思维的束缚，灵活改变思维方向，提出多种解决问题的方法.引导学生多角度、多渠道、多方式地思考，用不同的方法解决同一问题，为学生提供各种机会，克服负迁移，有利于学生保持发散、延伸、生成和发展的最佳状态，不断培养和提高学生的创造型思维.

3 变式教学培养学生数学高阶思维应注意的问题

变式教学是中国数学教育的传统和特色，其用于培养学生数学高阶思维，也是行之有效的教学手段和方法.但是，基于学生数学高阶思维培养的变式教学需要精心设计，把握“量”和“度”，不是“多多益善”，不能“为了变而变”，而是要追求质量的提高，“变”就是“不变”.

3.1 培养数学高阶思维要与具体的变式内容相结合

在课堂教学中，学生数学高阶思维的培养要与具体的数学内容相结合，将变式教学内容作为学生数学高阶思维培养的载体.对于不同的学习内容，其变式教学的重点、培养学生数学高阶思维的侧重点也应该不同.例如，在概念教学的过程中，对“概念”变式处理的着力点是加强学生对概念的理解，突出概念的本质，使学生对概念形成更周详、更深刻的理解，从而培养学生的批判型思维；在习题教学中，对“例题”变式处理的关键是加强数学思想方法的渗透，拓展思维，让学生从模仿解法到自己创新解法，从而培养学生的创造型思维；在复习课教学中，对“题组”变式处理的重点是加强知识和方法的横、纵向比较，让学生在分析比较中进行归类，并且形成最适合自己的解题方法，从而培养学生的策略型思维.

通过变式推演，归纳概括更高水平的概念内涵，形成数学学科大概念，这是培养数学学科核心素养的重要手段.

3.2 掌控好变式教学的量，给学生足够的思考空间

培养学生数学高阶思维的变式教学，要把握变化的“密度”和“广度”.课堂时间有限，为了让学生的思维逐步走向深入，变式教学的次数不宜过多，不能为了变式而变式，这就“稀释”了问题的本质，阻碍了思维的展开.

对于同一变式问题，要给学生足够的时间进行思考.不论是通过引导学生多角度地思考问题，探索不同的解决方法，并从不同解法中提炼出一般规律、方法，以架构学生的策略型思维；还是运用变形设疑，引导学生对问题解决的过程与结果进行评价和反思，以培养学生的批判型思维；抑或是让学生在变式过程中发现新知识、总结新方法和新规律，以催生学生的创新型思维.这些思维的展开与深入，都需要给学生足够的时间，将同一变式问题研究透彻，让变式教学问题成为培养学生数学高阶思维的载体.将“导”和“引”，归纳和演绎有机整合，提高学生数学思维品质，促进思考问题方法的多元化.

3.3 培养学生数学高阶思维的变式教学要有学习进阶梯度

培养学生数学高阶思维的变式教学，要注意变式的“梯度”和“深度”，虽然变式教学最终指向学生数学高阶思维的培养，但应以基础知识作为阶梯，不能忽视学生基础知识、原理的掌握，从学生知识和思维的“最近发展区”出发，实现学生思维不断发展.这就需要变式教学能够由浅入深地展开，有效地激活学生的思维，不断促进学生思维的螺旋式提升，引导学生向更深层次发展自己的认识.利用最近发展区和支架理论，帮扶有度，提高学生数学学习的积极性和成就感.

总之，在教学中培养学生的数学高阶思维，教师是关键.教师要积极更新观念，提高数学素养、辩证思维水平，强化问题意识教学，教学方法和策略主动求新求变.教师要不断鼓励学生积极参与数学学习活动，无论是在行动上还是在思想上，都要通过各种形式架构策略型思维、唤醒批判型思维、催生创造型思维，促进学生数学思维水平的不断进阶.