陈国炎， 钱亚平， 胡 莺， 石茂林

(1.江苏理工学院 机械工程学院， 江苏 常州 213001； 2.常州爱普超高压液压系统有限公司， 江苏 常州 213001；3.江苏大学 农业工程学院， 江苏 镇江 212013)

引言

中、大型螺栓连接在核电、火电、风电设备装配中起到至关重要的作用。增加螺纹预紧力是保证螺栓连接质量的重要手段，与用榔头敲击、力矩扳手等传统技术手段相比，液压螺栓拉伸器具有预紧力可控、螺栓受力均匀、损伤小等优点[1]。随着液压螺栓拉伸器的广泛应用，对其提出的要求越来越多。例如，在高空、狭小空间中使用时，对液压螺栓拉伸器体积、重量有着严格要求。当结构设计不合理时，活塞等关键部件容易发生局部应力过大，导致弯曲变形及油缸爆裂，给企业造成严重损失[2-3]。

目前，关于液压螺栓拉伸器的研究较少，多集中于原理介绍、强度校核，少部分研究涉及结构优化，但未给出具体优化过程。例如，文献[4]分析了液压螺栓拉伸器的工作原理，结合作者在海洋石油工程中的应用经验，提出了油压计算、分布加压、次序预紧的作业建议，改善了法兰多个螺栓的预紧力分布；文献[5]总结分析了液压螺栓拉伸器主流产品的螺栓上紧程序、油压加压程序的不同，比较了国内外常用的预紧力计算方法，并结合个人使用经验给出了建议；文献[6]采用有限元法对拉伸器的关键结构进行了强度校核，检验了结构的安全性和可靠性；文献[7-8]建立了缸体、螺帽的有限元模型，通过优化缸体的若干设计参数，降低了缸体应力，但仅给出了优化结果，未给出具体优化过程。可以看出，关于液压螺栓拉伸器优化设计研究较少，少部分优化研究也未给出详细的优化过程及方法。因此，提出面向液压螺栓拉伸器的优化设计方法就成为亟需解决的问题。

从以上研究中可以看出，传统结构优化问题主要通过有限元仿真进行。随着计算机技术的迅猛发展，有限元模型的静力学仿真精度得到大幅提升，但相应的计算成本也显著增加，单次仿真耗时过长，而优化过程往往需要成百上千次调用仿真模型，最终导致基于仿真的结构优化计算成本难以忍受甚至无法实现。为了解决这一问题，研究人员提出了代理模型，通过有限个样本点的数值仿真结果，利用核函数等方法建立设计变量与输出响应的数学模型，从而近似替代仿真模型，大幅降低了计算成本，提升了计算效率[9-10]。例如，文献[11]采用代理模型替代机械式挖掘机动臂的静力学有限元模型，对动臂的设计变量进行了优化。文献[12]采用代理模型替代某型阀门的计算流体力学有限元模型，揭示了代理模型用于替代高计算成本流体计算仿真的可行性。文献[13]使用离散元方法建立坝基注浆仿真模型，基于仿真数据建立代理模型，用于注浆量的预测与优化。文献[14]采用代理模型替代挤压铸造过程的热 - 力数值仿真模型，并用于评价和计算挤压铸造机的可靠性分析。更多关于代理模型工程应用的文献可参考文献[15]。为此，本研究提出基于代理模型的液压螺栓拉伸器优化设计方法，以THDG039型号高压液压拉伸器为对象，利用SolidWorks与ANSYS软件构建下活塞参数化模型并进行静力学分析，基于代理模型在满足体积约束下优化最大应力。所提出的优化方法可为企业研制系列高压液压拉伸器提供技术支持。

1 液压拉伸器下活塞有限元模型

以常州某公司THDG039型号高压液压拉伸器为对象(图1)，采用SolidWorks建立拉伸器下活塞三维模型并导入ANSYS进行静力学分析。下活塞材料为45CrNiMo，密度7850 kg/m3，弹性模量2.06×105MPa，泊松比为0.30。网格划分采用ANSYS自带网格划分，对容易发生应力集中及最大应力出现部位进行局部加密，生成网格2091676，节点2861530。分析场景设定为螺栓拉伸稳定、不发生位移变动、上下活塞不发生相对运动的情况，下活塞主要载荷为液压面承受的液压油轴向压力，与缸体接触面添加横向、前后约束，与螺栓接触面位移设定为0。采用个人台式机进行计算(CPU：Intel Core i7-10700KF，3.8 GHz；RAM：32 GB)，单次计算时间约13 min，计算结果如图2所示，选用Von-mise应力作为应力指标，最大值为576.03 MPa，出现在上第二端面与外轴立面之间的衔接处。

图1 液压拉伸器Fig.1 Hydraulic bolt tensioner

图2 有限元分析结果Fig.2 Results of finite element analysis

2 代理模型建立与误差分析

代理模型是基于少量数值仿真数据建立的描述设计变量与输出响应关联关系的数学模型，其建立过程主要包括5个步骤：①设计变量和优化目标确定；②试验方案设计；③仿真/实验结果获取；④模型建立；⑤精度验证，如图3所示。

图3 代理模型构建流程Fig.3 Construction of surrogate models

图4 下活塞设计变量Fig.4 Design variables of down piston

2.1 试验设计

本研究选择下活塞最大应力与体积作为优化目标，选用其4个结构设计参数作为设计变量，如图4所示，每个设计变量取值范围为初始设计值上下浮动0.5 mm，最终获得设计变量的变动范围如表1所示。在设计过程中，零件尺寸在整体尺寸链不变情况下，随设计变量改变而发生变动。

表1 设计变量取值范围Tab.1 Ranges of design variables

试验设计(Design of Experiments, DOE)发源于统计学，目的在于如何通过合理的数据采样获取样本空间内设计变量与输出响应的关联信息。对于代理模型而言，合理的试验设计选点能够有效提升模型精度，常用的试验设计方法有正交试验设计、拉丁超立方试验设计、全析因试验设计方法等[16]。本研究采用拉丁超立方法进行抽样，其可在保证采样点均匀分布的同时，最大程度获取样本空间信息。基于代理模型应用经验，训练样本容量设定为20(5倍于设计变量)，对应的空间分布如图5所示。可以看出，生成样本均匀布满整个样本空间，能够有效获取样本空间中设计变量与输出响应的关联信息。

2.2 模型构建与误差分析

近年来，研究人员提出了众多代理模型，例如多项式回归(Polynomial Response Surface，PRS)、径向基函数(Radial Basis Function，RBF)、克里金法(Kriging Method，KRG)、支持向量回归(Support Vector Regression，SVR)。这些方法按照训练点预测值与真实值相同与否，分为回归方法与插值方法。其中，支持向量回归与克里金法分别为回归方法与插值方法的代表。从既有文献中可知，没有任何一种代理模型能够在所有问题中获得最好的性能表现，因此需要对模型进行检验，选择出最好的代理模型[17-18]。本研究选用RRS，RBF，KRG与SVR共4种代理模型，介绍如下：

1) 多项式回归

多项式回归的基本形式表示如下：

y=f(x)+ε

(1)

式中，y—— 模型的输出变量

x=(x1,x2,…,xd) —— 模型的输入变量，其中d为输入变量数量

f(x) —— 多项式方程

ε—— 随机误差

图5 样本空间中的训练点Fig.5 Training points in sample space

f(x)通常采用二阶多项式，如下所示：

(2)

利用最小二乘法，多项式系数a0，ai，aii和aij可通过如下公式获得：

a=[X′X]-1XY

(3)

式中，a—— 多项式系数组成的向量

X—— 输入变量矩阵

Y—— 输出变量矩阵

2) 径向基函数

径向函数是指以预测点与训练点之间的距离为自变量的函数[19]。以径向函数为基函数，通过线性叠加构造出来的代理模型即为径向基函数代理模型。基本思想是以训练样本为中心，通过径向函数的线性叠加来计算待预测点xnew的输出值，如下所示：

(4)

式中，ωi—— 径向函数系数

n—— 训练点数量

Φ(ri) —— 径向函数

(5)

在满足训练点不重合条件下，且函数Φ(ri)为正定核函数，方程：

ωT=Φ-1·Y

(6)

存在唯一解，最终预测点的输出可通过式(4)获得。

3) 克里金法

克里金法假设输入变量x和输出变量y满足如下关系[20]：

(7)

式中，fj(x) —— 基函数

p—— 基函数数量

βj—— 基函数系数

Z(x) —— 高斯过程，满足如下条件：

E(Z(x))=0

(8)

E(Z(xi)Z(xj))=σ2R(θ,xi,xj)

(9)

σ2—— 样本方差

R(θ,xi,xj) —— 相关矩阵

θ—— 相关矩阵的参数向量

记：

(10)

得输出向量：

Y=Fβ+Z

(11)

式中，Z=(Z(x1),Z(x2),…,Z(xn))T。由线性无偏条件和拉格朗日乘子法，得到输入x的输出值和基函数系数最优估计如下：

(12)

(13)

待预测样本xnew的输出值如下所示：

(14)

4) 支持向量回归

支持向量回归的基本形式可表述如下：

y=ωT·φ(x)+b

(15)

式中，φ(x) —— 输入x向高维空间的映射

ω—— 权重向量

b—— 线性方程的偏置项

在支持向量回归中，通过优化如下损失函数：

(16)

获取式(15)中的最优参数。损失函数C的前半部分为权重向量ω的正则化项，决定模型的泛化能力；后半部分为所有训练数据的回归误差，决定模型的训练精度；参数γ决定模型的泛化能力与训练精度的平衡关系。构建如下拉格朗日函数：

b+ei-yi}

(17)

式中，αi为拉格朗日乘子。对式(17)中各项求偏导，可得权重向量ω为：

(18)

因此，式(15)可改写为：

(19)

预测点xnew的输出为：

(20)

φ(xi)可构成如下正定核函数：

K(xi,xj)=φ(xi)Tφ(xj)

(21)

通过求解如下线性方程组获得α和b：

(22)

结果如下：

(23)

2.3 误差分析

本研究选用的代理模型基本参数如表2所示。

表2 代理模型参数与函数形式Tab.2 Parameters and functions of surrogate models

生成20个测试点检验代理模型精度，并通过如下3种指标进行评价，包括全局误差指标决定系数R方(R2)与均方根误差(RMSE)，局部误差指标最大绝对误差(MAE)，公式如下所示：

(24)

(25)

(26)

表3 4种代理模型检验精度对比Tab.3 Performance comparison of four surrogate models

进一步对KRG和SVR预测结果进行分析，可以看出两种代理模型对于体积的预测精度都非常高，R2接近于1。对于最大应力，KRG代理模型精度要远好于SVR。一般而言，当R2大于0.8时，就可以认为代理模型精度能够满足要求，用于替代原始模型。在本研究测试的4种代理模型中，KRG代理模型在R2，RMSE，MAE中对体积和最大应力2个预测目标均取得最优，预测值与真实值较为接近，如图6所示。R2分别为0.987和0.855，因此KRG代理模型被用于后续优化分析。统计20个测试点的代理模型和有限元仿真的平均计算时间，所得结果如表4所示。从表中可以看出，4种代理模型的计算成本显著低于有限元仿真模型，能够节省大量的计算成本，揭示了代理模型在液压螺栓拉伸器优化设计中的优越性。

表4 代理模型与有限元仿真时间对比Tab.4 Time comparison between surrogate models and finite element simulation

图6 KRG代理模型预测结果Fig.6 Prediction results of KRG surrogate model

3 优化结果

基于所建立的KRG代理模型对下活塞进行优化设计。在下活塞优化过程中，最大应力作为优化目标；约束条件主要由最大应力与体积约束组成，下活塞材料为40CrNiMo，安全系数为1.3，屈服点σs为785 MPa，则最大许用应力为603.85 MPa；体积最大为初始体积的2%，即64171.0 mm3。优化问题定义如下：

minmize[σmax]

Subject to

8.500 mm≤x1≤9.500 mm

6.500 mm≤x2≤7.500 mm

5.500 mm≤x3≤6.500 mm

3.500 mm≤x4≤4.500 mm

σmax≤603.85 MPa

V≤64171.0 mm3

选用MATLAB中fminimax函数求解上述优化问题，结果如表5所示。进一步检验代理模型优化结果，基于优化设计变量绘制下活塞三维模型，导入有限元软件进行静力学分析仿真，结果如图7所示。将代理模型优化结果、初始与优化设计仿真结果列于表6。可以看出，最大应力经优化后降低5.61%，为574.73 MPa，误差为1.82%；体积上升2.52%， 突破设定阈值2%，发生这一现象的主要原因是代理模型自身的误差(代理模型预测值未突破约束，为64169.6 mm3)。由此可见，虽然代理模型存在一定预测误差，但仍可获得较为理想的优化结果，证明了代理模型在液压螺栓拉伸器优化中的可用性。

表5 优化结果Tab.5 Optimization results mm

表6 初始与优化设计对比Tab.6 Comparison between initial and optimal design variables

图7 优化设计变量的仿真结果Fig.7 Simulation results of optimal design variables

4 结论

以液压螺栓拉伸器中的下活塞为研究对象，采用SolidWorks和ANSYS软件对下活塞进行参数化建模与有限元仿真，基于代理模型对最大应力进行优化。采用拉丁超立方法生成20个训练点，利用多项式回归、径向基函数、克里金法、支持向量回归分别建立代理模型，通过20个测试点检验模型精度，结果表明克里金法具有较好的预测精度，在优化过程中用于替代仿真模型。优化结果表明，在体积增大2.52%情况下，最大应力降低5.61%，体积和最大应力优化结果预测误差分别为0.52%和1.82%。本研究工作揭示了代理模型在液压螺栓拉伸器优化设计中的可用性与可行性。