广西南宁市第三中学（530021）栾功

一、试题呈现

分析：试题第（1）问考查双曲线的渐近线和标准方程的基本概念；第（2）问以直线与双曲线的位置关系为背景，创新性地设置了与中点弦有关的开放性问题，要求考生从①②③三个命题中选择两个作为条件，一个作为结论并证明。考生有“选①②证明③”“选②③证明①”“选①③证明②”三种方案可选择。开放的试题形式给考生提供了独立思考、发挥能力的空间，有效测查了考生的创新能力、分析问题和解决问题的能力。

二、解法探究

图1

方案1：选择①②证明③。

于是xM=xN，yM=yN，即点M 与点N 重合，从而|MA|=|MB|，问题得证。

评注：由①②为条件证明③，因为点M 在直线AB 上，故只需证明点M 与AB 的中点N 重合，即坐标相等。点N 为AB 的中点，由其坐标自然联系到中点坐标公式，问题转化为求解点A，B 的坐标，回到问题本质，即求解直线AB与渐近线的交点坐标；再看点M 的坐标，由题设知点M 在两条直线上，其坐标也自然回归到了两条直线的交点问题。该方案的解答过程充分体现了解决解析几何问题的一般性思考程序和通性通法。

方案2：选择②③证明①。

评注：方案2的解答与方案1的解答异曲同工，都是依据点M与点N坐标之间的关系解决问题。

方案3：选择①③证明②。

评注：由题干解析知点M 的轨迹是一条直线，通过点和直线的位置关系建立直线PQ 的斜率k 与AB 的斜率m 之间的相等关系，从而证明PQ ∥AB。如同方案1、2，问题的解决都依靠点的坐标驱动，整个解答过程都在体现解决解析几何问题的通性通法。

评注：该解法从直线PQ 的斜率入手探究点M的轨迹，符合考生解题的思维视角，不足之处是运算量略大。运算过程中对代数式的合理变形决定运算的快慢与结果的正误。平时教学中，教师应带领学生经历这样的运算过程，暴露学生的运算卡点，以帮助学生突破运算瓶颈。该解法的亮点是对渐近线方程的处理。单墫教授在《解析几何的技巧》中写道：“将两个一次方程乘起来是一个重要的手法，在组成二次曲线束时常常需要这样做。”［1］

评注：该解法很能凸显考生的思维能力，由中点弦知识容易知道kABkOM==3，由于要证PQ ∥AB，即证kPQ=kAB，问题自然转化为求证kPQkOM=3，继而借助点差法的巧劲步步为赢，值得称赞。

评注：该解法的思路源于解法3，是对解法3的进一步思考和优化。由两个中点弦关系容易得kABkOM=3，kPQkOE=3，要证kPQ=kAB，只需证明kOE=kOM，而合比定理的应用避免了复杂的运算，很大程度上优化了运算。

以上三种方案和不同解法既开阔了学生的解题视野，也逐步揭示了问题本质。下面我们通过对问题一般化的推广及证明，进一步理解运算对象，探索运算路径的优化方法，剖析运算对象间的本质联系。

三、一般化推广

推广1、2 的证明同解法3，在此不再赘述。下面继续探究点M 一般化情形下的轨迹及各条件间的内在规律。

（1）若M在AB上，PQ ∥AB，则|MA|=|MB|；（2）若M在AB上，|M A|=|MB|，则PQ ∥AB；（3）若PQ ∥AB，|M A|=|MB|，则M在AB上；（4）若M，E分别为AB，PQ的中点，则O，E，M三点共线。

推广4 的证明过程如上述三个方案的解答，在此不再赘述，感兴趣的读者可以继续探究试题内部结构，在尝试提出更具探究性、开放性的问题的过程中，进一步领悟试题本质。

四、教学建议

（一）强化通性通法的教学，突破数学运算瓶颈

解析几何为新教材的主干知识，内含丰富的数学思想方法，是考查学生直观想象、逻辑推理、数学运算的最佳素材，自然也是新高考数学压轴题的热门之选，教师在教学中应该引起高度重视。纵观近三年新高考数学试卷中的解析几何压轴题，减少了技巧性问题，强化了通性通法的考查。例如本文所选考题的三种方案都用到了直线方程的合理表达，求解两直线交点坐标的基本方法。即使问题的难度有所降低，但考生的解答并不理想，主要表现在设参不自信，算法设计不明确，这导致运算难以达到目标。面对这种困境，教师在教学中要引导学生思考点、直线不同设法背后的数学本质，让学生学会自信地设计运算程序，而对于代数式化简的关键步骤，要敢于交流展示并暴露运算的卡点，通过学生间、师生间的交流讨论，探索解决运算卡点的思维途径，逐步提高学生的数学运算素养，突破数学运算瓶颈。

（二）注重创新能力的培养，创新育人方式

《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》在“高考命题建议”中明确指出：命题时，应有一定数量的应用问题，还应包括开放性问题和探究性问题，重点考查学生的思维过程、实践能力和创新意识［2］。如本文所选考题，打破了固有的命题模式，创新性地让考生独立自主地选择和设计问题，既降低了机械刷题的效益，又给不同层次的考生提供了发挥能力的空间，更有利于学生创新能力的培养。在一线教学中，教师应引导学生对例题、习题进行深度改编，尽可能地挖掘教材例题和习题的功能，进一步指导学生命制开放性试题。在这样独立自主的问题解决环境中培养学生的思维能力、分析问题和解决问题的能力，育人于潜移默化中。