常 洁， 成志忠， 梁东平， 许焕宾， 余晨帆， 李小琪

(北京空间飞行器总体设计部， 北京 100094)

1 引言

结构优化设计对于各行业机械产品设计的目的是以最小代价或成本换取最优结构性能，常见优化方式有拓扑优化、形状优化和尺寸优化[1]。其中拓扑优化是在设计初期根据结构件的受力特点，选择合理的构型，去除多余的材料，使得传力路径直接、高效，其给结构设计带来的效益是最大的；形状优化是改善应力集中状况、防止裂损、提高承载能力的重要措施，在桁架结构设计、材料微观性能设计等领域应用广泛；尺寸优化是在详细设计阶段，以结构件的厚度、横截参数等作为设计参数，借助计算机辅助设计软件在特定约束条件下完成最优解。

杨帆等[2]采用有限元分析技术研究结构优化方法和流程；全栋梁等[3]研究了近年来在高速飞行器设计中应用结构优化技术的典型案例；刘磊等[4]设计了满足重量要求前提下基频最大的支架结构；朱继宏等[5]研究了拓扑优化技术在结构初始方案概念设计中的应用；匡全进等[6]采用传统方法和拓扑优化分别对支架进行改进设计。这些研究大多针对单一优化方法。 航天产品对重量要求极为苛刻，航天器结构日趋复杂，对结构综合性能的要求越来越高，如何将拓扑优化结果与工程实际相结合，并进一步优化出更合理的轻量化结构是航天器结构设计领域重要的研究方向。

本文针对某相机安装支架特殊的设计要求，借助商用分析软件Hyperworks，采用了2 种拓扑优化途径，对设计结果相互印证，完成多目标优化设计。 同时在拓扑优化基础上开展了形状优化和尺寸优化，完成结构设计并进行了性能验证。

2 需求分析

轻量化是结构设计是否优化的最重要指标。航天器结构设计约束条件一般包括强度、刚度、稳定性、热变形等，此外结构加工工艺性、经济性等也已成为航天器结构设计所需要考虑的因素。 在航天器结构方案设计时，往往先采用拓扑优化设计得到最直接有效的传力路线，之后完成优化后的结构详细设计，最后根据需要进行尺寸优化。

某航天器相机重50 kg，由于构型和布局约束，航天器主结构无法直接为该相机提供机械安装接口，仅可以提供间距700 mm 的2 个条状安装边界，相机与航天器主结构间距离较远，需要设置悬臂的过渡支架进行转接，三者之间的空间位置关系如图1 所示。 在结构重量约束下，设计难度较大。 在航天器发射段，结构承受的惯性过载分别为纵向(图1 中竖直向上方向)15g、横向(图1 中沿设备安装方向)10g，同时支架结构安装相机后的基频不能与航天器主频率相耦合。 考虑进度、成本、加工工艺性、导热性要求、耐腐蚀性等因素，该支架的材料选择5A06 铝合金材料。

图1 支架的空间位置约束Fig. 1 Spatial position constraints of supports to be optimized

传统设计方法先根据设计经验完成支架初步构型设计，然后对支架进行有限元分析，在应力较低、变形较小的部位去除结构材料，在应力较大的部位增加结构材料，并再次提交有限元分析，如此反复迭代，直至找到能使得结构重量和力学综合性能较优的设计方案。 这种设计方法效率较低，同时也无法保证结构的设计最优。采用传统的设计方案如图2 所示，支架由前安装面板和后支撑梁系组成，总重量为15 kg，基频为60 Hz。

图2 支架传统设计方案Fig.2 Traditional design of bracket

3 优化模型

3.1 拓扑优化

首先通过对支架结构拓扑优化来确定产品主要传力路径和初始构型。 结构拓扑优化一种常用方法是变密度法，属于材料描述方式，建立材料密度与材料属性之间的关系[7-8]。 以材料密度为拓扑优化的设计变量，将拓扑优化问题转换为材料的最优分布问题。 假定密度与材料性能的非线性关系见式(1)。

其中，E为材料的弹性模量，ν为材料泊松比，η为单元密度，下标0 表示实际材料特性，α≥1。

拓扑优化问题的变密度法数学模型可以描述为式(2):

式中，ηi为结构中单元密度，是最终的优化目标；Compliance为结构的总柔度；fi，ti分别为作用在初始结构上的体积力和面积力；ui为单元位移；Ω为设计域；Γ为边界；V0为给定初始结构材料的质量上限，V*为优化时指定去除材料的质量，优化后的质量与去除质量之和不得大于初始优化前的质量；ε为单元密度下限；F为整体载荷列阵，K为整体刚度矩阵，U为位移列阵。

对于本文研究对象而言，除支架固定边界外的材料均可优化，以最少的材料得到支架的最小柔度(即最大刚度)。

建立的优化模型如图3 所示。 将相机简化为集中质量点，通过刚性杆单元与支架相连，支架下方两侧为固定边界。

图3 拓扑优化初始模型Fig.3 Initial model of topology optimization

3.2 形状和尺寸优化

在拓扑优化基础上，抽象成几何模型。 在满足刚度约束下，对支架后支撑梁系的分布进行优化，如图4 所示，在边界点P1、P2、P3确定的情况下，找到K点的最优位置。 比较不同截面形状，并确定最终的结构尺寸。

图4 梁系布局优化设计Fig.4 Optimized design of the layout of beams

支撑梁的优化设计问题可以描述为式(3):

其中，L确定的是K点沿着L2梁的距离尺寸，R为梁长度比:L1/(L1＋L3)，A为梁的截面积，Mass为结构重量，λ为频率，Φ为可设计域。

4 结果及讨论

4.1 拓扑优化结果

分别采用2 种不同的方式进行拓扑优化。

体积约束下的基频最大化优化模型见式(4)。

其中，V为优化后体积，V0为初始体积。

为了更加清晰地得到最优的支架构型，分别以20%、10%、3%3 种体积约束进行优化。 图5 给出了在不同的材料约束下，也即重量约束下的支架最大刚度:在去除80%的材料下，拓扑优化后的最优结构如图5(a)所示，此时支架＋相机基频为306 Hz；在去除90%的材料下，拓扑优化后的最优结构如图5(b)所示，此时支架＋相机的基频为229 Hz；在去除97%的材料下，拓扑优化后的最优结构如图5(c)所示，此时支架＋相机的基频为98 Hz。

图5 最大基频下的优化结果Fig.5 Optimization results for maximum fundamental frequency

频率约束下的体积最小化优化模型见式(5)。

其中λ0为支架要求的最低频率60 Hz。 得到的优化结果:V＝2.02%，λ＝67.6。 即在满足基频大于60 Hz 的约束条件下，最小体积是2.02%，即能去掉约98%的材料。 拓扑优化后的支架外形如图6 所示。

图6 最小体积下的优化结果Fig.6 Optimization results for minimum volume

由2 种优化方式可知，采用最小体积率的优化结果与采用最大基频的优化结果很相似，说明优化结果的准确性。 拓扑优化后支架与安装边界可集中在前后2 个固定座，前侧提供相机安装接口，后侧设置有2 个支撑结构。

从网格质量等方面进行分析，方式1 的优化结果更为清晰，从结构形式上，支撑结构形成的三角形构型也更加稳定，因此设计出支架构型如图7 所示。 整个支架由两大部分组成，分别是前安装面板和后支撑梁系。 前安装板由铝板机加而成，为相机提供直接的安装接口，提供结构的面内刚度；后侧的支撑杆，提供垂直面板方向的刚度，支撑杆形成2 个三角形，撑杆与前安装板采用螺接形式连接。

图7 根据拓扑优化得到的支架结构Fig.7 Bracket obtained by topology optimization

4.2 形状与尺寸优化结果

1)前安装面板优化结果。 前安装面板主要提供相机安装的面内刚度，保证刚度所需的面板厚度。 根据主载荷传力路径，前安装面板整体优化为三角形构型，如图8 虚线所示，同时在面板内部设置多个三角形辅助支撑结构，如图8 实线所示。 在非安装区域和非传力路径上进行减轻孔设计。

图8 支架前安装面板构型Fig.8 Front mounting panel configuration

2)后支撑梁系优化结果。 后支撑梁系主要传递拉压载荷，同时兼顾稳定性设计要求。 根据3.2 节中的优化模型对基频约束下的梁系参数进行优化，结果见表1。

表1 梁系优化参数Table 1 Optimize parameters of the beams

3)梁系截面形状优化。 由表1 可知，梁截面积为381 mm2，在此约束下，再优选截面形式。 优化分析时保证梁的位置不变、截面面积相近，同时保证梁的纵向抗弯性能最大，设计出不同截面形式及相应频率，如表2 所示。 可以看出，各个截面形式的频率结果相近，说明梁系截面面积一定的情况下，拉杆截面形式对支架整体频率尤其是基频的影响较小。 考虑加工工艺和连接设计的便利性，最终选择工字梁的形式。

表2 不同截面形式下的频率计算结果Table 2 Frequency calculation results for different cross-sectional forms

4)最终设计状态。 最终支架设计模型如图9所示。 加上一定的工艺加工圆角和连接件，支架设计重量为7.7 kg，较原设计方案轻49%。

图9 安装支架最终设计图Fig.9 Final design drawing of the bracket

4.3 设计验证

建立支架有限元模型，如图10 所示，支架采用三维实体模型，网格划分选择四面体单元，支架材料弹性模量取70 GPa，泊松比取0.3。 支架与航天器安装界面进行固定，相机用质量点进行模拟，对支架的力学性能进行有限元计算:该支架在各类工况下的最大应力49.9 MPa，强度裕度2.2(大于0)；结构基频73 Hz，满足大于60 Hz 的要求。

图10 支架有限元分析Fig.10 Finite element analysis of the bracket

支架产品加工后安装到航天器上，给相机提供了结构支撑，并随航天器发射上天，经历了发射过程中的惯性过载和振动载荷的考核。 入轨后，相机在轨工作正常，验证了支架结构的强度和刚度，产品随航天器通过了飞行试验考核。

5 结论

本文针对某航天器相机安装支架设计中遇到的安装边界条件差、重量要求苛刻、力学性能要求高等难点，采用基于拓扑优化设计、形状优化和尺寸优化设计相结合的方案对支架进行优化，并完成了最终产品的验证。 结论如下:

1)通过拓扑优化设计能帮助找到最优的传力路径，快速确定支架的基本构型。

2)采用2 种不同的拓扑优化设计模型，能使优化结果更为可信。

3)在拓扑优化结果基础上，结合工程实际，进一步开展形状优化和尺寸优化，可得到结构性能更优的设计参数。

4)采用优化技术设计的相机支架满足航天器产品设计要求，通过飞行试验考核。